Введение

Математическая статистика – раздел математики, который изучает методы сбора, систематизации, обработки результатов наблюдений с целью выявления закономерностей. Математическая статистика опирается на теорию вероятности.

Для проведения эксперимента нами была выбрана группа студентов – 20 человек. Было проведено исследование уровня агрессивности и уровня тревожности у испытуемых.

Методики исследования:

1.                «Шкала тревожности» Д. Тейлор.

2.                Тест А. Ассингера (оценка агрессивности в отношениях)

Результаты исследования были обработаны с использованием методов математической статистики.


Статистическая обработка полученных результатов

Сводная таблица значений.

Х – результат по «Шкале тревожности»

Y – результат теста Ассингера

№

х

y

х - хср

у – уср

(х - хср)2

(у – уср)2

ух

ху

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

20

34

-8,3

1,95

68,89

3,8

31,8

30

2

25

40

-3,3

4,05

10,89

16,4

34,3

32

3

18

20

-10,3

-15,95

106,09

254,4

30,8

13,9

4

40

41

11,7

5,05

136,89

25,5

41,8

32,8

5

35

37

6,7

1,05

44,89

1,1

39,3

29,2

6

46

47

17,7

11,05

313,29

122,1

44,8

38,2

7

15

21

-13,3

-14,95

176,89

223,5

29,3

14,8

8

21

35

-7,3

-0,95

53,29

0,9

32,3

27,4

9

29

41

0,7

5,05

0,49

25,5

36,3

32,8

10

36

40

7,7

4,05

59,29

16,4

39,8

32

11

39

35

10,7

-0,95

114,49

0,9

41,3

27,4

12

40

43

11,7

7,05

136,89

49,7

41,8

34,6

13

41

43

12,7

7,05

161,29

49,7

42,3

34,6

14

22

38

-6,3

2,05

39,69

4,2

32,8

30,1

15

17

22

-11,3

-13,95

127,69

194,6

30,35

15,7

16

30

36

1,7

0,05

2,89

0,003

36,8

28,3

17

25

39

-3,3

3,05

10,89

9,3

34,3

31

18

29

40

0,7

4,05

0,49

16,4

36,3

32

19

13

30

-15,3

-5,95

234,09

35,4

28,3

22,9

20

25

37

-3,3

1,05

10,89

1,1

34,3

29,2

Изначально нам необходимо определить среднее арифметическое и дисперсию для результатов, полученных по обоим методикам.

Среднее арифметическое является мерой центральных тенденций. Это показатель, несущий характеристики наибольшей вероятности встречаемости. Для нахождения среднего арифметического могут быть использованы следующие способы:

1.                Необходимо умножить сумму произведений всех вариантов на их веса.

2.                Необходимо сложить все значения и разделить полученное число на количество наблюдений (испытуемых).

Количество наблюдений (20) позволяет нам использовать второй вариант.

Дисперсия является мерой вариативности (разброса).. Среднее арифметическое и дисперсия имеют смысл только для метрических переменных.

Среднее арифметическое для значений х - хср.

Дисперсия для значений х – δ2х.

Среднее арифметическое для значений y – yср.

Дисперсия для значений y - δ2y.

Среднее арифметическое находим, согласно второму варианту (см. выше):

1. Для значений х:

хср = (х1 + х2 + х3 + … + хn) / n, где

х1, х2, х3 , хn – значения переменной  х (результат тестирования),

n – количество наблюдений (в нашем случае n=20).

хср = 28,3

Дисперсию находим по формуле:

δ2х = Σ (хr - хср)2 / n, где

хr – значение переменной х (результат тестирования),

хср – среднее арифметическое от х,

n – количество наблюдений (в нашем случае n=20).

δ2х = 94,499

2.Для значений y:

yср = 35,95

δ2y = 52,5

Далее находим коэффициент корреляции между значениями х и у, т.е. между тревожностью и агрессивностью в данной группе. Другими словами, нам нужно выяснить, существует ли зависимость между уровнем тревожности и уровнем агрессивности. Корреляционная зависимость – это функциональная зависимость между значением одной переменной и условным математическим ожиданием другой. Корреляционные связи не могут рассматриваться как свидетельство причинно-следственной связи, они свидетельствуют лишь о том, что изменениям одного признака, как правило, сопутствуют определенные изменения другого.

Наши переменные являются метрическими, следовательно, мы можем использовать коэффициент корреляции Пирсона, который вычисляется по формуле:

R = Σ (х - хср) (у – уср) / √ Σ (х - хср)2 (у – уср)2, где

R – коэффициент корреляции,

Х – значения, принимаемые переменной х,

Y – значения, принимаемые переменной у,

хср – среднее арифметическое от х,

уср – среднее арифметическое от у,

Σ – знак суммы,

√ - знак квадратного корня.

R = 0,727

Коэффициент корреляции принимает значения от –1 до 1. Если коэффициент корреляции стремится к -1 или 1, значит, между переменными существует зависимость. Если коэффициент корреляции стремится к 1, то говорят о прямой зависимости, если к –1, то говорят об обратной зависимости.

В нашем случае коэффициент корреляции стремится к 1. Следовательно, между переменными существует прямая зависимость. Другими словами, в выбранной группе между уровнем агрессивности и уровнем тревожности существует определенная связь, влияние. Корреляционная зависимость не позволяет нам говорить о причинах и следствиях этой связи (что на что влияет), однако, мы выяснили, что изменениям одного из признаков сопутствуют изменения другого признака.

Более достоверные данные о существовании корреляционной зависимости мы можем получить, определив критические значения переменных и эмпирическое значение. Последнее определяется по формуле:

Tэмп = (R √ n – 2 ) / √ (1 – R2), где

Tэмп – эмпирическое значение коэффициента корреляции,

R – коэффициент корреляции,

√ - знак квадратного корня,

n – количество наблюдений (в нашем случае n=20).

Tэмп = 18,7

Критические значения мы определяем по таблице критических значений Стьюдента для уровней значимости 0,05 и 0,01:

Т (0,05) = 1,81

Т (0,01) = 2,35

Если эмпирическое значение превышает критическое, то говорят о существовании зависимости между переменными. В нашем случае эмпирическое значение значительно превышает оба критических, что подтверждает сделанный нами ранее вывод: существует взаимосвязь уровня агрессивности и уровня тревожности (для данной группы).

Теперь выведем уравнение линейной регрессии. С его помощью мы можем точнее определить вид зависимости, уже определенный нами ранее как «прямая».

Для этого необходимо вычислить значения S2 для значений х и у, значение выборочной ковариации м и значения выборочного коэффициента корреляции в для значений ху и ух.

S2х = Σ (х - хср)2 / n – 1

S2у = Σ (у – уср)2 / n – 1, где

Σ – знак суммы,

Х – значения, принимаемые переменной х,

Y – значения, принимаемые переменной у,

хср – среднее арифметическое от х,

уср – среднее арифметическое от у,

n – количество наблюдений (в нашем случае n=20).

S2х = 99,5

S2у = 55,3

Значение выборочной ковариации вычисляем по формуле:

М = Σ (х - хср) (у – уср) / n, где

М – выборочная ковариация,

Σ – знак суммы,

Х – значения, принимаемые переменной х,

Y – значения, принимаемые переменной у,

хср – среднее арифметическое от х,

уср – среднее арифметическое от у,

n – количество наблюдений (в нашем случае n=20).

М = 51,2

Выборочные коэффициенты регрессии определяем по формулам:

Вху = М / S2у = 0,9

Вух = М / S2х = 0,5

Теперь мы можем составить уравнение регрессии:

1.                ух - уср = Вух (х - хср)

2.                ху - хср = Вху (у – уср)

Значения, которые принимает ух при различных значениях переменной х указаны в столбце 7 сводной таблицы. Значения ху – в столбце 8 сводной таблице. По этим значениям мы можем построить графики линейной регрессии.

Для 1-го уравнения:



Для 2-го уравнения:

Подобное распределение точек около прямой в виде эллипса свидетельствует о существовании прямой линейной зависимости.

Вывод: в результате проведенного эксперимента и математической обработки данных этого эксперимента мы можем говорить о том, что для данная группа студентов характеризуется наличием связи между уровнем агрессивности и уровнем тревожности.


Список литературы


1.                             Сидоренко Е. Методы математической обработки в психологии. СПб: Речь, 2002.

2.                             Практическая психология. Инструментарий. Ростов-на-Дону: Феникс, 2002.

3.                             Немов Р.С. Психология. Т.3. М.: Владос, 2000.

4.                             Психологические тесты. Т.2. / Под ред. А.А. Карелина. М.: Владос, 2001.