Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийский заочный  финансово-экономический институт

Филиал в г. Барнауле

 

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

Вариант 4

                                           

                                                                  Выполнила: Ионова Ю.В.

Специальность: Бухгалтерский учет, анализ и аудит

Группа: 3Бг2

Зачетная книжка № 05 УБД 11054

           Преподаватель:  Сеначин Павел    Кондратьевич

                                                                        Дата регистрации: _____________

                                               

Барнаул 2006

Задача №1.

   По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции Y (млн. руб.) от объема капиталовложений Х (млн. руб.).

 Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки, найти остаточную сумму квадратов, оценить дисперсию остатков Se-квадрат, построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (альфа=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (альфа=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости альфа=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

 - гиперболической;

 - степенной;

 - показательной.

Привести графики построенных моделей.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

X	Y
36	104
28	77
43	117
52	137
51	143
54	144
25	82
37	101
51	132
29	77

Решение:                                                

1) Построим модель Yт=a0+a1*X. Коэффициенты a0, a1 этой модели определяются по методу наименьших квадратов. Получим их и дополнительную статистическую информацию о качестве построенной модели с помощью средств Excel: сервис/анализ данных/РЕГРЕССИЯ.

                                                                                                                                                                         

ВЫВОД ИТОГОВ:                                                                                                                                                        

Регрессионная статистика
Множественный R	0,984054389
R-квадрат	0,968363041
Нормированный R-квадрат	0,964408421
Стандартная ошибка	5,095843023
Наблюдения	10

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	6358,6591	6358,659071	244,8688029	2,8E-07
Остаток	8	207,74093	25,96761611
Итого	9	6566,4

	Коэффи-циенты	Станда-ртная ошибка	t-стати-стика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пере-сечение	13,89223512	6,4362066	2,158450791	0,062941142	-0,9497	28,7342
Пере-менная X 1	2,401669086	0,1534781	15,64828434	2,77465E-07	2,04775	2,75559

Получили уравнение линейной регрессии Yт=13.89+2.4X. Коэффициент регрессии а1=2.4 говорит о том, что при увеличении капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпуска продукции в среднем увеличится на 2.4 млн. руб.

2) ВЫВОД ОСТАТКА:

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	ei2	отн. погр.
1	100,3523222	3,6476778	13,30555329	3,507382494
2	81,13896952	-4,13897	17,1310687	5,375285092
3	117,1640058	-0,164006	0,026897904	0,140175902
4	138,7790276	-1,779028	3,164939117	1,298560275
5	136,3773585	6,6226415	43,85938056	4,631217839
6	143,5823657	0,4176343	0,174418369	0,290023786
7	73,93396226	8,0660377	65,06096476	9,836631385
8	102,7539913	-1,753991	3,076485451	1,736625041
9	136,3773585	-4,377358	19,16126735	3,316180675
10	83,54063861	-6,540639	42,77995338	8,494335853
Сумма	0	207,7409289	38,62641834

Оценим дисперсию остатков:

 

                                             5,095843023.           

    Проверим выполнение предпосылок МНК.

1) свойство независимости по d-критерию Дарбина-Уотсона:

                                 354,62.

 

                                         1,71.

                                        

2) Т.к модуль рассчитанного первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения |r(1)|=0,01< r таб=0,32 - значит уровни независимы.

3) Проверка нормальности распределения остаточной компаненты по R/S- критерию. Рассчитаем значение RS:

Emax = 8,066037736;

Emin = -6,540638607;

Se = 5,095843023;

                                    2,866390561.

Т.к 2.67 < 2,87 <3.57, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

4 свойство гомоскедастичности. Упорядочим данные по мере возрастания переменной х:

X	Y
25	82
28	77
29	77
36	104
37	101
43	117
51	143
51	132
52	137
54	144

Разделим совокупность на две группы и определим по каждой из групп уравнения регрессии.

Первая группа:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,895544412
R-квадрат	0,801999793
Нормированный R-квадрат	0,735999724
Стандартная ошибка	6,810642296
Наблюдения	5

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	563,64545	563,6454545	12,15149931	0,03988
Остаток	3	139,15455	46,38484848
Итого	4	702,8

	Коэффи-циенты	Станда-ртная ошибка	t-стати-стика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересе-чение	18,02727273	20,359565	0,885444901	0,441130436	-46,766	82,8205
Пере-менная X 1	2,263636364	0,6493693	3,485900072	0,039884762	0,19705	4,33022

Вторая группа:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,928605773
R-квадрат	0,862308682
Нормированный R-квадрат	0,816411576
Стандартная ошибка	4,699541188
Наблюдения	5

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	414,94294	414,9429379	18,78786613	0,02265
Остаток	3	66,257062	22,08568738
Итого	4	481,2

	Коэффи-циенты	Станда-ртная ошибка	t-стати-стика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пере-сечение	13,07062147	28,116372	0,464875826	0,673683069	-76,408	102,549
Пере-менная X 1	2,420903955	0,5585201	4,334497217	0,022652811	0,64344	4,19836

Остаточные суммы квадратов:

 

                            139,1545455;                                   66,257.

Вычислим отношение:          2,100222089.

             

Полученное отношение имеет F распределение со степенями свободы к1=n1-m=4, к2=n-n2-m=4, т.е. Fкр=6,39.

 

Т.к.                              , то имеет место гомоскедастичность.

 

4) Оценим значимость полученного уравнения с помощью критерия Стьюдента: их значения содержатся в таблицах вывода итогов программы "РЕГРЕССИЯ" соответственно в строках "t-статистики".

t(a0) = 0,465;

t(a1) = 4,334.

Критическое значение при    =5%, k=n-p-1=10-2-1=7 составляет tкр=2,36.

|0,465| <2,36; таким образом, на уровне значимости      =5% коэффициент a1 не является значимым. |4,334| > 2,36; таким образом, на уровне значимости            = 5% коэффициент a2 является значимым.

5) Рассмотрим коэффициент детерминации, его значение содержатся в таблицах вывода итогов программы "РЕГРЕССИЯ" в строке "R-квадрат".

        0,968363041. Таким образом, изменение объема выпуска продукции Y на 96,8% объясняется по полученному уравнению изменением объема капиталовложений  X.

Оценим значимость полученного уравнения с помощью критерия Фишера:

F= 244,87.

Критическое значение при      =5%, k1=p= 1, k2=n-p-1=10-1-1=8 составляет Fкр=5,59.

F= 244,87 >Fкр следовательно, уравнение модели является значимым, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель переменной X.

   Найдем среднюю относительную ошибку:

                                  3,86.

В среднем расчетные значения y для регрессионной модели отличаются от фактических на 3,86%.

6) Прогнозное значение переменной Х: X*= 0,8*maxX= 43,2.

По уравнению модели рассчитаем Yт*=13,89+2,4*43,2 = 117,64.                                                                                                                     117,64

7) График:

8) Для построения нелинейных регрессионных моделей используем прием линеаризации уравнений. Модель степенной парной регрессии имеет вид yт=a*x^b.        Логарифмируя обе части равенства, получим ln(yт)=ln(a)+b*ln(x).

Обозначим                                                                                      тогда

                                                   линейная модель.

Рассчитаем по исходным данным столбцы               (мастер  функций / математические / LN).

	36
2	28
3	43
4	52
5	51
6	54
7	25
8	37
9	51
10	29

104	3,58	4,64
77	3,33	4,34
117	3,76	4,76
137	3,95	4,92
143	3,93	4,96
144	3,99	4,97
82	3,22	4,41
101	3,61	4,62
132	3,93	4,88
77	3,37	4,34

Используем функцию "ЛИНЕЙН" для определения коэффициентов линейной модели: 0,86 и 1,54. Таким образом, b= 0,86, A= 1,54. Определим a=e^A=4,66 (мастер функций/математические/EXP). yт= 4,66*x^0,86 – уравнение степенной модели. Для расчета yт(xi) по полученному уравнению можно использовать функцию "СТЕПЕНЬ". Результаты вычислений для степенной модели приведем в таблице и покажем на графике.

1	36	104	100,77	3,23	3,10331	10,4164
2	28	77	81,23	-4,23	5,49629	17,911
3	43	117	117,36	-0,36	0,3096	0,13121
4	52	137	138,14	-1,14	0,83211	1,29958
5	51	143	135,86	7,14	4,99419	51,0038
6	54	144	142,68	1,32	0,91335	1,7298
7	25	82	73,71	8,29	10,1125	68,7616
8	37	101	103,17	-2,17	2,14733	4,7037
9	51	132	135,86	-3,86	2,92296	14,8865
10	29	77	83,71	-6,71	8,71981	45,0812
Сумма					39,5515	215,925

 

 

Средняя относительная ошибка аппроксимации                              3,95514518.

Коэффициент детерминации                                   0,967116721.

Модель показательной парной регрессии имеет вид yт = a*b^x. Логарифмируя, получим ln(yт)=ln(a)+x*ln(b). Обозначим

тогда                     линейная модель. Рассчитаем по исходным данным столбец

1	36	104	4,64
2	28	77	4,34
3	43	117	4,76
4	52	137	4,92
5	51	143	4,96
6	54	144	4,97
7	25	82	4,41
8	37	101	4,62
9	51	132	4,88
10	29	77	4,34

Найдем с помощью функции "ЛИНЕЙН" коэффициенты: 0,02 и 3,78. Таким образом, B = 0,02, A= 3,78. Определим a=e^A=  43,68         ; b=e^B= 1,02 и запишем уравнение показательной модели yт=43,68*(1,02)^x. Результаты вычислений для показательной модели приведем в таблице и покажем на графике.

1	36	104	97,73	6,27	6,02673	39,2852
2	28	77	81,72	-4,72	6,12463	22,2404
3	43	117	114,30	2,70	2,30637	7,28163
4	52	137	139,80	-2,80	2,04193	7,8257
5	51	143	136,70	6,30	4,40243	39,633
6	54	144	146,19	-2,19	1,52417	4,81715
7	25	82	76,41	5,59	6,81542	31,233
8	37	101	99,94	1,06	1,04616	1,11644
9	51	132	136,70	-4,70	3,56403	22,1325
10	29	77	83,56	-6,56	8,52569	43,0963
Сумма					42,3776	218,661

                            

Средняя относительная ошибка аппроксимации                             4,2378.

Коэффициент детерминации                                    0,9667.

Модель гиперболической парной регрессии имеет вид yт = a+b/x.

Обозначим            и получим линейную модель.

Рассчитаем по исходным данным столбец.

1	36	104	0,03
2	28	77	0,04
3	43	117	0,02
4	52	137	0,02
5	51	143	0,02
6	54	144	0,02
7	25	82	0,04
8	37	101	0,03
9	51	132	0,02
10	29	77	0,03

И найдем с помощью функции "ЛИНЕЙН" коэффициенты: -3293,90 и 198,76.

Таким образом, b = -3293,90;       a = 198,76. Следовательно, уравнение гиперболической модели yт=198,76-3293,76/x. Результаты расчетов для гиперболической модели приведем в таблице и покажем на графике.

1	36	104	107,26	-3,26	3,13891	10,6567
2	28	77	81,12	-4,12	5,35382	16,99
3	43	117	122,16	-5,16	4,4097	26,6188
4	52	137	135,42	1,58	1,15517	2,50455
5	51	143	134,18	8,82	6,17106	77,8739
6	54	144	137,76	6,24	4,3309	38,8939
7	25	82	67,01	14,99	18,2857	224,828
8	37	101	109,74	-8,74	8,65085	76,3415
9	51	132	134,18	-2,18	1,64801	4,73228
10	29	77	85,18	-8,18	10,622	66,8954
Сумма					63,7661	546,339

 

Средняя относительная ошибка аппроксимации                             6,3766.

Коэффициент детерминации                                  0,9168.

Таблица сравнения качества:

модель		Еотн ср	R-квадрат
линейная	3,86	0,968
гиперболическая	6,38	0,917
степенная	3,96	0,967
показательная	4,24	0,967

Выберем в качестве наилучшей линейную модель. Она имеет  лучшую точность, в среднем  расчетные данные для гиперболической модели отличаются от фактических на 3.86%.       = 0.968, следовательно, изменение объема выпуска продукции Y на 96.8% объясняется изменением объема капиталовложений X.

 

Задача № 2 (а, б).

   Для каждого варианта даны по две структурные формы модели (СФМ), которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

1	-1	b12	b13	0	a12	0	a14
2	b21	-1	0	a21	0	a23	a24
3	b31	b32	-1	a31	a32	0	0

1	-1	0	b13	a11	a12	a13	0
2	0	-1	b23	a21	a22	0	a14
3	b31	0	-1	a31	a32	a33	0

Решение:

a)  Система одновременных уравнений

В первом уравнение 3 эндогенные переменные Н = 3. В нем отсутствует 2 экзогенных переменных D = 2. Т.е. D + 1 = H.

Проверка на достаточное условие:

Уравнение	Переменные
х1	x3
2	а21	а23
3	а31	0

Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит, достаточное условие выполнено и первое уравнение идентифицируемо.

Во втором уравнении две эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует

одна экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1 = H.

Проверка на достаточное условие:                 

Уравнение	Переменные
y3	x2
1	b13	a12
3	-1	a32

Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит, достаточное условие выполнено и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении три эндогенные переменные Н = 3. В нем отсутствует две экзогенных переменных D = 2. Т.е. D + 1 = H.        

                           

Проверка на достаточное условие:                                                                

Уравнение	Переменные
x3	x4
1	0	a14
2	a23	a24

Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит, достаточное условие выполнено и третье уравнение идентифицируемо.

Следовательно, система идентифицирована.

 

б)  Система одновременных уравнений:

В первом уравнение 2 эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует 1 экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1 = H.

                                     

Проверка на достаточное условие:                                                                

Уравнение	Переменные
y2	x4
2	-1	a24
3	0	0

                                                                                                                                        

Определитель представленной в таблице матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено и второе уравнение не идентифицируемо.

Во втором уравнении две эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует одна экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1 = H.

                           

Проверка на достаточное условие:                                                                

Уравнение	Переменные
y1	x3
1	-1	a13
3	b31	a33

Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит,

достаточное условие выполнено и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении  2 эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует 1 экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1= H.                                                          

Проверка на достаточное условие:                                                                                                                                    

Уравнение	Переменные
y2	x4
1	0	0
2	-1	a24

Определитель представленной в таблице матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено и третье уравнение не идентифицируемо.

Следовательно, система не идентифицирована.

Задача № 2в

По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:

Y1 = a0 + a1*Y2 + a2*X1 + e1;

Y2 = b0 + b1*Y1 + b2*X2 + e2.

n	Y1	Y2	X1	X2
1	31,3	60,2	4	8
2	35,1	74,2	7	5
3	31,2	59,7	4	8
4	40,4	107	9	13
5	25,3	29,2	1	4
6	41,2	112,5	10	12

Решение:

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели:

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.

Первое уравнение:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,99952
R-квадрат	0,99904
Нормированный R-квадрат	0,9984
Стандартная ошибка	0,24327
Наблюдения	6

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	184,6108	92,305399	1559,8	3E-05
Остаток	3	0,1775359	0,0591786
Итого	5	184,78833

	Коэффи-циенты	Станда-ртная ошибка	t-стати-стика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересе-чение	22,8421	0,2702732	84,514996	4E-06	21,982	23,702
Переме- нная X 1	1,53938	0,0506404	30,398182	8E-05	1,3782	1,7005
Переме- нная X 2	0,27138	0,0480553	5,6472324	0,011	0,1184	0,4243

                                       .

Второе уравнение:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,99996
R-квадрат	0,99992
Нормированный R-квадрат	0,99987
Стандартная ошибка	0,36101
Наблюдения	6

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	4972,629	2486,3145	19077	7E-07
Остаток	3	0,3909839	0,130328
Итого	5	4973,02

	Коэффи-циенты	Станда-ртная ошибка	t-стати-стика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересе-чение	12,6477	0,4010877	31,533424	7E-05	11,371	13,924
Переме-нная X 1	7,14066	0,0751508	95,017753	3E-06	6,9015	7,3798
Переме-нная X 2	2,33982	0,0713145	32,809859	6E-05	2,1129	2,5668

                                            .

   Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем х2 из второго уравнения приведенной формы модели:

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной формы модели:

                                                                             .

   Таким образом, b12=0.12, a11=0.72.

   Найдем х1 из первого уравнения приведенной формы модели:

                                . Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

                                                                                                       .

Таким образом, b21=4.64, a22=1.09.

Свободные члены структурной формы находим из уравнения:

                                              ;

                                               .

Вычислим средние значения:

Y1,cp = 34,0833;

Y2,cp = 73,8;

X1,cp = 5,83333;

X2,cp = 8,33333.

Таким образом,                                                        

A01 = 34.08-0.12*73.8-0.72*5.83 = 21,026;

A02 = 73.8-4.64*34.08-1.09*8.33 = -93,41.

Окончательный вид структурной модели:

Y1=21.03+0.12Y2+0.72X1;

Y2=-93.41+4.64y1+1.09X2.