Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

Задача 1. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг по модели Марковица

Цель работы: Получить практические навыки и умения формирования портфелей ценных бумаг.

Порядок выполнения задания

Рассчитать по формулам (3-4) параметры математической модели (2).
Составить математическую модель оптимального портфеля (2) по критерию минимального риска.
Решить задачу и определить доли капитала на покупку ценных бумаг каждого вида.
Составить математическую модель оптимального портфеля по критерию максимальной доходности и заданного риска
Решить задачу.

Краткие теоретические сведения.

На финансовом рынке обращается, как правило, несколько типов ценных бумаг: государственные ценные бумаги, муниципальные облигации, корпоративные акции и т.п. Если у участника рынка есть свободные деньги, то их можно отнести в банк и получать проценты или купить на них ценные бумаги и получать дополнительный доход. Но в какой банк отнести? Какие ценные бумаги купить? Ценные бумаги с низкими рисками, как правило, и малодоходны, высокодоходные, как правило, более рискованны. Экономическая наука может дать некоторые рекомендации для решения этого вопроса.

Постановка задачи об оптимальном портфеле Марковица

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на приобретение ценных бумаг. Цель инвестора – вложить деньги так, чтобы сохранить свой капитал, а при возможности и нарастить его.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его портфелем. Стоимость портфеля – это суммарная стоимость всех составляющих его бумаг. Если сегодня его стоимость есть Р, а через год она окажется равной Р^/, то ( Р^/- Р)/Р естественно назвать доходностью портфеля в процентах годовых. Т.е. доходность портфеля – это доходность на единицу его стоимости.

Пусть x_i– доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i-го вида. Весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть d_i- доходность в процентах годовых бумаг i-го вида в расчете на одну денежную единицу.

Найдем доходность всего портфеля d_p. С одной стороны, через год капитал портфеля будет равен 1+d_p, с другой – стоимость бумаг i-го вида увеличится с х до х_i+d_ix_i, так что суммарная стоимость портфеля будет +=1+x_id_i_.Приравнивая оба выражения для стоимости портфеля, получаем

1+d_p= 1+x_id_i_.

d_p=x_id_i(1)

Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна аналогичной задаче о доходности портфеля, выраженной через доходности бумаг и их доли формулой (1).

Как правило, доходность колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть m_i, _i – средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение ( СКО ) этой случайной доходности, т.е.

m_i=M - математическое ожидание доходности и r_i_=, где V_ii – дисперсия i – й доходности. Будем называть m_i,r_i соответственно эффективностью и риском i – й ценной бумаги. Через V_ij обозначим ковариацию доходностей ценных бумаг i – го и j – го видов (или кореляционный момент К_ij).

Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и доходность портфеля есть также случайная величина. Математическое ожидание доходности портфеля есть M=x₁M+…+x_nM=, обозначим его через m_p. Дисперсия доходности портфеля есть D = . Так же, как и для ценных бумаг назовем m_p- эффективностью портфеля, а величину _p= - риском портфеля r_p. Обычно дисперсия доходности портфеля обозначается V_p.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность больше, а риск меньше. Однако поскольку “нельзя поймать двух зайцев сразу”, необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском (этот выбор, в конечном счете, определяется отношением ЛПР к эффективности и риску).

Модель оптимального портфеля Марковица , которая обеспечивает минимальный риск и заданную доходность имеет вид:

(2)

Необходимо определить:

x₁,x₂…x_n

Оптимальный портфель Марковица максимальной доходности и заданного, (приемлемого) риска r_p можно представить в виде:

(3)

Основные расчетные формулы для вычисления работы

Исходные данные для расчета является таблица доходности ценных бумаг:

1	2	…	i	…	j	…	*n-1*	n
			*d_i1*		*d_j1*
			*d_i2*		*d_j2*
			…		…
			*d_ik*		*d_jk*
			…		…
			*d_in*		*d_jn*

Среднее арифметическое доходности i – ой ценной бумаги рассчитывается по формуле:

d_i(4)

Kовариация или корреляционный момент доходностей ценных бумаг:

V_ij=M (5), где и - отклонения доходностей i- й и j– й бумаг от средней арифметической доходности.

Рассмотренные модели относятся к моделям нелинейного программирования. Для решения следует применить метод сопряженных градиентов или метод Ньютона. При решении рекомендуется использовать табличный процессор Excel и его надстройки Анализ данных и Пакет анализа.

Варианты заданий:

Виды ценных бумаг и их доходности

вариант	Акции типа 1	Акции типа 2	Акции типа 3	Акции типа 4	Акции типа 5	Акции типа 6	m_p	r_p
1	11,954	13,907	14,263	14,611	13,491	12,424	13	0,088
	11,913	12,074	11,960	15,207	13,367	14,318
	11,572	12,654	14,203	11,762	13,568	14,922
	12,591	12,880	13,333	13,217	14,256	15,677
	11,638	12,269	12,537	13,624	13,694	13,718
	12,536	13,659	13,864	12,909	12,687	14,753
2	11,820	13,783	12,361	14,612	12,084	13,537	12,5	1
	11,806	11,931	12,132	13,444	13,332	15,209
	13,376	13,424	14,519	14,817	13,918	16,153
	12,175	12,381	14,647	13,911	13,596	14,714
	10,139	12,112	11,820	10,399	11,604	13,345
	11,786	13,505	13,440	14,856	12,688	13,533
3	11,574	12,955	14,174	14,016	13,100	13,394	13,3	0,2
	12,602	13,421	14,663	15,042	13,572	15,713
	12,012	12,654	12,996	13,896	13,463	12,148
	12,245	13,043	14,517	15,338	14,976	14,063
	12,502	13,879	13,744	14,726	13,145	12,669
	12,976	13,482	14,434	15,594	15,467	14,364
4	14,162	15,191	16,511	15,118	14,409	17,416	14	0,77
	12,522	12,995	15,415	15,263	14,700	13,072
	13,123	15,042	13,177	16,430	14,913	14,860
	12,043	12,570	14,005	14,864	12,917	12,820
	11,472	12,600	11,845	12,878	14,097	14,554
	12,441	13,296	13,139	15,486	12,849	14,172
5	11,265	12,891	11,612	12,845	11,401	13,668	12,8	2
	12,131	12,365	12,890	12,283	13,833	15,160
	14,480	15,143	17,277	15,657	14,960	15,963
	12,572	13,837	12,596	13,157	15,296	16,424
	10,865	12,623	11,558	14,056	10,873	14,489
	11,962	12,287	13,799	12,841	13,769	15,677
6	10,908	11,940	12,719	11,464	12,486	11,458	13,123	3,23
	9,766	9,842	10,987	10,843	12,003	13,471
	11,702	12,463	13,454	12,725	13,619	13,226
	11,472	12,097	12,784	12,302	14,188	12,603
	13,503	13,740	13,848	14,758	15,457	13,570
	15,456	16,452	16,450	17,013	17,052	17,229
7	10,161	12,144	10,537	13,397	10,223	12,266	12	1,2
	11,492	12,945	11,892	12,298	12,097	11,582
	12,428	12,895	15,227	13,407	14,462	14,330
	12,416	13,050	14,567	15,240	13,731	13,284
	10,813	12,380	12,008	14,134	10,968	11,675
	13,388	14,643	15,659	16,734	15,631	16,916
8	9,889	11,603	11,612	12,721	11,453	12,102	13,25	2
	12,517	13,256	12,947	12,596	12,853	13,036
	12,786	12,822	15,447	14,452	15,143	16,247
	11,863	12,114	13,359	13,437	11,913	15,300
	11,444	13,292	13,703	11,504	13,406	15,255
	14,696	15,946	16,829	17,698	16,051	17,140
9	11,999	13,995	13,415	12,868	12,339	13,682	13,333	0,08
	12,241	12,793	14,227	13,426	12,656	15,808
	12,120	13,933	14,592	13,354	12,278	14,786
	11,506	13,401	12,193	13,845	12,406	13,317
	12,376	13,710	15,068	13,133	12,707	14,716
	12,148	13,970	15,119	12,886	14,518	13,300
10	11,293	11,493	13,753	12,936	12,881	13,820	12	0,3
	12,112	12,919	12,415	14,048	14,770	14,310
	11,429	13,098	14,277	14,551	11,639	13,524
	10,526	11,988	11,705	12,466	11,825	10,864
	11,467	13,364	12,171	11,631	11,923	13,764
	11,467	13,334	12,338	14,208	12,271	13,324
11	11,954	13,381	14,468	12,274	13,094	13,014	12	0,4
	11,913	12,754	14,452	13,449	14,079	14,121
	11,572	12,623	11,901	12,132	13,555	14,708
	12,591	14,289	12,943	15,645	15,376	15,788
	11,638	12,955	12,637	11,702	12,786	13,542
	12,536	14,495	14,612	14,490	12,852	12,658
12	11,820	12,832	13,906	12,432	13,609	12,919	12,8	0,5
	11,806	12,724	14,135	14,936	14,227	14,873
	13,376	14,119	14,326	15,519	15,372	15,364
	12,175	12,236	14,132	13,943	12,417	13,732
	10,139	12,117	10,606	10,683	10,995	12,416
	11,786	12,572	14,074	15,135	14,459	12,269
13	11,574	11,725	11,798	12,740	13,207	13,470	13,5	0,25
	12,602	14,100	13,887	14,496	13,683	15,434
	12,012	13,772	14,191	13,929	13,937	13,956
	12,245	12,743	14,992	15,045	14,583	12,772
	12,502	13,123	15,173	13,344	12,592	14,666
	12,976	13,812	15,706	15,414	15,655	14,494
14	14,162	15,519	16,403	17,273	15,211	18,008	12	0,596
	12,522	12,853	15,488	15,031	14,035	14,447
	13,123	13,967	13,330	14,221	13,849	16,304
	12,043	13,658	13,493	13,774	14,343	13,151
	11,472	12,136	14,103	12,386	12,564	13,363
	12,441	13,616	12,717	14,347	15,090	15,575
15	11,265	12,052	14,016	14,047	12,064	11,667	13	0,7
	12,131	12,983	12,296	15,291	14,095	13,940
	14,480	16,275	16,717	16,194	15,413	15,427
	12,572	13,244	14,897	14,571	15,340	15,674
	10,865	11,659	10,923	11,533	13,089	11,709
	11,962	13,388	12,492	14,907	13,977	14,358
16	10,908	11,114	13,790	11,873	13,029	11,012	13,5	2
	9,766	11,117	12,354	11,287	12,546	10,249
	11,702	12,455	13,484	12,153	13,075	12,310
	11,472	12,053	11,617	14,065	11,503	13,322
	13,503	14,469	14,195	16,018	14,812	15,556
	15,456	17,355	16,685	15,598	16,603	19,311
17	10,161	10,431	10,695	13,393	11,153	11,751	12	0,68
	11,492	13,087	11,889	12,564	13,613	11,699
	12,428	14,259	12,561	13,100	13,888	14,348
	12,416	14,059	12,522	13,706	14,389	13,536
	10,813	10,818	12,951	12,192	11,765	14,450
	13,388	14,590	14,628	14,764	14,307	16,962
18	9,889	11,198	10,095	12,783	11,183	10,835	13,33	1,5
	12,517	13,735	14,247	13,208	15,072	15,429
	12,786	13,231	15,070	13,013	14,133	16,174
	11,863	12,183	13,377	13,203	11,916	12,421
	11,444	11,999	13,243	14,233	13,024	12,491
	14,696	14,906	14,730	17,126	17,331	15,297
19	11,999	12,509	12,361	14,850	14,026	15,078	10	0,1
	12,241	13,124	15,153	14,655	15,038	15,460
	12,120	12,240	12,945	12,701	13,006	13,616
	11,506	12,815	13,497	13,746	13,218	14,658
	12,376	12,808	14,477	15,690	14,127	12,427
	12,148	13,932	13,771	14,039	14,440	12,250
20	11,293	11,563	14,165	14,763	12,874	14,426	12	0,28
	12,112	13,348	13,988	12,222	14,409	13,381
	11,429	11,680	14,364	11,472	13,201	11,925
	10,526	11,960	11,740	12,709	12,061	12,319
	11,467	11,774	11,862	12,466	12,013	12,865
	11,467	11,747	12,326	13,699	13,968	12,173
21	11,954	13,543	13,158	14,299	14,420	12,797	13,6	0,06
	11,913	12,292	13,565	13,888	13,886	12,930
	11,572	11,745	12,146	12,162	13,720	15,055
	12,591	14,354	12,829	14,346	13,412	16,083
	11,638	13,317	13,026	11,899	14,227	13,862
	12,536	14,156	14,004	15,164	14,165	12,651
22	11,820	12,499	11,834	15,220	12,420	12,394	13,281	0,5
	11,806	12,803	14,115	14,830	12,295	14,506
	13,376	13,724	15,571	14,055	15,511	14,009
	12,175	13,275	14,218	14,957	13,936	12,930
	10,139	10,635	10,975	12,273	10,431	13,031
	11,786	13,607	14,470	14,452	13,871	12,949
23	11,574	12,615	12,977	14,600	11,962	12,629	12,6304	1
	12,602	14,600	13,219	12,806	14,657	13,855
	12,012	12,482	12,072	13,876	13,781	12,645
	12,245	14,012	13,432	14,994	14,489	14,450
	12,502	12,511	12,574	12,581	13,727	13,138
	12,976	14,279	15,732	15,464	15,332	15,686
24	14,162	15,097	16,664	15,119	15,614	16,602	14	0,99
	12,522	13,107	13,259	15,520	14,122	15,000
	13,123	13,462	14,243	15,733	14,196	13,900
	12,043	12,656	14,471	13,502	13,883	15,184
	11,472	12,402	14,301	11,937	12,424	13,662
	12,441	12,922	12,501	14,496	14,711	16,107
25	11,265	12,585	11,693	11,892	12,272	11,771	13,0503	1,8
	12,131	13,804	14,553	12,888	12,203	13,570
	14,480	15,883	16,938	17,964	15,827	16,217
	12,572	13,682	14,710	13,215	14,412	12,883
	10,865	11,008	12,093	10,942	11,787	14,353
	11,962	12,771	12,948	12,553	14,741	14,898
26	10,908	12,573	13,457	13,093	13,315	12,251	13,4768	2,5
	9,766	11,044	11,508	11,785	10,927	10,205
	11,702	13,345	13,567	14,966	14,416	13,449
	11,472	11,740	12,569	12,698	13,065	11,547
	13,503	14,632	16,452	14,309	15,559	16,024
	15,456	16,674	17,416	16,571	17,512	19,215
27	10,161	12,013	12,309	13,480	10,737	10,362	12,6531	2
	11,492	12,874	12,130	11,774	12,208	13,078
	12,428	14,133	13,361	15,555	13,970	12,772
	12,416	13,743	12,485	15,630	14,477	14,736
	10,813	10,866	12,196	10,991	12,082	11,145
	13,388	15,128	13,703	16,777	13,895	17,200
28	9,889	11,361	10,420	10,167	10,772	11,689	13,209	1,8
	12,517	12,568	13,011	12,590	13,770	14,967
	12,786	14,656	12,976	13,292	14,371	13,211
	11,863	13,064	14,263	15,093	13,658	12,023
	11,444	12,354	13,277	12,915	13,978	15,040
	14,696	16,068	17,289	15,475	15,921	16,822
29	11,999	13,785	12,086	13,075	12,001	14,557	12,4891	0,488
	12,241	13,972	12,655	15,409	14,427	15,364
	12,120	12,223	13,483	14,749	13,943	15,458
	11,506	12,741	13,154	14,019	13,421	14,352
	12,376	12,607	15,165	15,504	12,505	16,273
	12,148	13,647	13,685	13,575	13,531	13,580
30	11,293	11,455	11,496	13,262	12,301	13,370	12,12605	0,5
	12,112	13,212	14,231	14,946	12,130	13,687
	11,429	12,990	11,766	14,277	12,649	12,901
	10,526	10,985	11,664	10,955	12,575	11,408
	11,467	13,087	13,639	12,660	11,969	14,170
	11,467	12,661	13,769	11,926	13,023	14,202

Задача 2. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг по модели Тобина.

Порядок выполнения задачи.

1. В соответствии с вариантом задания получить данные по эффективности безрисковых бумаг и допустимому риску портфеля .

2. Данные по эффективности рисковых бумаг и необходимые результаты расчетов взять из предыдущей задачи.

3. Составить математическую модель портфеля Тобина минимального риска (1) и решить ее.

4. Составить математическую модель портфеля Тобина максимальной доходности и решить ее. При численном решении использовать метод сопряженных градиентов или Ньютона. Для вычислений можно использовать ЭВМ.

5. Сделать выводы по работе.

Краткие теоретические сведения.

Портфель Тобина минимального риска

(1)

где m₀– эффективность безрисковых бумаг;

x₀– доля капитала вложенная в безрисковые бумаги;

x_i,x_j - доля капитала вложенная в ценные бумаги i-го и j–го видов;

m_i– математическое ожидание (среднее арифметическое) доходности i - й ценной бумаги;

v_ij – корреляционный момент между эффективностью бумаг i-го и j –го видов;

Портфель Тобина максимальной эффективности

(2)

где r_p– риск портфеля

Расчетные формулы аналогичны формулам задачи составления оптимального портфеля ценных бумаг Марковица.

Варианты заданий

№ варианта	m₀	r_p	m_p	№ варианта	m₀	r_p	X₀
1	10	0,3	13,5	16	9	0,05	12,2
2	10	0,3	13,3	17	9	0,05	12,2
3	10	0,3	12,55	18	9	0,05	12,2
4	10	0,3	12,55	19	9	0,05	12,2
5	10	1	12,55	20	9	0,05	12,2
6	10	0,5	12,7	21	9	0,05
7	10	0,04	12,7	22	9	0,088	12,8
8	10	0,04	12,7	23	9	0,09	12,8
9	10	0,04	12,7	24	9	0,12	12,8
10	10	0,04	12,7	25	9	0,1	12
11	8	0,05	12,7	26	9	0,05	12
12	8	0,05	12,7	27	9	0,05	12,3
13	8	0,09	12,5	28	9	0,12	12,2
14	8	0,05	12,5	29	8	0,1	12
15	9	0,05	12,2	30	8	0,1	12