МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ


ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ


КАФЕДРА «ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ»




К О Н Т Р О Л Ь Н А Я  Р А Б О Т А


по   дисциплине

Финансовая математика


Вариант 8







                             Выполнил:


                                                                            Проверил:

                                                                             .

   __________________

                                                                                                                                 подпись




 

 

 

Задание 1

В табл. 1.1 представлены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов).

Таблица 1.1

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Y(t)

39

50

59

38

42

54

66

40

45

58

69

42

50

62

74

46


1.     Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания  α1 = 0,3;      α2 = 0,6;  α3 = 0,3.

2.     Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;

3.     Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

·        случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

·        независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения      r1 = 0,32;

·  нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4.     Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5.     Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:

 

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения   по формулам:∑

Таблица 1.2

t

Y(t)

t-t

(t-t)

Y-Y

(Y-Y)(t-t)

1

39

-3,5

12,25

-9,5

33,25

2

50

-2,5

6,25

1,5

-3,75

3

59

-1,5

2,25

10,5

-15,75

4

38

-0,5

0,25

10,5

5,25

5

42

0,5

0,25

-6,5

-3,25

6

54

1,5

2,25

5,5

8,25

7

66

2,5

6,25

17,5

43,75

8

40

3,5

12,25

-8,5

-29,75

36

388

0

42

0

38


Произведем расчет:

Уравнение с  учетом полученных коэффициентов имеет вид:

Для сопоставления фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t) составим таблицу (табл. 1.3).

Таблица 1.3

t

1

2

3

4

5

6

7

8

Y(t)

39

50

59

38

42

54

66

40

Yp(t)

45,23

46,24

47,14

48,05

48,95

49,86

50,76

51,67


Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное , и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) . Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

         Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для II, III и IV кварталов:

Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 1.4) используя следующие формулы:

                                                   Таблица 1.4

Модель Хольта-Уинтерса


t

Y(t)

a(t)

b(t)

F(t)

Y(t)

Абс. погр.,

E(t)

Отн. погр.,

в %

1

2

3

4

5

6

7

8

0

-

44,43

0,90

0,7825

-


-

1

39

45,35

0,91

0,8596

38,94

0,06

0,14

2

50

46,24

0,90

1,0817

50,06

-0,06

0,12

3

59

46,87

0,82

1,2656

60,14

-1,14

1,94

4

38

47,95

0,90

0,7885

37,32

0,68

1,79

5

42

48,85

0,90

0,8597

41,99

0,01

0,01

6

54

49,80

0,91

1,0832

53,82

0,18

0,34

7

66

51,15

1,04

1,2805

64,19

1,81

2,75

8

40

51,75

0,91

0,7791

41,15

-1,15

2,88

9

45

52,57

0,88

0,8575

45,27

-0,27

0,61

10

58

53,48

0,89

1,0840

57,90

0,10

0,17

11

69

54,22

0,85

1,2757

69,62

-0,62

0,90

12

42

54,72

0,74

0,7722

42,91

-0,91

2,17

13

50

53,32

1,00

0,8757

47,56

2,44

4,88

14

52

57,28

0,99

1,0831

62,13

-0,13

0,21

15

74

58,19

0,96

1,2733

74,33

-0,33

0,45

16

46

59,28

1,00

0,7745

45,68

0,32

0,70








20,07

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности  между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 1.5.

Таблица 1.5

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели


t

E(t)

Точка поворота

E(t)2

[E(t)-E(t-1)]2

E(t)xE(t-1)

1

0,06

ххх

0,00

-

-

2

-0,06

0

0,00

0,01

0,00

3

-1,15

1

1,33

1,19

0,07

4

0,67

1

0,45

3,32

-0,77

5

-0,02

1

0,00

0,48

-0,01

6

0,16

0

0,03

0,03

0,00

7

1,80

1

3,24

2,68

0,30

8

-1,15

1

1,33

8,73

-2,08

9

-0,29

0

0,08

0,76

0,33

10

0,09

1

0,01

0,14

-0,03

11

-0,62

0

0,39

0,51

-0,06

12

-0,91

1

0,83

0,08

0,57

13

2,44

1

5,93

11,18

-2,21

14

-0,14

0

0,02

6,61

-0,33

15

-0,33

1

0,11

0,04

0,04

16

0,32

ххх

0,11

0,43

-0,11

Сумма

0,88

9,00

13,85

36,20

-4,30

 

Проверка точности модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр. 8 табл. 1.4) составляет 20,07, что дает среднюю величину 20,07/16 = 1,25%, что не превышает 5%.

Следовательно, условие точности выполнено.

 

Проверка условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 2 табл. 1.5) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 1.5 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и в последней строке гр. 3 табл. 1.5 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно  р=9.

Рассчитаем значение :

Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16.

Так как количество поворотных точек р=9 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и  d2=1,37):

Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:

1,37<1,39<12 – следовательно, уровни ряда E(t) независимы.

2) по первому коэффициенту автокорреляции r(1):

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения  < rтабл., то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтабл. = 0,32. Имеем: =0,31 < rтабл. = 0,32 – значит уровни независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

,

где     - максимальное значение уровней ряда остатков ;

 - минимальное значение уровней ряда остатков  ;

S – среднее квадратическое отклонение.

;

Так как 3,00<3,73<4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

 

Расчет прогнозных значений экономического показателя.

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты  и  определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения  и  (см. табл. 1.4) по формуле:

,

где    k – период упреждения;

 - расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

 - коэффициенты модели;

 - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

 - период сезонности.

Определим прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для: t = 17, 18, 19 и 20.

На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на  год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Рис. 1. Сопоставление расчетных (ряд 1) и фактических (ряд 2) данных

Задание 2

В таблице 2.1 даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.

Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индекс относительной силы; % R, % К, % D;

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Таблица 2.1

Дни

Цены

макс.

мин.

закр.

1

595

580

585

2

579

568

570

3

583

571

578

4

587

577

585

5

586

578

582

6

594

585

587

7

585

563

565

8

579

541

579

9

599

565

599

10

625

591

618


Решение

Для расчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся формулой:

,

где    k = 2 / (n + 1),

          - цена закрытия t-го дня;

          - значение EMA текущего дня t.

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня  и цены n дней тому назад :

где     - цена закрытия t-го дня.

          - значение МОМ текущего дня t.

Скорость изменения цен рассчитываем как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:

,

где     - цена закрытия t-го дня.

          - значение ROC текущего дня t.

Результаты расчетов представим в таблице (табл. 2.2).

Таблица 2.2

Дни

Цены

ЕМАt

МОМt

ROCt

макс.

мин.

закр.

1

595

580

585

-

-

-

2

579

568

570

-

-

-

3

583

571

578

-

-

-

4

587

577

585

-

-

-

5

586

578

582

580

-3

99,487

6

594

585

587

582

17

100

7

585

563

565

577

-13

99

8

579

541

579

577

-6

100

9

599

565

599

585

17

102

10

625

591

618

596

31

106


Для расчета индекса относительной силы используем формулу:

,

где    AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

         AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Расчеты представим в таблице 2.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2.3

Дни

Цены закрытия

Изменение (+/-)

RSI

1

585

-

-

2

570

-15

-

3

578

8

-

4

585

7

-

5

582

-3

-

6

587

5

53

7

565

-22

44

8

579

14

51

9

599

20

61

10

618

19

73


Рассчитаем  %R,  %К,  %D используя следующие формулы:


,

где     - значение индекса текущего дня t;

          - цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 – минимальная и максимальные цены за n предшествующих дней, включая текущие.


,

где     - значение индекса текущего дня t;

          - цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущие.


Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины  и   сглаживают, беря их трехдневную сумму.

Результаты расчетов представим в таблице 2.4.

Таблица 2.4

Дни

Цены

t

%Rt

%Dt

макс.

мин.

закр.

1

595

580

585


-


2

579

568

570

-

-


3

583

571

578

-

-


4

587

577

585

-

-


5

586

578

582

52

48


6

594

585

587

73

27


7

585

563

565

6

94

42

8

579

541

579

72

28

54

9

599

565

599

100

0

69

10

625

591

618

92

8

89



















Задание 3

3.1. Банк выдал ссуду, размером 4000000 руб. Дата выдачи ссуды 10.01.02, возврата 20.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 45% годовых. Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.


Решение

3.1.1) К = 365, t = 71, I = 4000000 * 0,45 * 71 / 365 = 350136,99  руб.

3.1.2) К = 360, t = 71, I = 4000000 * 0,45 * 71 / 360 = 355000,00 руб.

3.1.3) К = 360, t = 72, I = 4000000 * 0,45 * 72 / 360 = 360000,00  руб.


3.2. Через 90 дней после подписания договора должник уплатил 4000000 руб. Кредит выдан под 45% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение

P = S / (1 + ni) = 4000000 / (1 + 0,45 * 90 / 360) = 3595505,61 руб.

D = SP = 4000000 – 3595505,61 = 404494,39 руб.


3.3. Через 90 предприятие должно получить по векселю 4000000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 45% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.


Решение

D = Snd = 4000000 * 0,45 * 90 / 360 = 450000,00 руб.

P = SD = 4000000 – 450000 = 3550000,00 руб.

3.4. В кредитном договоре на сумму 4000000 руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 45% годовых. Определить наращенную сумму.


Решение

S = P * (1+i)n = 4000000* (1 + 0,45)5 =25638936,25 руб.


3.5. Сумма размером 4000000 руб. представлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка 45% годовых. Проценты начисляются 4 раза в году. Вычислить наращенную сумму.


Решение

N = 5 * 4 = 20

S = P * (1+j / m)N  = 4000000 * (1 + 0,45 / 4)20  = 33733420,84 руб.


3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 45% годовых.


Решение

iэ = (1 + j / m)m - 1 = (1 + 0,45 / 4)4 – 1 = 0,5318, т.е. 53%.


3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 45% годовых.


Решение

j = m * [(1 + iэ)1/m - 1] = 4 * [(1 + 0,45)(1/4) – 1] = 0,38936, т.е. 38,936%.


3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 4000000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 45% годовых.


Решение

 руб.

3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма          4000000 руб. Банк учел вексель по учетной ставке 45% годовых. Определить дисконт.


Решение

P = S (1 – dсл)n = 4000000 * (1 – 0,45)5 = 201313,75 руб.

D = SP = 4000000 – 201313,75 = 3798686,25 руб.


3.10. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 4000000 руб., на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 45%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.


Решение

 руб.