МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова
Математический факультет
Кафедра геометрии и высшей алгебры
Лакунова
Залина
Дипломная работа
«О некоторых применениях алгебры матриц»
Научный руководитель:
д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В
А
/В.Н.Шокуев /
Рецензент:
к.ф.-м.н.,доцент
/В.М.Казиев/
Допущена к защите
2002г.
Заведующий кафедрой
к.ф.-м.н.,доцент
/А.Х.Журтов/
Нальчик 2002
Оглавление
стр.
Введение 3
§1. О правиле Крамера 4
§2. Применение циркулянтов малых
порядков в теории чисел 9
§3. Матричный вывод формулы Кардано 17
Литература 21
Отзыв
О дипломной работе «О
некоторых применениях алгебры матриц».
Студентки 6 курса МФ
специальности «математика» Лакуновой З.
В данной дипломной работе
рассматривается новые применения матриц в теории систем линейных уравнений,
теории чисел и теории алгебраических уравнений малых степеней.
В §1 дается новый
(матричный) вывод правила Крамера для решения любых квадратных систем линейных
уравнений с неравным нулю определителем.
В §2 получено тождество
(1) , которое используется для доказательства некоторых теоретико-числовых
фактов (предложения 1-4); при этом
основную роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь
попутно доказана теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех
положительных чисел.
В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения
кубических уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он
опирается на свойства циркулянта (третьего порядка).
Считаю, что результаты
получения в дипломной работе студентки Лакуновой З. удовлетворяют требованиям,
предъявляемым к дипломным работам, и могут быть допущены к защите.
Предварительная оценка –
«хорошо»
д.ф.-м.н.,
проф.каф. Г и ВА /В.Н.Шокуев/
§1. О правиле Крамера
В литературе известны разные способы
решения Крамеровой системы линейных алгебраических уравнений. Один из них –
матричный способ – состоит в следующем.
Пусть дана Крамерова система, т.е.
квадратная система 
линейных уравнений с
неизвестными 
(1)
Определитель которой отличен от нуля:
(2)
Систему (1) можно представить в виде
одного матричного уравнения
(3)
где 
- матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),
(4)
- столбец (Матрица-столбец) неизвестных
- столбец свободных членов системы (1)
Так как 
, то матрица невырожденная и для
нее существует обратная матрица 
. Умножив равенство (3) на (слева), получим
(единственное) решение системы в следующей матричной форме (в предположении,
что она совместима и 
- ее решение)
,
где обратная матрица имеет вид:
(
-алгебраическое дополнение элемента 
в определителе 
)
Другой известный способ можно назвать
методом алгебраических дополнений. Его использование предполагает
владение понятием алгебраического дополнения как и в матричном
способе, теоремой о разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении
и об аннулировании.
Предлагаемый
нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об определителе произведения
матриц.
Суть этого
метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай 
. Очевидно, что при выполняются следующие
матричные равенства (если задана система (1)):
Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив
определители правых частей соответственно через 
получим формулы
Крамера:
(
)
(Правило Крамера)
Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка 
ничего по существу не
меняет. Просто следует заметить, что матрица 
с определителем 
получается из
единичной матрицы заменой 
-го столбца столбцом неизвестных:
(5)
Теперь из равенств
,
где 
- матрица, получающаяся заменой - го столбца матрицы столбцом свободных
членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв определители от обеих
частей в каждом равенстве:
, откуда ввиду имеем
.
(здесь 
получается из , как и из ).
Другой, еще более
короткий способ отыскания решения системы (1) состоит в следующем (по-прежнему ): пусть система (1) совместна и числа (после
переобозначений) образуют ее решение. Тогда при 
имеем, используя два
линейных свойства определителя:
Можно
начать и с определителя , в котором вместо свободных членов в -м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя
соответствующие свойства определителя, получим:
(),
откуда и получаются формулы Крамера.
Замечание.
Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по формуле Крамера
удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы), производится одним
из известных способов.
§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.
Матрица вида:
- называется циклической матрицей или
циркулянтом (третьего порядка), а ее определитель – циклическим определителем.
Циклическим определителем некоторые авторы называют также циркулянтом.
Пусть дан циклический определитель
(Циркулянт)
.
Прибавив первые две строки к третьей,
получим:
.
Вынесем общий множитель 
из последней строки:
.
Так как
,
то
.
С другой стороны, по определению
детерминанта имеем:
Следовательно, выполняется тождество
(1)
Имеет место следующее предложение.
Предложение 1. Уравнение
(2)
не имеет решений в натуральных числах
Доказательство: Если 
- вещественные положительные числа, не все равные между
собой, то
(3)
Пусть - не все равные между собой положительные числа. Тогда
существуют положительные числа 
и 
, не все равные между собой, такие, что 
. К этим числам применим тождество (1). Так как не все числа 
между собой равны, то
последний сомножитель правой части тождества (1) есть число положительное и,
следовательно,
,
.
(4)
Так как 
, то неравенство (4) дает неравенство (3). (Неравенство (3)
можно переписать в виде 
; получим известный факт о том, что среднее арифметическое
трех положительных, не равных между собой чисел больше их среднего
геометрического).
Пусть 
и 
- натуральные числа, удовлетворяющие уравнению (2).
Представляются две возможности: либо числа 
все равны между собой,
либо не все эти числа равны друг другу.
В первом случае
все они должны быть равны 1, так как она положительные и 
, и мы имели бы:
- противоречие.
Значит, не все
три числа равны между собой;
поэтому в силу неравенства (3) имеем
,
откуда
.
Таким образом, доказано что уравнение
не имеет решений в натуральных числах 
.
Предложение 2. Уравнение
разрешимо в натуральных числах .
Доказательство: удовлетворяют нашему уравнению.
Если не все три числа между собой равны, то
как мы видели в ходе доказательства Предложения (1), выполняется неравенство
- противоречие. Таким образом, должно быть 
, и из нашего уравнения следует, что каждое из этих чисел
равно 1, так что 
.
Поэтому получаем
.
Итак, мы доказали, что заданное
уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах .
Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой
двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.
Доказательство: Рассмотрим следующее произведение
двух циклических матриц (второго порядка)
где 
- мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство
. (5)
Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов,
делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное также
является суммой двух квадратов.
Доказательство: Пусть число 
делится на простое
число 
вида 
:
.
Требуется доказать, что частное 
имеет вид 
.
Предположим, что задача уже решена, т.е.
, (6)
и с помощью анализа попробуем найти искомые числа 
и 
. Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность
рассмотрения матричных равенств.
и
перемножив правые части этих равенств, получим:
отсюда имеем:
(7)
(8)
. (9)
Так как 
- простое число и делит , то равенство (9) показывает, что 
или 
делится на .
Пусть 
. Тогда из тождества
,
верного в силу (5) следует, что на делится и число 
, а поскольку - простое, 
, так что в силу (7) 
- целое число. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем:
и Предложение 4 доказано.
Если же 
, т.е. в силу (8) 
- целое, то, рассуждая как и выше, можем написать:
;
отсюда следует, что , т.е. 
- целое. В этом случае
.
§3. Матричный вывод формулы Кардано
В этом параграфе предлагается новый
подход к выводу формулы Кардано для корней кубического произведения уравнения.
Пусть
дано любое кубическое уравнение
. (1)
Если 
- его корень, то 
, поэтому
, т.е. есть корень уравнения,
получающегося из (1) делением всех коэффициентов т правой части на , и обратно. Поэтому (1) эквивалентно уравнению.
. (2)
Таким образом, можно сказать, что
решение любого кубического уравнения сводится к решению кубического уравнения
со старшим коэффициентом, равным 1, т.е. уравнения вида
, (3)
которое получается из (2) после
переобозначения коэффициентов; такое уравнение называется унитарным. Если к
уравнению (3) применить подстановку
, (4)
получим:
, т.е.
, (5)
где 
и 
определяются по
заданным коэффициентам уравнения (3). Уравнение
(5) эквивалентно уравнению (3), поэтому достаточно научиться решать уравнения
типа (5). В силу этого, обозначив через неизвестное, мы видим,
что решение любого кубического уравнения вида
, (6)
называется приведенным или (неполным)
кубическим уравнением. Покажем теперь, как можно найти все корни уравнения (6).
Для этого заметим, что в силу тождества (1) §2, полученного с использованием
циркулянта третьего порядка имеет место тождество
, (7)
где 
- любые числа, 
- один из корней третьей степени из единицы, так что 
(проверка тождества
опирается на равенство 
). Попробуем теперь отождествить наше уравнение (6) с
уравнением
, (8)
т.е. положим
где 
и 
пока неизвестны. Чтобы
вычислить их, имеем систему
которая показывает (в силу теоремы
Виета), что 
и 
являются корнями
квадратного уравнения
т.е.
и поэтому
(9)
Таким образом, уравнение (6) эквивалентно уравнению (8), в
котором и определяются по
формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу (7) равносильно уравнению
и теперь получаем:
(10)
где и определяются по (9).
При этом надо иметь ввиду, что кубические корни из (9) имеют по три значения и
их необходимо комбинировать с учетом равенства 
; если одна пара значений и выбрана указанным
образом, то все три корня определяются по формулам (10). Сказанное можно
представить и по другому; можно сказать, что значения неизвестного 
определяются из
равенства
т.е.
(11)
причем остается в силе сказанное относительно комбинаций
значений этих кубических радикалов.
Формула (11) и
есть знаменитая формула Кардано.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ф. Бахман, Э. Шмидт. n- угольник «Мир», М., 1973 г.
2. Э. Чезаро. Элементарный учебник
алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г.
3. В. Серпинский. 250 задач по элементарной
теории чисел. М., 1968 г.
4. Р. Курант, Г. Роббинс Что такое
математика ? «Просвещение», М., 1967 г.
5. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М.,
Наука, 1976 г.
6. Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое
введение в алгебраическую теорию чисел. «Мир», М., 1980 г.