Приложение 7

Факультативное занятие №2

   Тема: Сравнение дробей

   Ход занятия.

1.   Вы получили некоторое представление о дробях, образующих новое, неизвестное вам множество чисел.

    В множестве дробей также, как и в множестве натуральных чисел, производятся такие операции, как сравнение, сложение, вычитание, возведение в степень.

    Мало того, известные вам натуральные числа стали представлять в виде дробей. Например, натуральное число 2 можно записать как 2/1=14/7=30/15 и т.д.

2.  Не смотря на то, что натуральные числа можно рассматривать как частный случай дробных чисел. Действия с дробями совершенно не похожи на действия с натуральными числами.

   Складывать и вычитать дробные числа, а также умножать      и делить их нужно было по новым правилам, не похожим на правила действий с натуральными числами. Эти правила были разработаны древними математиками. Общим были лишь законы арифметических действий и некоторые определения. Например, умножение на натуральное число называлось сложением одинаковых слагаемых: 2/3*5=2/3+2/3+2/3+2/3+2/3=10/3=31/3

  Введение дробей позволило выполнять деление натуральных чисел во всех случаях: 50/12=42/12, но это еще не облегчало выполнение других действий. Нелегко усваивались обыкновенные дроби. Они считались самым трудным разделом арифметики. Об этом можно судить по следующим фактам. У нас есть поговорка: «Попал в тупик», у немцев и ныне в ходу поговорка похожая на нашу: «Попал в дроби». Обе эти поговорки означают одно и тоже: человек попал в очень трудное положение.

  Уже в древние времена математики разрабатывали правила действий с дробями, заставляя учащихся механически заучивать эти правила, не осознавая их смысла.  Именно это было причиной тех. Порой непреодолимых затруднений, которые встречали учащиеся. В наше время из математики давно исчезли правила, которые дети не могли бы понять. Правила эти разъясняются на примерах, доказываются.

 Поэтому вы видите, что обыкновенные дроби – интереснейший раздел математики.

   3. Возьмем хотя бы операцию сравнения дроби. Какая из  дробей больше: 2/5 или 3/5; 2/7 или 1/7 ?

      Если вы разделите пирог на 5 равных частей и возьмете две такие части, то это меньше оставшихся 3/5 пирога.

      А правило говорит: « Из двух дробей с одинаковыми знаменателями  та меньше…». Но сравнивать иногда приходиться и такие дроби, как 3/8 и 5/12. Разрезание пирога здесь не поможет. Первая наша проблема научиться заменять дробь равной ей дробью, но с другим знаменателем.

4.Возьмем круг и разобьем его   двумя        1/8

  перпендикулярными диаметрами на 4        1/4

  равные части. Каждая из них 1/4 круга.

  Теперь каждую 1/4 разобьем на две

  равные части, тогда круг разобьется

  на ... равных частей, которых в 1/4 будет

  две, т.е. 1/4=2/8.

  Чтобы получить из 1/4 равную ей дробь 2/8, достаточно числитель и знаменатель дроби 1/4 ... .

Основное свойство дроби.

   Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и тоже число не равное нулю, то получится дробь равная данной.

   Вот теперь можно говорить о сравнении дробей 3/8 и 5/12.

   Надо подыскать такое число, которое делилось бы как на 8, так и на 12. Таких чисел много. Самое меньшее из них – 24. На сколько надо умножить 8 и 12, чтобы получить 24? Получим дроби 9/24 и 10/24. Откуда заключаем, что      9/24 < 10/24, а значит 3/8 < 5/12.

Вывод:  Для сравнения дробей удобно привести их к общему знаменателю, и считать ту дробь меньшей, у которой меньше числитель.

 5. Задача: Найти две дроби, каждая из которых меньше 4/5 и больше 3/5.

   Ясно, что эти дроби следует заменить равными им дробями, но с большими знаменателями. Умножим числитель и знаменатель на 2, получим 6/10 и 8/10. Дробь, больше 6/10 и меньше 8/10 может быть 7/10. Нам же требуется узнать две промежуточные дроби. Попробуем умножить числитель и знаменатель на 3. Имеем 3/5<9/15; 4/5<12/15. Здесь можно узнать  и две дроби, 10/15 и 11/15. Таким образом: 3/5<10/15<4/5 и 3/5<11/15<4/5.

6.     В рассмотренных примерах нам пришлось умножать числитель и знаменатель на одно и тоже число, но по основному свойству дроби их можно и делить на одно и тоже число. Например, докажите, что 1313/7777=13/77.

Ясно, что если равенство верно, то надо найти такое число, на которое делится числитель и знаменатель каждой дроби. 1313:13=101 1313=13*101. Значит 1313 делится как на 13, так и на 101. Аналогично: 7777:77=101, 7777=77*101. Значит 7777 делится как на 77, так и на 101. Запишем эту дробь так: 13*101/77*101=13/77.

        Подведем итоги.

1.   Какое действие теперь всегда можно выполнять в множестве целых чисел? Приведите примеры. Какие числа получаются?

2.   В чем смысл основного свойства дроби?

3.   Какую операцию можно выполнять с дробями, зная основное свойство дроби?

8. Домашняя работа.

1.   Докажите, что 131313/777777=13/77.

2.   Мог ли один мальчик съесть 2/5 торта, а другой ¾ этого торта?

3.   Избавляя себя от лишних вычислений, найдите сумму всех нечетных чисел от 1 до 99 включительно.