ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ФИЛИАЛ В Г. ЛИПЕЦКЕ

КАФЕДРА СТАТИСТИКИ

О Т Ч Е Т

о результатах выполнения

компьютерной лабораторной работы №1

«Автоматизированный априорный анализ статистической совокупности

 в среде MS Excel»

Вариант № 8

Липецк, 2007 г.

1. Постановка задачи

При проведении статистического наблюдения за деятельностью предприятий корпорации получены выборочные данные по 32-м предприятиям, выпускающим однородную продукцию  (выборка 10%-ная, механическая), о среднегодовой стоимости основных производственных фондов и  о выпуске продукции за год.

В проводимом статистическом исследовании обследованные предприятия выступают как единицы выборочной совокупности, а показатели Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и Выпуск продукции – как изучаемые признаки единиц.

Для проведения автоматизированного статистического анализа совокупности выборочные данные представлены в формате электронных таблиц процессора Excel в диапазоне ячеек B4:C35.

Исходные данные представлены в табл.1.

В процессе исследования совокупности необходимо решить ряд задач.

I. Статистический анализ выборочной совокупности

1.    Выявить наличие среди исходных данных резко выделяющихся значений признаков («выбросов» данных) с целью исключения из выборки аномальных единиц наблюдения.

2.    Рассчитать обобщающие статистические показатели совокупности по изучаемым признакам: среднюю арифметическую (), моду (Мо), медиану (Ме), размах вариации (R), дисперсию(), средние отклонения – линейное () и квадратическое (σn), коэффициент вариации (Vσ), структурный коэффициент асимметрии  К.Пирсона (Asп).

3.    На основе рассчитанных показателей в предположении, что распределения единиц по обоим признакам близки к нормальному, оценить:

а) степень колеблемости значений признаков в совокупности;

б) степень однородности совокупности по изучаемым признакам;

в) устойчивость индивидуальных значений признаков;

г) количество попаданий индивидуальных значений признаков в диапазоны (), (), ().

4.    Дать сравнительную характеристику распределений единиц совокупности по двум изучаемым признакам на основе анализа:

а) вариации признаков;

б) количественной однородности единиц;

в) надежности (типичности) средних значений признаков;

г) симметричности распределений в центральной части ряда.

5.    Построить интервальный вариационный ряд и гистограмму распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и установить характер (тип) этого распределения.

II. Статистический анализ  генеральной совокупности

1.    Рассчитать генеральную дисперсию , генеральное среднее квадратическое отклонение  и ожидаемый размах вариации признаков R_N. Сопоставить значения этих показателей для генеральной и выборочной дисперсий.

2.    Для изучаемых признаков рассчитать:

а) среднюю ошибку выборки;

б) предельные ошибки выборки для уровней надежности P=0,683, P=0,954, P=0,997 и границы, в которых будут находиться средние значения признака генеральной совокупности при заданных уровнях надежности.

3.    Рассчитать коэффициенты асимметрии As и эксцесса Ek. На основе полученных оценок  сделать вывод об особенностях формы распределения единиц генеральной совокупности.

III. Экономическая интерпретация результатов статистического исследования предприятий

В этой части исследования необходимо ответить на ряд вопросов.

1.     Типичны ли образующие выборку предприятия по значениям изучаемых экономических показателей?

2.     Каковы наиболее характерные для предприятий значения показателей среднегодовой стоимости основных фондов и выпуска продукции?

3.     Насколько сильны различия в экономических характеристиках предприятий выборочной совокупности? Можно ли утверждать, что выборка сформирована из предприятий с достаточно близкими значениями по каждому из показателей?

4.     Какова структура предприятий выборочной совокупности по среднегодовой стоимости основных фондов? Каков удельный вес предприятий с наибольшими, наименьшими и типичными значениями данного показатели? Какие именно это предприятия?

5.     Носит ли распределение предприятий по группам закономерный характер и какие предприятия (с более высокой или более низкой стоимостью основных фондов) преобладают в совокупности?

6.     Каковы ожидаемые средние величины среднегодовой стоимости основных фондов и выпуска продукции на предприятиях корпорации в целом? Какое максимальное расхождение в значениях показателя можно ожидать?

2. Рабочий файл с результативными таблицами и графиками

Рис.1Диаграмма рассеяния после удаления аномальных значений признака

Рис.2 Гистограмма и кумулята интервального ряда распределения

3. Выводы по результатам выполнения лабораторной работы[1]

I. Статистический анализ выборочной совокупности

Задача 1. Указать количество аномальных единиц наблюдения со ссылкой на табл.2.

Вывод: В ходе анализа первичных данных выборочной совокупности были выявлены и исключены из дальнейшего рассмотрения с целью обеспечения устойчивости данных статистического анализа 2 аномальных явления (см. таб.2)

Задача 2. Рассчитанные выборочные показатели представлены в двух таблицах - табл.3 и табл.5. На основе этих таблиц формируется единая таблица (табл.8) значений выборочных показателей, перечисленных в условии Задачи 2.

Таблица 8

Описательные статистики выборочной совокупности

Задача 3.

3а). Степень колеблемости признака определяется по значению коэффициента вариации V_s  в соответствии с оценочной шкалой колеблемости признака.

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель V_s =17,23%

Для признака Выпуск продукции показатель V_s =21,75%

Вывод: В соответствии с оценочной шкалой колеблемости признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, показатель V_s  которого равен 17,23%, и признак Выпуск продукции, показатель V_s  которого равен 21,75%,можем сделать вывод ,что колеблемость этих признаков незначительная, так как находится в интервале 0%< V_s <=40%.

3б). Однородность совокупности по изучаемому признаку для нормального и близких к нормальному распределений устанавливается по значению коэффициента вариации V. Если его значение невелико (V_s<33%), то индивидуальные значения признака x_i мало отличаются друг от друга, единицы наблюдения количественно однородны.

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель V_s =17,23%

Для признака Выпуск продукции показатель V_s =21,75%

Вывод: Так как значение показателя V_s для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и для признака Выпуск продукции невелико (V_s<33%), то индивидуальные значения признака x_i мало отличаются друг от друга, единицы наблюдения количественно однородны.

3в). Сопоставление средних отклонений – квадратического s и линейного  позволяет сделать вывод об устойчивости индивидуальных значений признака, т.е. об отсутствии среди них «аномальных» вариантов значений.

В условиях симметричного и нормального, а также близких к ним распределений между показателями s и  имеют место равенства s1,25, 0,8s, поэтому отношение показателей  и s может служить индикатором устойчивости данных.

Если >0,8, то значения признака неустойчивы, в них имеются «аномальные» выбросы. Следовательно, несмотря на визуальное обнаружение и исключение нетипичных единиц наблюдений при выполнении Задания 1, некоторые аномалии в первичных данных продолжают сохраняться. В этом случае их следует выявить (например, путем поиска значений, выходящих за границы ()) и рассматривать в качестве возможных «кандидатов» на исключение из выборки.

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель = 95,67 : 118,9 = 0,8

Для признака Выпуск продукции показатель =  109,27:141,84=0,77.

Вывод: Поскольку показатель для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов  равен 0,8 то есть = 0,8, следовательно, значения признака устойчивы и не имеют «аномальных» выбросов. И для признака Выпуск продукции  равен  0,77, то есть  < 0,8, следовательно, значения признака устойчивы и не имеют «аномальных» выбросов.

3г). Для оценки количества попаданий индивидуальных значений признаков x_i в тот или иной диапазон отклонения от средней , а также для установления процентного соотношения рассеяния значений x_i по 3-м диапазонам формируется табл.9 (с конкретными числовыми значениями границ диапазонов).

Таблица 9

Распределение значений признака по диапазонам рассеяния признака относительно

На основе данных табл.9 процентное соотношение рассеяния значений признака по трем диапазонам сопоставляется с рассеянием по правилу «трех сигм», справедливому для нормальных и близких к нему распределений:

68,3% значений располагаются в диапазоне (),

95,4% значений располагаются в диапазоне (),

99,7% значений располагаются в диапазоне ().

Если полученное в табл. 9 процентное соотношение рассеяния х_­i  по 3-м диапазонам незначительно расходится с правилом «3-х сигм», можно предположить, что изучаемое распределение признака близко к нормальному.

Расхождение с правилом «3-х сигм» может быть существенным. Например, менее 60% значений х_i попадают в центральный диапазон () или значительно более 5% значения х_i выходит за диапазон (). В этих случаях распределение нельзя считать близким к нормальному.

Вывод: Поскольку полученное в табл. 9 процентное соотношение рассеяния х_­i  по 3-м диапазонам незначительно расходится с правилом «3-х сигм», следовательно, изучаемое распределение признака близко к нормальному

Задача 4. Для ответа на вопросы 4а) – 4г) необходимо воспользоваться табл.8 и сравнить величины показателей для двух признаков.

4а). Для сравнения колеблемости значений признаков, имеющих разные средние , используется коэффициент вариации V_s.

Вывод: Так как V_s для первого признака меньше, чем V_s для второго признака, то колеблемость значений первого признака меньше колеблемости значений второго признака.

4б). Сравнение количественной однородности единиц.

Чем меньше значение коэффициента вариации V_s, тем более однородна совокупность.

Вывод: Так как V_s для первого признака меньше, чем V_s для второго признака, то его совокупность более однородна.

4в). Сравнение  надежности (типичности) средних значений признаков.

Чем более однородна совокупность, тем надежнее среднее значение признака

Вывод: Так как совокупность первого признака более однородна, то его среднее значение признака  надежнее

4г). Сравнение симметричности распределений в центральной части ряда.

В нормальных и близких к нему распределениях основная масса единиц (63,8%) располагается в центральной части ряда, в диапазоне (). Для оценки асимметрии распределения в этом центральном диапазоне служит коэффициент К.Пирсона – Asп.

При правосторонней асимметрии Asп>0, при левосторонней – Asп<0. Если Asп=0, вариационный ряд симметричен.

Вывод: Асимметрия распределения признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов в центральной части ряда является левосторонней, так как Asп=-0,21. Асимметрия признака Выпуск продукции является правосторонней, так как Asп=0,02_. Сравнение абсолютных величин |Аsп| для обоих рядов показывает, что ряд распределения признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов более  асимметричен, чем ряд распределения признака Выпуск продукции.

Задача 5. Интервальный вариационный ряд распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов представлен в табл.7, а гистограмма и кумулята – на рис.2.

Возможность отнесения распределения признака «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов» к семейству нормальных распределений устанавливается путем анализа формы гистограммы распределения. Анализируется количество вершин в гистограмме, ее асимметричность и выраженность «хвостов», т.е. частоты появления в распределении значений, выходящих за диапазон ().

1. При анализе формы гистограммы прежде всего следует оценить распределение вариантов признака по интервалам (группам). Если на гистограмме четко прослеживаются два-три «горба» частот вариантов, это говорит о том, что значения признака концентрируются сразу в нескольких интервалах, что не соответствует нормальному закону распределения.

Если гистограмма имеет одновершинную форму, есть основания предполагать, что выборочная совокупность может иметь характер распределения, близкий к нормальному.

Заключение по п.1: Гистограмма на рисунке 2 имеет одновершинную форму, значит есть основания предполагать, что выборочная совокупность может иметь характер распределения, близкий к нормальному.

2. Для дальнейшего анализа  формы распределения используются описательные параметры выборки - показатели центра распределения (, Mo, Me), вариации (), асимметрии в центральной части  распределения (AsП). Совокупность этих показателей позволяет дать качественную оценку близости эмпирических данных к нормальной форме распределения.

Нормальное распределение является симметричным, и для него выполняется соотношения:

=Mo=Me, As_п=0, R_n=6s_n.

Для первого признака:=690, Mo=715 ,Ме=697,5 , As_п=-0,21

Для второго признака: =652,17,Мо=650, Ме=647,5 , As_п=0,02

Нарушение этих соотношений свидетельствует о наличии асимметрии распределения. Распределение с небольшой или умеренной асимметрией в большинстве случаев относятся к нормальному типу.

Заключение по п.2: По полученным признакам равенство не выполняется, однако, расхождение в значениях невелико. Следовательно, в нашем случае имеем распределение с небольшой асимметрией, значит оно относится к нормальному типу.

3. В нормальном и близким к нему распределениях крайние варианты значения признака (близкие к хmin и хmax) встречаются много реже (5-7 % всех случаев), чем серединные (лежащие в диапазоне ()). Следовательно, по проценту выхода значений признака за пределы диапазона () можно судить о соответствии длины «хвостов» распределения нормальному закону.

Заключение по п.3: В нашем случае 7% значений признака выходят за пределы диапазона (), следовательно, “хвосты” распределения не очень длинны.

Вывод: Гистограмма является одновершинной, приблизительно симметричной, “хвосты” распределения не очень длинны , т.к. 7% вариантов лежат за пределами интервала (), следовательно, распределение признака «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов» можно отнести к семейству нормальных распределений.

II. Статистический анализ  генеральной совокупности

Задача 1. Рассчитанные генеральные показатели представлены в табл.10.

Таблица 10

Описательные статистики генеральной совокупности

Величина дисперсии генеральной совокупности  может быть оценена непосредственно по выборочной дисперсии .

В математической статистике доказано, что при малом числе наблюдений (особенно при n40-50) для вычисления генеральной дисперсии    по выборочной дисперсии  следует использовать формулу

.

При достаточно больших n значение поправочного коэффициента  близко к единице (при n=100 его значение равно 1,101, а при n=500 - 1,002 и т.д.). Поэтому при достаточно больших n можно приближено считать, что обе дисперсии совпадают:

_.

Рассчитаем отношение  для двух признаков:

Для первого признака =14625,86/14138,33=1,03 , для второго признака =20813,25/20119,47=1,03

Вывод: Степень расхождения между признаками отсутствует.

Для нормального распределения справедливо равенство R_N=6s_N.

В условиях близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальному это соотношение используется для прогнозной оценки размаха вариации признака в генеральной совокупности.

Ожидаемый размах вариации признаков R_N:

- для первого признака R_N =726,

- для второго признака R_N  =866.

Величина расхождения между показателями R_N и R_n:

- для первого признака |R_N -R_n|=726-500=226

- для второго признака |R_N -R_n| =866-600=266

Задача 2. Применение выборочного метода наблюдения связано с измерением степени достоверности статистических характеристик генеральной совокупности, полученных по результатам выборочного наблюдения. Достоверность генеральных параметров зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства генеральной совокупности.

Как правило, статистические характеристики выборочной и генеральной совокупностей не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности). Ошибка выборки – это разность между значением показателя, который был получен по выборке, и генеральным значением этого показателя. Например, разность

= |-|

определяет ошибку репрезентативности для средней величины признака.

Для среднего значения признака средняя ошибка выборки  (ее называют также стандартной ошибкой)  выражает среднее квадратическое отклонение s выборочной средней  от математического ожидания M[] генеральной средней .

Для изучаемых признаков средние ошибки выборки  даны в табл. 3:

- для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов

=22,08

- для признака Выпуск продукции

=26,34

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых  лежит генеральная средняя . Эти границы задают так называемый доверительный интервал генеральной средней  – случайную область значений, которая с вероятностью P, близкой к 1,  гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность называют доверительной вероятностью или уровнем надежности.

Для уровней надежности P=0,954; P=0,997; P=0,683 оценки предельных ошибок выборки  даны в табл. 3, табл. 4а и табл. 4б.

Для генеральной средней предельные значения и доверительные интервалы определяются выражениями:

,

Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних представлены в табл. 11.

Таблица 11

Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних

Задача 3 Значения коэффициентов асимметрии As и эксцесса Ek даны в табл.10.

Показатель асимметрии As оценивает смещение ряда распределения влево или вправо по отношению к оси симметрии нормального распределения.

Если асимметрия правосторонняя (As>0) то правая часть эмпирической кривой оказывается длиннее левой, т.е. имеет место неравенство >Me>Mo, что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака. (среднее значение  больше серединного Me и модального Mo).

Если асимметрия левосторонняя (As<0), то левая часть эмпирической кривой оказывается длиннее правой и выполняется неравенство <Me<Mo, означающее, что в распределении чаще встречаются более низкие значения признака (среднее значение  меньше серединного Me и модального Mo).

Чем больше величина |As|, тем более асимметрично распределение. Оценочная шкала асимметрии:

|As| 0,25            - асимметрия незначительная;

0,25<|As|0.5      - асимметрия заметная (умеренная);

|As|>0,5                - асимметрия существенная.

Вывод: Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов наблюдается незначительная  левосторонняя асимметрия.

Показатель эксцесса Ek характеризует крутизну кривой распределения - ее заостренность или пологость по сравнению с нормальной кривой.

Как правило, коэффициент эксцесса вычисляется только для симметричных или близких к ним распределений.

Если Ek>0, то вершина кривой распределения располагается выше  вершины нормальной кривой, а форма кривой является более островершинной, чем нормальная. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений, близких к средней величине.

Если Ek<0, то вершина кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от xmax до xmin.

Для нормального распределения Ek=0. При незначительном отклонении Ek от нуля форма кривой эмпирического распределения незначительно отличается от формы нормального распределения. Чем больше абсолютная величина |Ek|, тем существеннее распределение отличается от нормального.

Вывод: Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов Ek < 0 и для признака Выпуск продукции Ek < 0, что свидетельствует о том, что вершина кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от xmax до xmin. Распределение признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов не существенно отличается от нормального (|Ek| = 0,34), также и распределение признака Выпуск продукции           (|Ek| = 0,21).

III. Экономическая интерпретация результатов статистического исследования предприятий[2]

Задача 1.

Вывод: Образующие выборку предприятия являются в значительной степени типичными по значениям изучаемых экономических показателей, поскольку на начальном этапе исследования прослеживаются только два аномальных явления (см. табл.2). В дальнейшем анализ ведется без рассмотрения данных нетипичных предприятий. Исследование ведется по следующим экономическим показателям: Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и  Выпуск продукции.

Задача 2.

Вывод: Для предприятий наиболее характерны следующие значения показателей (см. табл. 9):

•  Среднегодовой стоимости основных производственных фондов 571-809 млн. руб. что свойственно 20 предприятиям, составляющим 67% выборочной совокупности.

• Выпуска продукции 510-794 млн. руб., что свойственно 19 предприятиям, которые составляют 63% выборочной совокупности.

Задача 3.

Вывод: Выборочная совокупность в экономических характеристиках предприятий является количественно однородной (см. задача 3, пункт 3б). Поэтому можно утверждать, что выборка сформирована из предприятий с достаточно близкими значениями по каждому из показателей.

Задача 4.

Вывод: В выборочной совокупности по среднегодовой стоимости основных фондов выделяется следующая структура предприятий (см. табл. 7):

-         4 предприятия со стоимостью 440 – 540 млн. руб., удельный вес которых 13,3%;

-         5 предприятий со стоимостью 540 – 640 млн. руб., удельный вес которых 16,6%;

-         11 предприятий со стоимостью 640 – 740 млн. руб., удельный вес которых 36,6%;

-         7 предприятий со стоимостью 740 – 840 млн. руб., удельный вес которых 23,3%;

-         3 предприятия со стоимостью 840 – 940 млн. руб., удельный вес которых 10%.

Основываясь на данных показателях можем сделать вывод, что удельный вес предприятий с наибольшими значениями показателя равен 10%, с наименьшими – 13,3%, с типичными – 36,6%.

Задача 5.

Вывод: Распределение предприятий по группам носит закономерный характер, поскольку гистограмма на рисунке 2 имеет одновершинную форму, а это говорит о том, что значения признака концентрируются в одной группе, что соответствует нормальному закону распределения. Данная гистограмма является левосторонней (см. задача 4 пункт 4г), следовательно в совокупности преобладают предприятия с более низкой стоимостью основных фондов.

Задача 6.

Вывод: Ожидаемые средние величины изучаемых экономических показателей на предприятиях корпорации в целом (см. табл. 11):

1. Для Среднегодовой стоимости основных фондов, млн. руб.:

–       667 – 512 при доверительной вероятности, равной 0,683;

–       644 – 736 при доверительной вероятности, равной 0,954;

–       618 – 762 при доверительной вероятности, равной 0,997.

2. Для Выпуска продукции, млн. руб.:

–       625 – 679 при доверительной вероятности, равной 0,683;

–       597 – 707 при доверительной вероятности, равной 0,954;

–       567 – 737 при доверительной вероятности, равной 0,997.

При таких ожидаемых значениях показателей возможны следующие максимальные расхождения:

–       для Среднегодовой стоимости основных фондов — 71,53 млн. руб.(при коэффициенте доверия =3)

–       для Выпуска продукции — 85,32 млн. руб. (при коэффициенте доверия =3)