КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

ЭКОНОМЕТРИКА

Вариант №24

Архангельск, 2007

Таблица данных

Требуется:

I

1)               определить наличие тренда Y(t);

2)               построить линейную модель Y(t) = a₀ + a₁t, параметры которой оценить с помощью МНК;

3)               оценить адекватность построенных моделей на основе исследования:

·        случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

·        независимости уровней ряда остатков по d - критерию (в качестве критических используйте уровни d₁ = 1.08 и d₂ = 1,36) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r(1) = 0,36;

·        нормальности распределения остаточной компоненты по R/S - критерию с критическими уровнями 2,7 – 3,7;

4)               для оценки точности модели используйте среднеквадратическое отклонение и среднюю по модулю относительную ошибку;

5)               построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности P = 70% используйте коэффициент t_a,n = 1.11).

II

1)               постройте матрицу коэффициентов парной корреляции Y(t) с X₁(t) и X₂(t) и выбрать фактор, наиболее тесно связанный с переменной Y(t);

2)               построить линейную однопараметрическую модель регрессии Y(t) = a₀ + a₁t_;

3)               оценить качество построенной модели, исследовав ее адекватность и точность;

4)               для модели регрессии рассчитать коэффициент эластичности и b–коэффициент;

5)               построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед по модели регрессии (для вероятности P = 70% используйте коэффициент n  = 1.11). Прогнозные оценки фактора X(t) на два шага вперед получить на основе среднего прироста от фактически достигнутого уровня.

III

Отобразить на графиках фактические данные, результаты расчетов (I – 1, 3, 4, 6; II – 2, 5) и прогнозирования по всем моделям.

Задание I

Определяем наличие тренда Y(t).

 где  S = 7.

 где  d = 7.

При n < 10, m = 3,858, s₁ = 1,288, s₂ = 1,964.

a = 0,05; n = 9.

t_a;(n-2)^(табл) = t_(a=0,05;8) = 2,36,

t_S > t_a;(n-2)^(табл), тенденция в дисперсии есть.

t_d > t_a;(n-2)^(табл), тренд есть.

1)    Строим линейную модель Y(t) = a₀ + a₁t, параметры которой оценим с помощью МНК.

a₀ = 14,2   a₁ = 3,3.

Y_расч(t) =14,2 + 3,3*t – линейное уравнение трендовой модели

2)    Оцениваем адекватность построенной модели.

Проверяем свойства остатков:

а) Случайность значений остатков (критерий поворотных точек или пиков).

 где m – количество поворотных точек или пиков.

m = 5,

5>2, неравенство выполняется, ряд остатков можно считать случайными, т.е. он не содержит регулярную компоненту.

б) Проверяем отсутствие автокорреляции или независимость значений остатков ( критерий Дарвина-Уотсона).

d_расч = 0,95,

d₁ = 1,08,

d₂ = 1,36,

d_расч  < d₁ , то свойство не выполняется, остатки зависимы, автокорреляция есть

в) Нормальный закон распределения остатков (R/S-критерий).

E_max =3,0, E_min = -2,5, S_E = 2,048.

R/S =2,76 . (2,7 – 3,7).

2,7 < 2,76< 3,7, свойство выполняется, гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.

Модель адекватна с вероятностью 0,95, т.к. рядом остатков выполняются все свойства.

3)    Оцениваем точность модели (используя среднеквадратическое отклонение и среднюю по модулю относительную ошибку).

а) Стандартная ошибка отклонений:

S_y = 2,19.

б) Средний модуль остатков:

в) Средняя относительная ошибка аппроксимации:

S = 6,05 %,

5% < S < 10%, модель приемлема для анализа.

в) Проверка равенства (М/Е)=0

tp=

tp=2,35

t(0,01;8)=3,36

2,35<3,36, свойство выполняется, следовательно модель адекватна с вероятностью 0,99

4)          Строим точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности P = 70% используйте коэффициент t_a,n = 1.11).

Точечный прогноз:

 где n – количество наблюдений, k – период упреждения (прогноза).

Интервальный прогноз:

 где (n – p) – число степеней свободы.

t_(n+k) = n + k.

а) n = 9, k = 1.

 – точечный прогноз.

Нижняя граница – 44,192

Верхняя граница – 50,208.

(44,192 – 50,208) – интервальный прогноз.

б) n = 9, k = 2.

 – точечный прогноз.

Нижняя граница – 47,314,

Верхняя граница – 53,686.

(47,314 – 53,686) – интервальный прогноз.

Задание II

1) Строим матрицу коэффициентов парной корреляции Y(t) с X₁(t) и X₂(t) и выбрать фактор, наиболее тесно связанный с переменной Y(t).

r (y,x₁) = 0,912, связь тесная и прямая.

r (y,x₂) = -0,960, связь тесная и обратная.

r (х₁,x₂) = -0,963 связь тесная и обратная,

0,963 > 0,8, факторы коллинеарные, т.е. линейно зависимы, включать в модель вместе нельзя.

Проверка значимости коэффициентов парной корреляции по критерию Стьюдента.

 то r_yx – значим.

  – значим, т.е. связь между переменными y и x₁ существует.

  – значим, т.е. связь между переменными y и x₂ существует.

  – значим, т.е. связь между переменными x₁ и x₂ существует.

Для построения модели выбираем фактор х₂, т.к.  

Y_расч = F(x₂).

Фактор х₂ обозначим через Х.

Y_расч(Х) = а₀+а₁*Х.

2) Строим линейную однопараметрическую модель регрессии Y(t) = a₀ + a₁t.

n*a0+(Х)*а1=у

Х*а0+(Х)*а1=(Х*У)

9*а0 +634*а1=277                    *634

634*а0+45192*а1=18931         *9

5706 *а0+401956*а1=175618

5706*а0+406728*а1=170379

-4772*а1=5239

           а1=-1,0979

9*а0+634*(-1,0979)=277

а0= 108,12

y = -1,0979x + 108,12-уравнение парной регрессии

а1=-1,1 показывет % изменение результата  У, если один из факторов увеличить на 1% , то есть если У увеличить на 1%, то Х уменьшится на 1,1

а)Оценка качества модели регрессии

ryх=а1*

=7,675

8,778

rух =-1,1*-0,962

rух <0, следовательно, связь обратная и очень тесная (Х увеличивается, а У уменьшается)

rух =0,925 или 92,5 % вариации У происходит за счет фактора Х, включенного в модель.

б) Проверяем значимость уравнения регрессии по критерию Фишера (дисперсионный анализ).

;

;

F расч=86,33

, К₁ = m, К₂ = n-m-1.

К1=1

К2=9-1-1=7

, т.е. уравнение регрессии значимо, то есть адекватно

в) Проверяем значимость параметров уравнения регрессии (критерий Стьюдента).

;

;

, m – количество факторов в модели.

уср=277/8=30,77

хср=634/9=70,44

У1 расч=108,1-1,1*82=17,9

У2 расч=108,1-1,1*79=21,2 и т.д.

Sу==2,796

Sa0=2,796*=8,6

ta0=108,1/8,6=12,6

;

ta0>t, следовательно параметр a0 значим

;

;

2,796

Sa1=2,796/=0,12

ta1=(-1,1)/0,12=9,2

, параметр a₁ значим.

Интервальная оценка параметров:

a₀: ,   108,1

a₁: ,    -1,1

     a₀ =87,8 значим, т.к. 0 не входит в интервал.

a₁ =-1,4-0,8, значим, т.к. 0 не входит в интервал.

3. Оценка качества модели (адекватность и точность)

1) Точность модели.

Стандартная ошибка отклонений:

S_y ==.

Средний модуль остатков:

17,5/9=1,944

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

S = (1/9)*0,65=7,2%,

S < 10% , модель считается точной

2) Проверка модели на адекватность:

а) случайность значений остатков- критерий поворотных точек

m = 5,

5>2, неравенство выполняется, ряд остатков можно считать случайными

б) Отсутствие автокорреляции в ряду остатков (критерий Дарбина –Уотсона)

d₁ = 1,08,

d₂ = 1,36,

d расч=96,05/54,73=1,75

1,36< 1,75<2, то свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляции нет

в) Нормальный закон распределения остатков (R/S-критерий).

E_max =5,9 , E_min = -2,9,

 S_E = 2,61

R/S =(5,9+2,9)/2,61=3,37

2,5 < 3,37< 3,9, свойство выполняется, гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.

г)Проверка равенства (М(Е)=0)

tp=

tp==0,19

t(0,05;8)= 2,36

0,19<2,36, свойство выполняется

Модель адекватна с вероятностью 0,95, т.к. рядом остатков выполняются все свойства.

4) Для модели регрессии рассчитаем коэффициент эластичности и b–коэффициент.

Коэффициент эластичности:

;

Хср=70,44

Уср=30,77

 =-2,51%,  или  на 2,51 % в среднем уменьшится  значение результативного признака y, если фактор x₁ увеличить на 1 % при неизменном значении других факторов.

b–коэффициент:

;

;

S_y = =9,31;

;

S_х1 = =8,14;

, если фактор Х₂  увеличить на 8,14, то результат Y  уменьшится на 8,94

5) Построим точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед по модели регрессии (для вероятности P = 70%, используйте коэффициент n  = 1,11).

Точечный прогноз:

 где n – количество наблюдений;

k – период упреждения;

 – средний абсолютный прирост.

=-2,875

Ширина доверительного интервала:

Стандартная ошибка отклонений:

S_y = 2,796.

а) n = 9, k = 1.

Точечный прогноз:

59+1*(-2,875)=56,125

108,1-1,1*56,125=46,36 точечный прогноз.

Ширина доверительного интервала:

2,796*=3,42

1,11*3,42=3,80

46,363,80

Нижняя граница – 42,56,

Верхняя граница –50,16.

(42,56 -50,16) – интервальный прогноз.

б) n = 9, k = 2.

Точечный прогноз:

56,125+1*(-2,875)=53,25

108,1-1,1*53,25= 49,53– точечный прогноз.

Ширина доверительного интервала:

2,796*=3,61;

1,11*3,61=4,01

49,534,01

Нижняя граница –45,52,

Верхняя граница –53,54.

(45,52-53,54) – интервальный прогноз.

Дата выполнения «    » марта 2007 г.                            Подпись ________