Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

Задача 1. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг по модели Марковица

Цель работы: Получить практические навыки и умения формирования портфелей ценных бумаг.

Порядок выполнения задания

  1. Рассчитать по формулам (3-4) параметры математической модели (2).
  2. Составить математическую модель оптимального портфеля (2) по критерию минимального риска.
  3. Решить задачу и определить доли капитала на покупку ценных бумаг каждого вида.
  4. Составить математическую модель оптимального портфеля по критерию максимальной доходности и заданного риска
  5. Решить задачу.

Краткие теоретические сведения.

На финансовом рынке обращается, как правило, несколько типов ценных бумаг: государственные ценные бумаги, муниципальные облигации, корпоративные акции и т.п. Если у участника рынка есть свободные деньги, то их можно отнести в банк и получать проценты или купить на них ценные бумаги и получать дополнительный доход. Но в какой банк отнести? Какие ценные бумаги купить?  Ценные бумаги с низкими рисками, как правило, и малодоходны, высокодоходные, как правило, более рискованны. Экономическая наука может дать некоторые рекомендации для решения этого вопроса.


Постановка задачи об оптимальном портфеле Марковица

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на приобретение ценных бумаг. Цель инвестора – вложить деньги так, чтобы сохранить свой капитал, а при возможности и нарастить его.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его портфелем. Стоимость портфеля – это суммарная стоимость всех составляющих его бумаг. Если сегодня его стоимость есть Р, а через год она окажется равной Р/, то ( Р/- Р)/Р  естественно назвать доходностью портфеля в процентах годовых. Т.е. доходность портфеля – это доходность на единицу его стоимости.

Пусть xi – доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i-го вида. Весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть di- доходность в процентах годовых бумаг i-го вида в расчете на одну денежную единицу.

Найдем доходность всего портфеля dp. С одной стороны, через год капитал портфеля будет равен 1+dp, с другой – стоимость бумаг i-го вида увеличится с х до хi+dixi, так что суммарная стоимость портфеля будет +=1+xidi. Приравнивая оба выражения для стоимости портфеля, получаем

1+d= 1+xidi.

dp=xidi         (1)

Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна аналогичной задаче о доходности портфеля, выраженной через доходности бумаг и их доли формулой (1).

Как правило, доходность колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть mi, i – средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение ( СКО ) этой случайной доходности, т.е.

mi=M - математическое  ожидание доходности и ri=, где Vii – дисперсия  i – й  доходности. Будем называть mi,ri соответственно эффективностью и риском  i – й ценной бумаги. Через Vij обозначим ковариацию доходностей ценных бумаг i го и j – го видов (или кореляционный момент Кij).

Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и доходность портфеля есть также случайная величина. Математическое ожидание доходности портфеля есть  M=x1M+…+xnM=, обозначим его через mp. Дисперсия доходности портфеля есть D = . Так же, как и для ценных бумаг назовем  mp- эффективностью портфеля, а величину p= - риском портфеля rp. Обычно дисперсия доходности портфеля обозначается Vp.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой:  хочется иметь эффективность больше, а риск меньше. Однако поскольку “нельзя поймать двух зайцев сразу”, необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском (этот выбор, в конечном счете, определяется отношением ЛПР к эффективности и риску).

 Модель оптимального портфеля Марковица , которая обеспечивает минимальный риск и заданную доходность имеет вид:

(2)

Необходимо определить:

x1,x2xn

Оптимальный портфель Марковица максимальной доходности и заданного, (приемлемого) риска rp можно представить в виде:

(3)


Основные расчетные формулы для вычисления работы

Исходные данные для расчета является таблица доходности ценных бумаг:

1

2

i

j

n-1

n

di1

dj1

di2

dj2

dik

djk

din

djn

Среднее  арифметическое доходности  i – ой ценной бумаги рассчитывается по формуле:

di (4)

Kовариация или корреляционный момент доходностей ценных бумаг:

Vij=M  (5), где  и  -  отклонения доходностей i- й  и  jй бумаг от средней арифметической доходности.

Рассмотренные модели относятся к моделям нелинейного программирования. Для решения следует применить метод сопряженных градиентов или метод Ньютона. При решении рекомендуется использовать табличный процессор Excel и его надстройки  Анализ данных и Пакет анализа.

Варианты заданий:

Виды ценных бумаг и их доходности 

вариант

Акции типа 1

Акции типа 2

Акции типа 3

Акции типа 4

Акции типа 5

Акции типа 6

mp

rp

1

11,954

13,907

14,263

14,611

13,491

12,424

13

0,088

11,913

12,074

11,960

15,207

13,367

14,318

11,572

12,654

14,203

11,762

13,568

14,922

12,591

12,880

13,333

13,217

14,256

15,677

11,638

12,269

12,537

13,624

13,694

13,718

12,536

13,659

13,864

12,909

12,687

14,753

2

11,820

13,783

12,361

14,612

12,084

13,537

12,5

1

11,806

11,931

12,132

13,444

13,332

15,209

13,376

13,424

14,519

14,817

13,918

16,153

12,175

12,381

14,647

13,911

13,596

14,714

10,139

12,112

11,820

10,399

11,604

13,345

11,786

13,505

13,440

14,856

12,688

13,533

3

11,574

12,955

14,174

14,016

13,100

13,394

13,3

0,2

12,602

13,421

14,663

15,042

13,572

15,713

12,012

12,654

12,996

13,896

13,463

12,148

12,245

13,043

14,517

15,338

14,976

14,063

12,502

13,879

13,744

14,726

13,145

12,669

12,976

13,482

14,434

15,594

15,467

14,364

4

14,162

15,191

16,511

15,118

14,409

17,416

14

0,77

12,522

12,995

15,415

15,263

14,700

13,072

13,123

15,042

13,177

16,430

14,913

14,860

12,043

12,570

14,005

14,864

12,917

12,820

11,472

12,600

11,845

12,878

14,097

14,554

12,441

13,296

13,139

15,486

12,849

14,172

5

11,265

12,891

11,612

12,845

11,401

13,668

12,8

2

12,131

12,365

12,890

12,283

13,833

15,160

14,480

15,143

17,277

15,657

14,960

15,963

12,572

13,837

12,596

13,157

15,296

16,424

10,865

12,623

11,558

14,056

10,873

14,489

11,962

12,287

13,799

12,841

13,769

15,677

6

10,908

11,940

12,719

11,464

12,486

11,458

13,123

3,23

9,766

9,842

10,987

10,843

12,003

13,471

11,702

12,463

13,454

12,725

13,619

13,226

11,472

12,097

12,784

12,302

14,188

12,603

13,503

13,740

13,848

14,758

15,457

13,570

15,456

16,452

16,450

17,013

17,052

17,229

7

10,161

12,144

10,537

13,397

10,223

12,266

12

1,2

11,492

12,945

11,892

12,298

12,097

11,582

12,428

12,895

15,227

13,407

14,462

14,330

12,416

13,050

14,567

15,240

13,731

13,284

10,813

12,380

12,008

14,134

10,968

11,675

13,388

14,643

15,659

16,734

15,631

16,916

8

9,889

11,603

11,612

12,721

11,453

12,102

13,25

2

12,517

13,256

12,947

12,596

12,853

13,036

12,786

12,822

15,447

14,452

15,143

16,247

11,863

12,114

13,359

13,437

11,913

15,300

11,444

13,292

13,703

11,504

13,406

15,255

14,696

15,946

16,829

17,698

16,051

17,140

9

11,999

13,995

13,415

12,868

12,339

13,682

13,333

0,08

12,241

12,793

14,227

13,426

12,656

15,808

12,120

13,933

14,592

13,354

12,278

14,786

11,506

13,401

12,193

13,845

12,406

13,317

12,376

13,710

15,068

13,133

12,707

14,716

12,148

13,970

15,119

12,886

14,518

13,300

10

11,293

11,493

13,753

12,936

12,881

13,820

12

0,3

12,112

12,919

12,415

14,048

14,770

14,310

11,429

13,098

14,277

14,551

11,639

13,524

10,526

11,988

11,705

12,466

11,825

10,864

11,467

13,364

12,171

11,631

11,923

13,764

11,467

13,334

12,338

14,208

12,271

13,324

11

11,954

13,381

14,468

12,274

13,094

13,014

12

0,4

11,913

12,754

14,452

13,449

14,079

14,121

11,572

12,623

11,901

12,132

13,555

14,708

12,591

14,289

12,943

15,645

15,376

15,788

11,638

12,955

12,637

11,702

12,786

13,542

12,536

14,495

14,612

14,490

12,852

12,658

12

11,820

12,832

13,906

12,432

13,609

12,919

12,8

0,5

11,806

12,724

14,135

14,936

14,227

14,873

13,376

14,119

14,326

15,519

15,372

15,364

12,175

12,236

14,132

13,943

12,417

13,732

10,139

12,117

10,606

10,683

10,995

12,416

11,786

12,572

14,074

15,135

14,459

12,269

13

11,574

11,725

11,798

12,740

13,207

13,470

13,5

0,25

12,602

14,100

13,887

14,496

13,683

15,434

12,012

13,772

14,191

13,929

13,937

13,956

12,245

12,743

14,992

15,045

14,583

12,772

12,502

13,123

15,173

13,344

12,592

14,666

12,976

13,812

15,706

15,414

15,655

14,494

14

14,162

15,519

16,403

17,273

15,211

18,008

12

0,596

12,522

12,853

15,488

15,031

14,035

14,447

13,123

13,967

13,330

14,221

13,849

16,304

12,043

13,658

13,493

13,774

14,343

13,151

11,472

12,136

14,103

12,386

12,564

13,363

12,441

13,616

12,717

14,347

15,090

15,575

15

11,265

12,052

14,016

14,047

12,064

11,667

13

0,7

12,131

12,983

12,296

15,291

14,095

13,940

14,480

16,275

16,717

16,194

15,413

15,427

12,572

13,244

14,897

14,571

15,340

15,674

10,865

11,659

10,923

11,533

13,089

11,709

11,962

13,388

12,492

14,907

13,977

14,358

16

10,908

11,114

13,790

11,873

13,029

11,012

13,5

2

9,766

11,117

12,354

11,287

12,546

10,249

11,702

12,455

13,484

12,153

13,075

12,310

11,472

12,053

11,617

14,065

11,503

13,322

13,503

14,469

14,195

16,018

14,812

15,556

15,456

17,355

16,685

15,598

16,603

19,311

17

10,161

10,431

10,695

13,393

11,153

11,751

12

0,68

11,492

13,087

11,889

12,564

13,613

11,699

12,428

14,259

12,561

13,100

13,888

14,348

12,416

14,059

12,522

13,706

14,389

13,536

10,813

10,818

12,951

12,192

11,765

14,450

13,388

14,590

14,628

14,764

14,307

16,962

18

9,889

11,198

10,095

12,783

11,183

10,835

13,33

1,5

12,517

13,735

14,247

13,208

15,072

15,429

12,786

13,231

15,070

13,013

14,133

16,174

11,863

12,183

13,377

13,203

11,916

12,421

11,444

11,999

13,243

14,233

13,024

12,491

14,696

14,906

14,730

17,126

17,331

15,297

19

11,999

12,509

12,361

14,850

14,026

15,078

10

0,1

12,241

13,124

15,153

14,655

15,038

15,460

12,120

12,240

12,945

12,701

13,006

13,616

11,506

12,815

13,497

13,746

13,218

14,658

12,376

12,808

14,477

15,690

14,127

12,427

12,148

13,932

13,771

14,039

14,440

12,250

20

11,293

11,563

14,165

14,763

12,874

14,426

12

0,28

12,112

13,348

13,988

12,222

14,409

13,381

11,429

11,680

14,364

11,472

13,201

11,925

10,526

11,960

11,740

12,709

12,061

12,319

11,467

11,774

11,862

12,466

12,013

12,865

11,467

11,747

12,326

13,699

13,968

12,173

21

11,954

13,543

13,158

14,299

14,420

12,797

13,6

0,06

11,913

12,292

13,565

13,888

13,886

12,930

11,572

11,745

12,146

12,162

13,720

15,055

12,591

14,354

12,829

14,346

13,412

16,083

11,638

13,317

13,026

11,899

14,227

13,862

12,536

14,156

14,004

15,164

14,165

12,651

22

11,820

12,499

11,834

15,220

12,420

12,394

13,281

0,5

11,806

12,803

14,115

14,830

12,295

14,506

13,376

13,724

15,571

14,055

15,511

14,009

12,175

13,275

14,218

14,957

13,936

12,930

10,139

10,635

10,975

12,273

10,431

13,031

11,786

13,607

14,470

14,452

13,871

12,949

23

11,574

12,615

12,977

14,600

11,962

12,629

12,6304

1

12,602

14,600

13,219

12,806

14,657

13,855

12,012

12,482

12,072

13,876

13,781

12,645

12,245

14,012

13,432

14,994

14,489

14,450

12,502

12,511

12,574

12,581

13,727

13,138

12,976

14,279

15,732

15,464

15,332

15,686

24

14,162

15,097

16,664

15,119

15,614

16,602

14

0,99

12,522

13,107

13,259

15,520

14,122

15,000

13,123

13,462

14,243

15,733

14,196

13,900

12,043

12,656

14,471

13,502

13,883

15,184

11,472

12,402

14,301

11,937

12,424

13,662

12,441

12,922

12,501

14,496

14,711

16,107

25

11,265

12,585

11,693

11,892

12,272

11,771

13,0503

1,8

12,131

13,804

14,553

12,888

12,203

13,570

14,480

15,883

16,938

17,964

15,827

16,217

12,572

13,682

14,710

13,215

14,412

12,883

10,865

11,008

12,093

10,942

11,787

14,353

11,962

12,771

12,948

12,553

14,741

14,898

26

10,908

12,573

13,457

13,093

13,315

12,251

13,4768

2,5

9,766

11,044

11,508

11,785

10,927

10,205

11,702

13,345

13,567

14,966

14,416

13,449

11,472

11,740

12,569

12,698

13,065

11,547

13,503

14,632

16,452

14,309

15,559

16,024

15,456

16,674

17,416

16,571

17,512

19,215

27

10,161

12,013

12,309

13,480

10,737

10,362

12,6531

2

11,492

12,874

12,130

11,774

12,208

13,078

12,428

14,133

13,361

15,555

13,970

12,772

12,416

13,743

12,485

15,630

14,477

14,736

10,813

10,866

12,196

10,991

12,082

11,145

13,388

15,128

13,703

16,777

13,895

17,200

28

9,889

11,361

10,420

10,167

10,772

11,689

13,209

1,8

12,517

12,568

13,011

12,590

13,770

14,967

12,786

14,656

12,976

13,292

14,371

13,211

11,863

13,064

14,263

15,093

13,658

12,023

11,444

12,354

13,277

12,915

13,978

15,040

14,696

16,068

17,289

15,475

15,921

16,822

29

11,999

13,785

12,086

13,075

12,001

14,557

12,4891

0,488

12,241

13,972

12,655

15,409

14,427

15,364

12,120

12,223

13,483

14,749

13,943

15,458

11,506

12,741

13,154

14,019

13,421

14,352

12,376

12,607

15,165

15,504

12,505

16,273

12,148

13,647

13,685

13,575

13,531

13,580

30

11,293

11,455

11,496

13,262

12,301

13,370

12,12605

0,5

12,112

13,212

14,231

14,946

12,130

13,687

11,429

12,990

11,766

14,277

12,649

12,901

10,526

10,985

11,664

10,955

12,575

11,408

11,467

13,087

13,639

12,660

11,969

14,170

11,467

12,661

13,769

11,926

13,023

14,202

 
 




Задача 2. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг по модели Тобина.

Порядок выполнения задачи.

1.    В соответствии с вариантом задания получить данные по эффективности безрисковых бумаг и допустимому риску портфеля .

2.    Данные по эффективности рисковых  бумаг  и необходимые результаты расчетов взять из предыдущей задачи.

3.    Составить математическую модель портфеля Тобина  минимального риска (1) и решить ее.

4.    Составить математическую модель портфеля Тобина максимальной доходности и решить ее. При численном решении использовать метод сопряженных градиентов или Ньютона. Для вычислений можно использовать ЭВМ.

5.    Сделать выводы по работе.

Краткие теоретические сведения.

 

Портфель Тобина минимального риска

 (1)

где m0 – эффективность безрисковых бумаг;

x0 – доля капитала вложенная в безрисковые бумаги;

xi,xj  - доля капитала вложенная в ценные бумаги i-го и j–го видов;

mi математическое ожидание (среднее арифметическое) доходности i - й ценной бумаги;

vijкорреляционный момент между эффективностью бумаг i-го и j –го видов;

Портфель Тобина максимальной эффективности

(2)

где rp риск портфеля

Расчетные формулы аналогичны формулам  задачи  составления оптимального портфеля ценных бумаг Марковица.

Варианты заданий

№ варианта

m0

rp

mp

№ варианта

m0

rp

X0

1

10

0,3

13,5

16

9

0,05

12,2

2

10

0,3

13,3

17

9

0,05

12,2

3

10

0,3

12,55

18

9

0,05

12,2

4

10

0,3

12,55

19

9

0,05

12,2

5

10

1

12,55

20

9

0,05

12,2

6

10

0,5

12,7

21

9

0,05

7

10

0,04

12,7

22

9

0,088

12,8

8

10

0,04

12,7

23

9

0,09

12,8

9

10

0,04

12,7

24

9

0,12

12,8

10

10

0,04

12,7

25

9

0,1

12

11

8

0,05

12,7

26

9

0,05

12

12

8

0,05

12,7

27

9

0,05

12,3

13

8

0,09

12,5

28

9

0,12

12,2

14

8

0,05

12,5

29

8

0,1

12

15

9

0,05

12,2

30

8

0,1

12