Лизинговая компания располагает капиталом в размере 70 млн.руб., предназначенным для приобретения объектов, передаваемых лизингополучателям по договорам лизинга. Предварительный анализ пвотребностей лизингополучателей позволил выделить три типа объектов, пользующихся наибольшим спросом:

Объект №1 – оборудование для производства мебели;

Объект №2 - оборудование для производства тетрапаков;

Объект №3 – токарные станки-полуавтоматы.

Лизинговой компании известны оценки ожидаемой доходности от передачи объектов лизингополучателям, которая зависит от  стоимости объекта. Например,  при передаче лизингополучателю объекта №1 стоимостью 20 млн.руб. годовой доход компании от этой сделки составит 5,9 млн.руб., а при передаче объекта №3 стоимостью 50 млн.руб. годовой доход составит 14 млн.руб. Информация об ожидаемом годовом доходе компании по всем трем объектам при всех возможных вариантах стоимости этих объектов приведена в таблице:

Задача лизинговой компании заключается в том, чтобы определить, какие объекты о на какую сумму следует приобрести, чтобы обеспечить получение максимального суммарного дохода от передачи этих объектов лизингополучателям.

1.                  Построить математическую модель оптимального использования имеющегося капитала на приобретение объектов лизинга и записать ее в форме задачи динамического программирования.

2.                  Найти оптимальное распределение капитала в 70 млн. руб. на приобретение объектов.

3.                  Определить оптимальное распределение капитала в 70 млн.руб. на приобретение объектов лизинга в случае возникновения потребности лизингополучателей в объекте №4, стоимостные характеристики которого приведены в следующей таблице:

Решение.

3.1  Под многошаговым процессом в данном случае понимаем процесс распределения капитала в 70 млн. руб. между объектами лизинга. Под k-м шагом понимается выделение некоторой суммы средств на приобретение k-го объекта лизинга, k=1,2,3. Определяем управляющие параметры и параметры состояния:

уравнение u_k на k-м шаге – это размер средств, выделенных на приобретение k-го объекта лизинга, k=1,2,3;

параметры состояния x_k на k-м шаге – это остаток капитала, подлежащий дальнейшему распределению после приобретения k первых объектов лизинга, т.е. х₀ – начальная сумма капитала в 70 млн.руб., х₁ – сумма капитала, которая осталась после приобретения 1-го объекта лизинга, х₂ – сумма капитала, которая осталась после приобретения 1-го и 2-го объектов лизинга и т.д.

Уравнения состояния определяются из содержательного смысла переменных uk, xk:

x₁ =x₀ – u₁,

x₂ =x₀ – u₁ – u₂ =x₁ – u₂,

x₃ =x₀ – u₁ – u₂ – u₃  =x₂ – u₃, т.е.

x_k =F_k(x_k-1 , u_k),

где F_k(x_k-1 , u_k) = x_k-1 - u_k.

Таким образом, математическая модель оптимального использования капитала на приобретение объектов лизинга примет вид:

Найти неизвестные значения управлений u₁, u₂, u₃, удовлетворяющих ограничениям

x₁ =x₀ – u₁,

x₂ =x₁ – u₂,

x₃ =x₂ – u₃,

x₀ = 70,

0£u_k£x_k-1, k = 1,2,3

и доставляющих максимальное значение целевой функции Z = f₁(u₁) + f₂(u₂) + f₃(u₃) → max

Значения функций  f₁, f₂, f₃  содержатся в таблице исходных данных условия задачи.

3.2 Нахождение оптимального распределения капитала на прибретение трех объектов лизинга.

   Запишем таблицу исходных данных как таблицу значений показателя эффективности управления на всех трех шагах.

Таблица 1

Введем условные  максимумы Z_k*(x_k-1):

                            Z₁*(x₀) =  max  (f₁(u₁) + f₂(u₂) + f₃(u₃))

                                                                   ^u1,u2,u3

               Z₂*(x₁) =  max  (f₂(u₂) + f₃(u₃))

                                                                      ^u2,u3

Z₃*(x₂) =  max  (f₃(u₃))

                                                                       ^u3

 и запишем функциональные уравнения Беллмана

Z_k*(x_k-1) =  max  {f_k(u_k) + Z_k+1*(x_k-1)}, k = 1, 2,

                                                     ^0£uk£xk-1

Z₃*(x₂) =  max  f₃(u₃),

                                                                        ^0£u3£x2

Поскольку в соответствии с уравнением состояния x_k = x_k-1 - u_k, то уравнения (7) могут быть записаны следующим образом:

Z_k*(x_k-1) =  max  {f_k(u_k) + Z_k+1*(x_k-1-u_k)}, k = 1,2.

                                           ^0£uk£xk-1

Приступаем  к условной оптимизации и находим решение уравнения

Z₃*(x₂) =  max  f₃(u₃),

                                                              ^0£u3£x2

для всех возможных значений х₂.

Значения функции Z₃*(x2) совпадают с f₃(x₂), а  u₃*(x₂) совпадает с х₂, поскольку функция f₃(u) является монотонно возрастающей и, следовательно, на любом отрезке 0≤u≤x₂ достигает своего максимума в его правом конце х₂.

Переходим к нахождению множеств {Z₂*(x₁)} и {u₂*(x₁)} из уравнения (9) для k = 2:

Z₂*(x₁) =  max  {f₂(u₂) + Z₃*(x₁-u₂)},

                                                 ^0£u2£x1

Заполним две вспомогательные таблицы. Вспомогательная таблица для второго шага условной оптимизации представлена таблицей 3.

В столбце таблицы 3 выделены те значения u3,на которых достигается  max  {f₂(u₂) + Z₃*(x₁-u₂)}, т.е. выделены значения условных оптимальных управлений u₂*(x₁), соответствующих условным максимумам Z₂*(x₁). Найденные значения заносим в итоговую таблицу 2.

Таблица 2

Таблица 3.

Для третьего шага условной оптимизации, т.е. для k = 1, вспомогательная таблица представлена таблицей 4.

Таблица 4.

В столбце «u1», таблицы 4 выделены значения условных управлений u₁*(x₀), соответствующих условным максимумам Z₁*(x₀). Найденные значения u₁*(x₀)  и Z₁*(x₀) заносятся в основную таблицу 2,  которая оказывается полностью заполненной и приведена выше .На этом заканчивается этап условной оптимизации. Второй этап задачи – безусловная оптимизация.

По определению максимальное значение показателя эффективности всего процесса есть Z₁*(x₀) для х₀ = 70. Из таблицы 2 находим Z₁(70) = 21,1, а u₁* = u₁*(70) = 20(30) – оптимальное управление на первом шаге. Так как х₁ = х₀ – u₁, то х₁* = х₀^* – u₁* = 70 – 20(30) = 50(40).

Далее по столбцам «х» и «u₂*(x₁)»  таблицы 2 находим u₂* = u₂*(x₁*) =u₂*(50(40)) = 20 – оптимальное управление на втором шаге. Так как х₂ = х₁ – u₂, то х₂* = х₁^* – u₂* = 50(40) –20 = 30(20).

Далее по столбцам «х» и «u₂*(x₂)»  таблицы 2 находим u₃* = u₃*(x₂*) =u₃*(30(20)) = 30(20) – оптимальное управление на втором шаге.

Таким образом, найдено максимальное значение целевой функции Z_max = 21,1 и оптимальные управления на каждом шаге u₁* = 20, u₂* = 20, u₃* = 30 или u₁* = 30, u₂* = 20, u₃* =20. Содержательный смысл  найденного решения заключается в том, что на приобретение 1-го объекта лизинга следует выделить 20 млн.руб., 2-го объекта – 20 млн.руб., 3-го объекта – 30 млн.руб., или  на приобретение 1-го объекта лизинга следует выделить 30 млн.руб., 2-го объекта – 20 млн.руб., 3-го объекта – 20 млн.руб.,что позволит получить 21,1 млн.руб. годового дохода от передачи приобретенных объектов лизингополучателям.

3.3 Нахождение оптимального распределения капитала на приобретение четырех объектов лизинга.

Решение этой задачи может быть легко получено на основе использования результатов решения предыдущей задачи, если номер шага k, соответствующий определению размера капитала на приобретение 4-го объекта лизинга будет назван «нулевым», а не четвертым. В этом  случае многошаговый процесс распределения капитала будет выглядеть следующим образом:

0-й шаг – определение размер капитала на приобретение 4-го объекта лизинга;

1-й шаг – определение размера капитала для 1-го объекта лизинга;

2-й шаг – для 2-го объекта;

3-й шаг – для 3-го объекта.

Функцию годового дохода от передачи  лизингополучателям 4-го объекта обозначим через f₀(u₀), где u₀ – размер капитала, выделяемый на приобретение 4-го объекта. Начальный размер капитала, обозначаемый ранее через х0, обозначим через х_-1, т.е. х_-1 = 70 млн.руб. Максимальный размер годового дохода лизинговой компании в данной задаче будет равен Z₀*( х_-1), т.к. по определению

Z-₁*(x₀) =  max  (f₀(u₀) + f₁(u₁) + f₂(u₂) + f₃(u₃)).

                                                ^u1,u2,u3

Воспользуемся функциональными уравнениями Беллмана и найденными ранее значениями {Z₁*(x₀)} для нахождения Z₀*(x_-1)

Z₀*(x_-1) =   max  {f₀(u₀) + Z₁*(x_-1-u₀)}= max  {f₀(u₀) + Z*(70-u₀)}=

                                         ^{0£u0£x-1             0£u0£70}

=max { f₀(0) + Z*(70); f₀(10) + Z₁*(60); f₀(20) + Z₁*(50); f₀(30) + Z₁*(40); f₀(40) + Z₁*(30); f₀(50) + Z₁*(20); f₀(60) + Z₁*(10); f₀(70) + Z₁*(0)}=

=max{0+21,1, 3,95+18,3, 7,5+15,45, 10,65+12,55, 13,4+9,55, 15,75+6,5, 17,7+3.4, 19,25+0} = 23,2

т.е. Z₀*(x_-1) = Z₀*(70) = 23,2.

При этом максимум достигается при u₀* = u₀*(70) = 30. Тогда х₀* = х_-1* -u₀*= 70-30 = 40, следовательно, u₁* = u₁*(x₀*) = u₁*(40) = 10 из табл.2. Далее х₁* = х₀* -u₁*= 40-10 =30, следовательно, u₂* = u₂*(x₁*) = u₂*(30) = 10 из табл.2. Наконец, х₂* = х₁* -u₂*= 30-10 =20, следовательно, u₃* = u₃*(x₁*) = u₃*(20) = 20 из табл.2.

Таким образом,  получено оптимальное распределение капитала в 70 млн. руб. на приобретение четырех объектов лизинга и соответствующее этому распределению максимальное значение годового дохода:

Максимальный доход Z_max(70) = 23,2 млн.руб.

На приобретение 1- го  объекта выделяется 10 млн.руб, 2-го объекта выделяется 10 млн.руб , на приобретение 3-го объекта выделяется 20 млн.руб, 4-го объекта – 30 млн.руб.

Итоговый ответ решения задачи представим в следующем виде

Для трех объектов:

Z_max(70) = 21,1 млн.руб.; U* = (u₁*, u₂*, u₃*) = (20;20;30) или U* = (u₁*, u₂*, u₃*) = (30;20;20)

Для четырех объектов:

Z_max(70) = 23,2 млн.руб.; U* = (u₁*, u₂*, u₃*, u₄*) = (10;10;20;30).

Задача 4

Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и ускоренном режиме выполнения приведены в следующей таблице:

         Требуется:

1.                  С учетом технологической последовательности работ построить сетевой график выполнения этих работ.

2.                  Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найти критический путь и его продолжительность, указать все возможные критические пути, определить стоимость всего комплекса работ.

3.                  Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 4 дн. С какую итоговую сумму обойдется фирме ускоренная стройка павильона.

Решение.

3.1 Упорядоченный  сетевой график строительства торговой павильона изображен на рис., где рядом с буквой, обозначающей работу, в скобках проставлено число, равное нормальному сроку ее выполнения.

;

 Т^кр – критическое время, т.е. наименьшее время выполнения всего комплекса работ.

Т^р_i – раннее время наступления i-й события, т.е. момент времени, раньше которого событие i не может наступить. Рассчитаем Т^р_i для всех событий сетевого графика, т.е. для i= 1,2,…,7. Время наступления 1-го события сетевого графика будем считать равным нулю, т.е.    Т^р₁ = 0. Далее последовательно находим Т^р₂,…, Т^р₆

дн

 дн; 

 дн;

Стоимость S =1,2+4,8+14,4+28,8+90+31,2+0,4+1,6+69,6+36= 278

Критический срок Ткр = 35 дней

Критические пути (V,Q,A,D), (V,Q,F,D).

3.3

Просматривая все полные некритические пути, убеждаемся, что при сокращении срока строительства на 4 дня, т.е. до 31 дня, критическим могут стать пути Р₁, Р₂, Р₆, Р₇.

Сокращение сроков строительства торгового павильона

 Для пути P₁ эффективно сократить работу D на 2 дня и работу F на 2 дня. Так как все остальные пути содержат работу D, то они тоже сокращаются на 2 дня.  Для пути P₂ эффективно сократить работу А на 2 дня. Пути  Р₆, Р₇ перестают быть критическими.

При этом дополнительные затраты составят:

2(дня) ´ 7,2(млн.руб./день)+ 2(дня) ´ 7,8(млн.руб./день) + 2(дня) ´ 0,3(млн.руб./день) = 30,6 (млн.руб.)

Критическое время станет равным

Ткр = 35 – 4 = 31 (день).

Новая стоимость работ будет равной

S = 278 +30,6= 308,6 (млн.руб.).

Критические пути (V,Q,A,D), (V,Q,F,D).

                                                           Задача 5

Имеются данные по 15 субъектам Российской Федерации за январь-март 2001 года о денежных доходах и потребительских расходах на душу населения в среднем за месяц, которые приведены в  таблице:

На основе имеющихся данных требуется:

1. Построить поле рассеяния наблюдаемых значений показателей и на основе его визуального наблюдения выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости потребительских расходов у от денежных доходов х; записать эту гипотезу в виде математической модели.

2. Используя метод наименьших квадратов найти точечные оценки неизвестных параметров модели, записать найденное уравнение регрессии и построить график функции регрессии.

3. Найти коэффициент парной корреляции между денежными доходами и потребительскими расходами; проверить значимость найденного коэффициента корреляции. Найти коэффициент детерминации.

4. Проверить с помощью критерия Фишера значимость уравнения регрессии (адекватность модели исследуемой зависимости).

5. Найти точечный и интервальный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-ом субъекте РФ увеличится на 30%.

6. Привести содержательную интерпретацию полученных результатов.

Решение.

5.1. Построение математической модели. Оценка неизвестных параметров методом наименьших квадратов.

Полем рассеяния называется множество точек на плоскости, координаты которых соответствуют наблюдаемым значениям исследуемых показателей. В нашем примере х_i – среднедушевые денежные доходы, y_i – среднедушевые потребительские расходы в i-м субъекте РФ, i = 1,…,15. Таким образом, поле рассеяния состоит из 15-ти точек с координатами (x_i,y_i), которые показаны на рис.

Визуальный анализ поля рассеяния позволяет выдвинуть гипотезу о линейной зависимости  потребительских расходов у от денежных доходов х и записать эту зависимость в виде линейной модели

у = α + βх + u,

где α, β - неизвестные постоянные коэффициенты, а u – случайная величина, характеризующая  отклонения реальных значений потребительских расходов от их теоретических значений α + βх. Случайная величина u называется случайным отклонением  или случайным возмущением модели. Ее включение в модель призвано отразить:

а) влияние не учтенных в модели факторов, влияющих на размер потребительских расходов;

б) элемент случайности и непредсказуемости человеческих реакций;

в) ошибки наблюдений и измерений.

5.2 После формулировки математической модели основная задача состоит в получении оценок неизвестных параметров  α и β по результатам наблюдений над переменными х и у, т.е. задача состоит в получении так называемого уравнения регрессии

у = a + bх,  являющегося некоторой реализацией модели, в котором коэффициенты а и b есть оценки неизвестных параметров α и β соответственно. Решение задачи нахождения оценок а и b основывается на применении метода наименьших квадратов (сокращенно  - МНК). суть которой в следующем.

Нахождение оценок а и b неизвестных параметров α и β сводится к следующей экстремальной задаче функции двух переменных  F(a,b):

F(a,b)/Σ(y_i – a - bx_i)² → min,

Которая в свою очередь сводится к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными а и b:

 an + bΣx_i = Σy_i,

aΣx_i + bΣx_i² = Σx_iy_i.

Решение этой системы можно получить по правилу Крамера:

      Σy_i×Σx_i² – Σx_iy_i×Σx_i                nΣx_iy_i – Σx_iΣy_i           

a = —————————,      b = ——————— .

          nΣx_i² – (Σx_i)²                          nΣx_i² – (Σx_i)²    

Обозначим через  х_ср = 1/n Σх_i, у_ср = 1/n Σу_i  выборочные средние наблюдаемых значений  переменных х и у. Таким образом, оценки а и b можно искать по следующим формулам:

       nΣx_iy_i – Σx_iΣy_i           

b = ——————— ,         а = у_ср - bх_ср.                                                       (2)

        nΣx_i² – (Σx_i)²

Для удобства вычисления оценок искомых коэффициентов модели составляется табл.1, в которой столбцы    «у», «у - у», «(у - у)²» заполняются после нахождения уравнения регрессии.

Табл.1

Воспользуемся формулами (2) и значениями последней строки табл.1 для нахождения оценок а и b. Тогда

х_ср = Σх_i/15 =29,43/15 = 1,96 (тыс.руб.) – среднее значение среднедушевых доходов;

у_ср = Σу_i/15 = 20,95/15 = 1,4 (тыс.руб.) – среднее значение среднедушевых потребительских расходов.

Следовательно,  b = 0,609

 а = у_ср – bx_cp =  0,202

Таким образом, искомое уравнение регрессии примет вид

ŷ = 0,609x + 0,202

Найденное уравнение регрессии есть уравнение прямой, которая изображена на рис.

5.3. Нахождение коэффициентов корреляции и детерминации.

Мерой зависимости между переменными х и у может служить выборочный коэффициент парной корреляции, который обозначается через r_xy  и определяется по формуле:

                      nΣx_iy_i – Σx_iΣy_i

r_xy = ——————¾¾¾¾——¾— ,

          √nΣx_i² – (Σx_i)²    √ nΣу_i² – (Σу_i)²    

Подставляя соответствующие значения из последней строки табл.1, получаем

r_xy = 0.871, r_xy > 0 и близко к 1, следовательно, связъ сильная положительная, т.е. при увеличении доходов,  расходы растут.

Для того, чтобы с большей уверенностью делать вывод о наличии или отсутствии линейной взаимосвязи между переменными х и у, разработан критерий проверки того, существенно ли отличие коэффициента корреляции от нуля или, другими словами, значимо ли значение коэффициента корреляции. Если в результате проверки выясняется, что коэффициент корреляции существенно отличается от нуля, то, несмотря даже на не очень близкое значение коэффициента к единице, делается вывод о наличии линейной взаимосвязи между переменными х и у. Если же подтверждается несущественное отличие r_xy  от нуля, то, не смотря на возможно достаточно большое значение коэффициента, делается вывод об отсутствии линейной взаимосвязи между переменными.

Проверка существенности отличия коэффициента корреляции от нуля проводится по схеме:                                                                                                                            .               

              │ r_xy  √ n-2    │

 если      │ ¾¾¾¾   │ > t_1-α/2,n-2 ,    

                    √1 – r_xy²

то гипотеза о существенном отличии коэффициента корреляции от нуля принимается, в противном случае отвергается.

Здесь t_1-α/2,n-2 – квантиль распределения Стьюдента, α -  уровень значимости или уровень доверия, n – число наблюдений, (n-2) – число степеней свободы. Значение α задается исследователем зависимости между х и у. Примем α = 0,05, тогда t_1-α/2,n-2 = t_0,975,13 = 2,1604 

                                                                                                                         .                              

              r_xy √ n-2      0,871´√15-2

              ¾¾¾¾   = ¾¾¾¾¾    = 6,392  >  t_0,975,13

                √1 – r_xy²        √1- 0,871²

Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильная линейная связь между х и у. Т.е.  если мы будем проводить многократное повторение эксперимента по исследованию зависимости между доходами и расходами, всякий раз выбирая различные группы из 15 субъектов РФ, то в 95% этих экспериментов будет обнаружена тесная линейная зависимость между х и у, т.е. в  95% случаев коэффициент корреляции r_xy будет существенно отличатся от нуля.

Определим коэффициент детерминации по формуле:

        S(ŷ_i - y_cp)²                                 S(y_i - ŷ_i)²   

R² = ¾¾¾¾¾   или     R² = 1 - ¾¾¾¾¾ .

        S(у_i - у_ср)²                                 S(y_i - y_cp)²   

где у_ср – выборочное среднее y_i – выборочные значения зависимой переменной, ŷ_i – значения зависимой переменной, вычисленные по уравнению регрессии ŷ_i = a +bx.

Очевидно, что 0£ R² £ 1. Значение R²  характеризует ту долю дисперсии переменной у, которая обуславливается уравнением регрессии ŷ_i = a +bx. Таким образом,  чем ближе значение R² к единице, тем точнее уравнение регрессии отражает имеющуюся зависимость между переменными.

Из последней строки табл. получаем S(ŷ_i - y_cp)² = 0,489.

Знаменатель в формуле для R² перепишем в виде

S(y_i - y_cp)²  = Sy_i² – ny_cp² = 31,283 - 15´1.4² = 1,883,

                         0.489

тогда R² = 1 - ¾¾¾ = 0.74

                         1,883

Так как R²  близок  к единице, то уравнение регрессии  достаточно точно отражает истинную зависимость между доходами и расходами.

5.4 Проверка значимости уравнения регрессии с помощью критерия Фишера

Рассмотрим найденное уравнение ŷ = 0,609x + 0,202 и проверим его значимость.

1.    Определим общую вариацию Q = S(y_i - y_cp)²  = Sy_i² – ny_cp² = 31,283 - 15´1.4² = 1,883.

2.    Определим остаточную вариацию Q₂ = S(ŷ_i - y_cp)² = 0,489

3.    Определим объясненную вариацию Q₁ = S(y_i - y_cp)² = Q – Q₂ = 1,883 – 0.489  = 1,394.

4. Определим отношение                         

                  Q₁                  1,394

F_факт. = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾ = 37,06.

                Q₂/(n-2)       0.489/(15-2)

1.    Зададим уровень значимости α =0,01 по таблице находим квантиль распределения Фишера F_0,05;1;13 = 4,67, где 1 – число степеней свободы.

2.                  F_факт. > F_0,05;1;13, т.к. 37,06 > 4.67.

Следовательно,  делается вывод о значимости уравнения регрессии при     α = 5% - м уровне значимости.

5.5  Нахождение точечных и интервальных прогнозов.

Точечным прогнозом значения зависимой переменной у, соответствующего некоторому значению независимой переменной х = х₀, называется значение ŷ₀, получаемое путем подстановки в уравнение регрессии х = х₀, т.е.

ŷ₀ = ŷ(х₀)= a + bx₀ – точечный прогноз.

Найдем точечный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-ом субъекте РФ в будущем периоде, что среденемесячные денежные доходы в этом субъекте  увеличатся на 30%, т.е.

ŷ = 0,609x + 0,202

х₀ = х₁₀ + 0,3´х₁₀   = 1,3´х₁₀ = 1,3´1,99 = 2,587

ŷ₀ = 0,609´2,587 + 0,202 =1,777 (тыс.руб.).

Таким образом, если среднемесячные денежные доходы в 10-м субъекте РФ увеличатся на 30%, то  потребительские расходы в этом субъекте составят 1,777 тыс.руб.

Интервальным прогнозом зависимой переменной у, соответствующим некоторому значению независимой переменной х = х₀, называется доверительный интервал, границы которого находятся по формуле: ŷв.н. = ŷ(х₀) ± t_1-α/2,n-2S_ŷ,

где у_в, у_н – соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала;

ŷ(х₀) – точечный прогноз;

t_1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента;

(1-α/2) – доверительная верояность;

(n-2) – число степеней свободы;

               /   1       (x₀ – x_cp)                                 S(ŷ_i - y_i)²                                    

S_ŷ  = S √  ¾  + ¾¾¾¾¾ ,    S = √S² , S² = ¾¾¾¾,

                n        S(x_i – x_cp)²                                   n-2     

Доверительный интервал – это такой интервал, в котором с заданной вероятностью будет находиться прогнозируемое значение зависимой переменной у.

Найдем интервальный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-м субъекте РФ в будущем периоде предполагая, что среднемесячные денежные доходы в этом субъекте  РФ увеличатся на 30%.

Ранее вычислено ожидаемое значение денежных доходов х₀ = 2,587 тыс.руб.

Пусть α = 0,05, тогда 1-α = 0,95;   t_1-α/2,n-2 = t_0,975,13 = 2,1604;

         S(ŷ_i - y_i)²      0,489                                                                                                                                     ^.            

S² = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = 0,038;  S = √ 0.038 = 0.194

           n – 2            13

(х₀ - х_ср)² = (2,587 – 1,96)² =   0,393

S(x_i - x_cp)² = Sх_i² – n(x_cp)² = 61,88 - 15´1.96² = 4,256.

               _______________                   ____________

              /   1       (x₀ – x_cp)²                    / 1         0,393

S_ŷ  = S √  ¾  + ¾¾¾¾¾  = 0.194 √ ¾  + ¾¾¾¾  = 0,077

                n        S(x_i – x_cp)²                    15        4,256

Следовательно, ŷ_н =1,777 – 0,077 = 1,7 (тыс.руб.)

ŷ_в  =  1,777 + 0,077 = 1,854 (тыс.руб.)                   

Это означает , что при увеличении среднедушевых среднемесячных денежных доходов на 30%, размер среднедушевых среднемесячных потребительских расходов  с вероятностью 0,95 будет колебаться в пределах от 1,7 тыс.руб. до 1,854 тыс.руб.

5.6 Содержательная интерпретация полученных результатов.

Рассмотрим найденное уравнение регрессии

ŷ = 0,609x + 0,202 . Коэффициент а = 0,202 не имеет экономического смысла, поскольку формально соответствует размеру потребительских расходов при нулевом уровне денежных доходов. Коэффициент b = 0,609  определяет прирост потребительских расходов, обусловленный приростом денежных доходов.

Содержательная интерпретация всех остальных понятий и формул, использованных в данной задаче была приведена по ходу решения.

В заключение впишем итоговые результаты.

1.    у = α + βх + u – математическая модель зависимости потребительских расходов от денежных доходов.

ŷ = 0,609x + 0,202 – уравнение регрессии, количественно выражающее зависимость расходов от доходов.

2.    r_xy = 0.871– коэффициент корреляции между х и у, его значение свидетельствует о достаточно тесной линейной зависимости расходов и доходов.

3.    R² =0.74– коэффициент детерминации, близость его к единице показывает, что уравнение регрессии достаточно точно отражает имеющуюся зависимость между расходами и доходами.

5. F_факт. =37,06 – значение критерия Фишера для найденного уравнения регрессии; F_факт. > F_0,05, что подтверждает значимость уравнения регрессии (адекватность модели исследуемой зависимости)  при 5% уровне значимости.

6. ŷ₀ (х₀) = 1,777  (тыс.руб.) – точечный прогноз;

ŷ_н  = 1,7 (тыс.руб.)

ŷ_в = 1,854 (тыс.руб.)  - интервальный прогноз  с 95% доверительной вероятностью.