ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Требуется:

   1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

   2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

   3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном  плане.

   4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и III видов на 4 единицы каждого;

• оценить целесообразность включения в план изделия Г ценой 13 единиц, на изготовление которого расходуется соответственно 1, 3 и 2 единицы каждого вида сырья, и изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

    1.    Целевая функция:

        Обозначим ограничения:

4х₁ + 2х₂ +1х₃≤180

3х₁ + 1х₂ +2х₃≤210

1х₁ + 2х₂ +3х₃≤244

х₁, х₂ ,х₃≥0

  Запустить табличный процессор MS Excel.

  Занесем выше указанные данные MS Excel и через «поиск решений» найдем оптимальный план задачи.

Оптимальный план задачи:

х₁=0, х₂ =74, х₃=32  целевая функция:

10·0+14·74+12·32=1420

2.       Составим двойственную задачу:

        Обозначим ограничения:

4у₁ + 3у₂ +у₃≥10

2у₁ + у₂ +2у₃≥14

у₁ + 2у₂ +3у₃≥12

у₁, у₂ ,у₃≥0

    Подставим значения оптимального плана задачи в ограничения двойственной задачи:

4·0+2·74+32=148+32=180; 180=180

3·0+74+2·32=138;                138≤210

0+2·74+3·32=244;                244=244

у₂=0, т.к. второй ресурс расходуется не полностью.

(0;72;32)

>0; >0, то 2 и 3 ограничения двойственной задачи строгие равенства.

Решим систему со 2 и 3 ограничениями:

2у₁ + у₂ +2у₃=14        

у₁ + 2у₂ +3у₃=12

у₂=0                       ;

2у₁ +2у₃=14        

у₁ +3у₃=12            ;

у₃=2,5       

у₁ =4,5 .

3.       При нахождении оптимального плана задачи х₁=0  свидетельствует о том что производить данный вид продукции не целесообразно.

В двойственной задаче у₂=0  свидетельствует о том что данный ресурс избыточен, т.е. расходуется не полностью.                    

4.   Чтобы определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и III видов на 4 единицы каждого необходимо изменить ограничения в1ой задаче.

 Получаем:

4х₁ + 2х₂ +1х₃≤184

3х₁ + 1х₂ +2х₃≤210

1х₁ + 2х₂ +3х₃≤248

х₁, х₂ ,х₃≥0

оптимальный план задачи равен:   х₁=0, х₂ =76, х₃=32  целевая функция:

  10·0+14·76+12·32=1448

Вывод: При увеличении запасов сырья I и III видов на 4 единицы выручка увеличивается на 28 единиц.

   Чтобы оценить целесообразность включения в план изделия Г ценой 13 единиц, на изготовление которого расходуется соответственно 1, 3 и 2 единицы каждого вида сырья, и изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья   используем следующие формулы:

Г:   

          -3,5<0   выгодно;

Д:    

                1>0  невыгодно.

Задача 3. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2) Построить баланс (заполнить таблицу)  производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Таблица 3.1.

Решение

Матрица коэффициентов прямых затрат имеет вид:

Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат В = (Е – А)‾¹.

Для вычисления обратной матрицы необходимо:

- выделить диапазон ячеек для размещения обратной матрицы;

- выбрать функцию МОБР в категории Математические;

- ввести диапазон ячеек, где содержится матрица Е – А;

- нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

В ячейки В6:D8 запишем элементы матрица Е – А. Массив Е – А задан как диапазон ячеек. Выделим диапазон В10:D12 для размещения обратной матрицы  В = (Е – А)‾¹ и введем формулу для вычислений МОБР (В6:D8). Затем следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна.

Вычислим вектов валового выпуска Х по формуле Х = ВY.

Для умножения матриц необходимо:

- выделить диапазон ячеек для размещения результата умножения матриц;

- выбрать функцию МУМНОЖ в категории Математические;

- ввести диапазон ячеек, где содержатся матрицы В и Y;

- нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

Задача 4

    Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

       В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос У(t) (млн руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд У(t) этого показателя приведен ниже в таблице.

                                                                                                             Таблица 1

Требуется:

   1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

   2. Построить линейную модель У(t) = а₀ + а₁t, параметры которой оценить МНК (У(t)) — расчетные, смоделированные значения временного ряда).

   З. Построить адаптивную модель Брауна¹ У(t) = = а₀ + а₁k с параметром сглаживания α = 0,4 и α = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.

   4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

   5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

  6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие  две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

  7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

       Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение:

1.     Запустить табличный процессор MS Excel.

2.     Создать книгу с именем «Контрольная работа, вариант № 04».

3.     На листе 1 создать таблицу   и ввести информацию, приведенную в табл.1.

  4.  Создать графики остатков и график подбора следующим образом: меню: Сервис→ Анализ данных→выбрать Регрессия→ОК→ выбрать входные интервалы, выходной интервал→пометить остатки, график остатков и график подбора→  создать графи остатков и график подбора согласно рис.1→ ОК.

Рис. 1

5. Появляются 4 таблицы:

Рис.2 Фрагмент Листа 1

 6. Из Таблицы 3 берем значение коэффициентов а₀=25,72 и а₁=2,63 и получаем:

Проверяем наличие аномальных наблюдений

К таблице 1 добавляем еще 3 колонки:

 |у_t - y_t-1| , (y_t-y_cp)²   , λ

необходимо рассчитать  у_cp = сумма у / 9 и сумму  (y_t-y_cp)² 

λ рассчитывается по формуле λ= |у_t - y_t-1| / σ

σ = сумму  (y_t-y_cp)²  / n – 1

Получаем:

                                                                                                                Таблица 2

 7.  Аналогично на листе 2 создаем создать таблицу   и ввести информацию, приведенную в табл.1 и создать график подбора.

   К таблице 1 добавляем 2 колонок:

   y _{расчетное} и  e.

y _{расчетное} рассчитывается по формуле = а₀ + а₁t

e = у - y _{расчетное}

Получаем:

                                                                                                            Таблица 3

8. Для того чтобы оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения необходимо:

1) рассчитать R/S

R- размах колебания, рассчитывается по формуле :

Добавляем  к таблице 3 еще одну колонку: e²

                                                                                                         Таблица 4

Найдем , 2,24-(-2,98)=5,22

S = 24,8261 / 8

S=1,76160793

R/S=2,96320192

В данные нам границы 2,7-3,7 R/S-критерий входитсв-во выполняется

     2) К полученной  таблице 4 добавляем колонку (e_t-e_t-1)²

                                                                                                            Таблица 5

Свойство отсутствия существенной автокорреляции:

Расчетное значение d в интервале от 2 до 4 свидетельствует об отрицательной связи; в этом случае  его надо преобразовать по формуле

.

2,29255501;1,70744499

На прямой видно, что 2ое свойство выполняется  модель адекватна

9.     Добавляем к таблице 5 еще 2 колонки:

|e/y|, (t_i-t_ср)²

                                                                                                              Таблица 6

   Рассчитываем значение |e/y|, затем находим |e/y| = 0,333873

 1)  Для того чтобы оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации, используем формулу:

Получаем:3,70969626 или 3,7%

        Т.к. до 15% - удовлетворительный уровень точности, значит у данной модели удовлетворительный уровень точности.

2)  Для того чтобы по двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие  две недели необходимо:

Рассчитать U1, U2.

; ;

1,883006714

U1= 2,606753622

U2 =2,846889172.

       Точечный прогноз: = а₀ + а₁t вместо а₁ подставляем U1 или U2, получаем:

для 10 недели: 25,7+2,6·10= 52,02 ;

для 11 недели:  25,7+2,8·11= 54,65 .

нижние границы для 10 недели:  52,02- U1= 49,4132464

верхние границы: 52,02+ U2=54,86689;

Аналогично для 11 недели: нижн.гр.= 52,0432464 и верх.гр. =57,49689.

   С помощью мастера диаграмм строим график подбора и указываем точечный прогноз, нижние и верхние границы для 10 и 11 недели.

Получаем :

10.     Адаптивная модель Брауна¹ У(t) = = а₀ + а₁k с параметром сглаживания α = 0,4 и α = 0,7.

1)    По первым 5 значениям строится линейная модель.

2)    Модель Брауна для α = 0,4.

К таблице 1 добавляем следующие колонки: а₀, а₁, у_{расчетное}, е, е².

Вводим формулы:

е = у_{расчетное} – у

у_{расчетное},где  k = 1

для α = 0,4 =0,6  1-=0,64 и 0,16

Копируем формулы и округляем значения до 2-ух знаков:

Формат → ячейки → число → числовой.

                                                                                                    Таблица 7

      Для того чтобы сделать точечный прогноз используем следующие формулы:

Значения U1, U2, нижн.гр и верх.гр.  и находим аналогично как в предыдущих моделях:

U1= 3,808709386;

U2 = 4,159569749.

27,8; 30,7; нижн.гр.10= 23,9912906 и верх.гр.10 =31,95956975; нижн.гр.10= 26,8912906 и верх.гр.10 = 34,85956975

3) модель Брауна для α = 0,7

Рассчитываем все значения аналогично и получаем:

                                                                                                    Таблица 8

За исключение в формулах меняем значения :

для α = 0,7 =0,3  1-=0,91 и 0,49

аналогично рассчитываем U1, U2

U1= 4,959707058;

U2= 5,416597947.  

3)    с помощью мастера диаграмм строим график подбора и указываем точечный прогноз, нижние и верхние границы для 10 и 11 недели для модели Брауна.

для α = 0,4:

для α = 0,7:

Для того чтобы оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации, используем формулу:

Получаем: для α = 0,4 5,280144 или 5,2%

для α = 0,7 6,927007234 или 6,9%

лучшее значение параметра сглаживания для α = 0,4

Список литературы:

1.     Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели. 2-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 304с.

2.     Гармаш А.Н., Гусарова О.М., Орлова И.В., Якушев А.А. Экономико-математические методы и прикладные модели: Компьютерный практикум и руководство к выполнению лабораторной работы по теме "Оптимизационные экономико-математические модели. Методы получения оптимальных решений" -М.: ВЗФЭИ, 2002.