Постановка задачи

При проведении статистического наблюдения за деятельностью предприятий корпорации получены выборочные данные по 32-м предприятиям, выпускающим однородную продукцию  (выборка 10%-ная, механическая), о среднегодовой стоимости основных производственных фондов и  о выпуске продукции за год.

В проводимом статистическом исследовании обследованные предприятия выступают как единицы выборочной совокупности, а показатели Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и Выпуск продукции – как изучаемые признаки единиц.

Для проведения автоматизированного статистического анализа совокупности выборочные данные представлены в формате электронных таблиц процессора Excel в диапазоне ячеек B4:C35. Выборочные данные приведены в таблице 1.

Таблица 1

1.Статистический анализ выборочной совокупности.

Задание 1

Выявить наличие среди исходных данных резко выделяющихся значений признаков («выбросов» данных) с целью исключения из выборки аномальных единиц наблюдения.

Любая исследуемая совокупность может содержать единицы наблюдения, значения признаков которых резко выделяются из основной массы значений. Такие единицы являются аномальными для совокупности, так как нарушают статистическую закономерность изучаемого явления.

В данной задаче аномальными единицами являются 2 точки с координатами(290;750) и (940;250) соответственно. Данные точки следует удалить из первичных данных и поместить в таблицу 2, представленную в качестве результативной таблицы.

Таблица 2

Задание 2

 Рассчитать обобщающие статистические показатели совокупности по изучаемым признакам: среднюю арифметическую (), моду (Мо), медиану (Ме), размах вариации (R), дисперсию(), средние отклонения – линейное () и квадратическое (σn), коэффициент вариации (Vσ), структурный коэффициент асимметрии  К.Пирсона (Asп).

Расчёт описательных параметров выборочной и генеральной совокупности осуществляется с использованием инструмента Описательная статистика. Рассчитанные таким образом параметры отражены в таблице 3. Расчёт описательных параметров выборочной совокупности осуществляется при помощи инструмента Мастер функций. На основе вычисленных параметров формируется таблица 5. На основе таблиц 3 и 5 можно сформировать таблицу 8, в которой отражены значения выборочных показателей перечисленных в задании 2.

Таблица 8. «Описательные статистики выборочной совокупности»

Задание 3

На основе рассчитанных показателей в предположении, что распределения единиц по обоим признакам близки к нормальному, оценить:

а) степень колеблемости значений признаков в совокупности;

б) степень однородности совокупности по изучаемым признакам;

в) устойчивость индивидуальных значений признаков;

                г) количество попаданий индивидуальных значений признаков в диапазоны (), (), ().

а) Степень колеблемости признака определяется по значению коэффициента вариации V_s, который  выражается в процентах и вычисляется по формуле:

%                                             

Величина V_s оценивает интенсивность колебаний вариантов относительно их средней величины.

Для первого признака коэффициент вариации равен 17,23256866. Он больше 0% и меньше 40%, значит для  первого признака колеблемость незначительная.

Для второго признака V_s=21,74952089. И в данном случае  0%<V_s40%, значит,  для второго признака колеблемость так же будет незначительной.

б) Для нормальных и близких к нормальному распределений показатель V_s служит индикатором однородности совокупности: принято считать, что при выполнимости неравенства

V_s33%                                                    

совокупность является количественно однородной по данному признаку.

 В данной задаче для первого и второго признаков совокупность будет являться количественно однородной, так как в обоих случаях коэффициент вариации меньше 33% .

в) Сопоставление средних отклонений - квадратического s и линейного   позволяют сделать вывод об устойчивости индивидуальных значений признака, то есть об отсутствии среди них  “аномальных”  вариантов значений.

В условиях симметричного и нормального, а также близких к ним распределений между показателями s и  имеют место равенства

s1,25,       0,8s,  

Отношение показателей  и s может служить  показателем устойчивости данных: если

>0,8,                                      

то значения признака неустойчивы, в них имеются «аномальные» выбросы.         Для первого признака данное отношение составляет 0,533, а для второго 0,941. Так как 0,533 < 0,8, то, значения признака устойчивы.

г) Распределение значений признака по диапазонам рассеяния признака относительно

Таблица 9

На основе данных таблицы определим процентное соотношение рассеяний значения признака по трём диапазонам и сопоставим его с ожидаемым по правилу «трёх сигм» (68,3%; 95,4%;99,7%). Для первого признака процентное соотношение составляет: 47,62%; 71,43%;100%. А для второго - 50,00%;55,56%;100%.

Задание 4

Дать сравнительную характеристику распределений единиц совокупности по двум изучаемым признакам на основе анализа:

а) вариации признаков;

б) количественной однородности единиц;

в) надежности (типичности) средних значений признаков;

г) симметричности распределений в центральной части ряда

 а) мода Мо - наиболее часто встречающийся вариант значений признака или тот вариант, который соответствует максимальной ординате эмпирической кривой распределения. В нашем случае для первого признака она равна 715; а для второго - 650.

    медиана Ме - серединное значение ранжированного ряда вариантов значений признака. Для первого признака в данной задаче медиана равна 697,5; а для второго 647,5.           

   К показателям размера вариации относятся:

1)  размах вариации (интервал) R= x_max - x_min, устанавливающий предельное значение амплитуды колебаний признака. Для первого признака данный показатель равен 500, а для второго 600.

2) среднее линейное отклонение , которое вычисляется как среднее арифметическое из абсолютных отклонений |x_i -|. Для первого признака 95,67, а для второго 109,27.

3) дисперсия s², рассчитываемая как среднее арифметическое из квадратов отклонений (x_i -).Дисперсия для первого признака равна 95,12, а для второго 113,47.

4) Среднее квадратическое отклонение s, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии s² и показывающее, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения. Этот показатель равен 118,90 и 141,84 для первого и второго признаков соответственно.

б) Однородность совокупности устанавливается по коэффициенту вариации. Для данной задачи совокупность является количественно однородной, так как  коэффициент вариации  для обоих признаков меньше 33%.

в) Для оценки надёжности (типичности) средних значений признаков  можно воспользоваться значением коэффициента вариации, V_s.. Значение коэффициента вариации  невелико для обоих признаков, и не превышают 40 %, поэтому индивидуальные значения признака x_i мало отличаются друг от друга, единицы наблюдения количественно однородны и, следовательно, средняя арифметическая величина  является надежной характеристикой данной совокупности.

г)  Для анализа формы распределения на её близость к нормальной форме используют показатель асимметрии -  коэффициент асимметрии Пирсона As_п, который оценивает асимметричность распределения в центральном диапазоне.  Коэффициенты асимметрии для первого и второго признака равны -0,21025237 и 0,015275091 соответственно.

В симметричном распределении характеристики центра распределения совпадают =Mo=Me. В нашем случае этого не наблюдается ни для одного признака, поэтому вершина кривой находится не в середине, а сдвинута либо влево, либо вправо. Для оценки асимметричности распределения служит коэффициент Пирсона. Для первого признака имеет место левостороння асимметрия, так как  As<0    , а для второго признака правосторонняя, потому что As>0     В нашем случае для обоих признаков асимметрия незначительна, так как  в |As|<0,25.

Задание 5

 Построить интервальный вариационный ряд и гистограмму распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и установить характер (тип) этого распределения. Рассчитать моду Мо полученного интервального ряда и сравнить ее с показателем Мо несгруппированного ряда данных.

Выполнение задания осуществляется в три этапа:

1.                             Построение промежуточной таблицы.

2.                             Генерация выходной таблицы и графиков.

3.                             Приведение выходной таблицы и диаграммы к виду, принятому в статистике.

Гистограмма и соответствующая таблица приведены ниже.

Для полученного интервального ряда значение моды рассчитывается по формуле:

,

где: х_Мо –левая граница модального интервала;

h – величина модального интервала;

f_Mo – частота модального интервала;

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

 (млрд. руб.)

Мода интервального ряда (504 млрд. руб.) и не сгруппированного

 (715 млрд. руб.) расходятся, так как  описательные статистики, рассчитанные по сгруппированным данным, реализуют точные функциональные зависимости значений показателей от исходных данных, в отличие от приближённых статистических оценок, выводимых с заданным уровнем надёжности.

2. Статистический анализ генеральной совокупности.

Задание 1.

 Рассчитать генеральную дисперсию , генеральное среднее квадратическое отклонение  и ожидаемый размах вариации признаков R_N. Сопоставить значения этих показателей для генеральной и выборочной дисперсий.

Генеральные показатели рассчитываются с помощью инструмента Описательная статистика и их значения приведены в таблице 3.  Сформируем для них отдельную таблицу 10 с заголовком «Описательные статистики генеральной совокупности».

Таблица 10

Величина дисперсии генеральной совокупности σ²_N может быть оценена по выборочной дисперсии σ²_n, если использовать формулу :

Для первого признака σ²_N=  14138,33 = 14625,86

Для второго σ²_N=  20119,47 = 20813,24

При достаточно больших n можно приближено считать, что обе дисперсии совпадают:

σ²_N  σ²_n.

В условиях близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальному соотношение R=6s используется для прогнозной оценки размаха вариации признака в генеральной совокупности.

          R_N = 6*120,9374304 = 725,6245824 - для первого признака

          R_N = 6*144,2679699 = 865,6078194 - для второго признака

Если сравнивать размах вариации для выборочной совокупности, то можно увидеть, что он немного меньше аналогичного признака для генеральной.

          R_n = 6*118,9047238 = 713,4283428 - для первого признака

          R_n = 6*141,8431254 = 851,0587524 - для второго признака

Задание 2

   Для изучаемых признаков рассчитать:

а) среднюю ошибку выборки;

б) предельные ошибки выборки для уровней надежности                          P=0,683, P=0,954, P=0,997 и границы, в которых будут находиться средние значения признака генеральной совокупности при заданных уровнях надежности.                             

а) Средняя ошибка выборки   выражает среднее квадратическое отклонение s выборочной средней  от математического ожидания M[] генеральной средней. Средняя ошибка выборки рассчитана для обоих признаков и соответственно   для первого признака = 17,23256866, а для второго = 21,74952089.

б)  Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних

Таблица 11.

Задание 3.

Рассчитать коэффициенты асимметрии As и эксцесса Ek. На основе полученных оценок  сделать вывод о степени близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальному распределению

 Значения коэффициентов асимметрии и эксцесса следующие для первого и второго признаков соответственно: -0,152503649 и  0,042954448;

-0,344943844 и -0,205332365.

 Для заключения  о степени близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальной форме следует обратиться к графику распределения, проанализировать полученную гистограмму и выяснить, на сколько нарушено предположение о нормальности.

 Гистограмма имеет одновершинную форму, поэтому можно предположить, что выборка является однородной по данному признаку.

As характеризует несимметричность распределения, а Ek характеризует крутизну кривой распределения - ее заостренность или пологость по сравнению с нормальной кривой. Для первого и второго  признаков коэффициент эксцесса Ek<0, поэтому вершина кривой распределения располагается ниже  вершины нормальной кривой. Чем больше абсолютная величина |Ek|, тем существеннее распределение отличается от нормального.

В данном примере наблюдается небольшое нарушение соотношения нормального распределения =Mo=Me As=0 As_п=0 R=6s, поэтому это свидетельствует о наличии небольшой асимметрии. Но в целом можно сказать, что гистограмма приблизительно симметрична  и она представляет распределение близкое к нормальному.

          Таким образом, распределение единиц выборочной совокупности близко к нормальному,  выборка является репрезентативной и при этом коэффициенты As_N, Ek_N  указывают на небольшую или умеренную величину асимметрии и эксцесса соответственно, значит есть основание полагать, что распределение единиц генеральной совокупности по изучаемому признаку будет близко к нормальному.

Приложение 1

Приложение 2