Глава I . Традиционные
методические подходы к изучению темы “ Обыкновенные дроби”.
1.1
Из истории
возникновения обыкновенных дробей.
Дроби
появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да
и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби.
Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого
числа –2/3- у них был специальный
значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов,
у которой в числителе не стояла единица – все остальные дроби непременно имели
в числителе единицу (так называемые
основные дроби): 1/2; 1/3; 1/28; …
. Если египтянину нужно было
использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей.
Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5. Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача :
«Разделить 7 хлебов между 8
людьми». Если резать каждый хлеб на 8
частей, придётся провести 49
разрезов.
А по-египетски эта задача решалась так: Дробь
7/8 записывали в виде долей: 1/2+1/4+1/8. Значит каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба;
поэтому четыре хлеба разрезали пополам, два хлеба- на 4 части и
один хлеб на 8 долей, после чего каждому
дали его часть.
Но складывать такие
дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и
тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому, папирус
Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде суммы долей. С помощью этой таблицы выполняли
и деление чисел. Вот, например, как 5
делили на 21:
Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать
доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее
обстояло с делением.
В древнем Вавилоне предпочитали
наоборот, - постоянный знаменатель, равный 60-ти.
Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие
и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными
числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по
шестидесятеричной. А работать с
обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям.
Интересная система дробей была в
Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса
называли унцией. А путь, время и
другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог
сказать, что он прошел семь унций
пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании
пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением
дробей со знаменателем 12 или
раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.
Даже сейчас
иногда говорят:”Он скрупулёзно изучил этот
вопрос.” Это значит, что вопрос изучендо конца, что не одной самой малой
неясности не осталось. А происходит
странное слово “скрупулёзно” от римского названия 1/288 асса -
“скрупулус”. В ходу были и такие названия: ”семис”- половина асса, “секстанс”- шестая его доля, “семиунция”-
половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы
работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и
таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию ( 2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция.
Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых
дошли до нас.
Современную
систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там
писали знаменатель сверху, а числитель - снизу, и не писали дробной черты. А
записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.
1.2. Арифметические действия с обыкновенными
дробями.
Возьмём отрезок a. Чтобы найти его длину,
выберем в качестве единицы длины отрезок е.
(рис. 1) При
измерении
оказалось, что длина отрезка е
а больше 3 е, но меньше 4 е. Поэтому её е1
нельзя выразить натуральным
числом рис.1
(при
единице длины е). Но если разбить
отрезок е на 4 равные части, каждая
из которых равна е1, то длина
отрезка а окажется равной 14е1. Если же вернуться к первоначальной единице длины е, то мы должны сказать, что отрезок а состоит из 14 отрезков, равных четвёртой части отрезка е, т.е., говоря о длине отрезка а, мы вынуждены оперировать двумя натуральными числами 14 и 4. Условились в такой ситуации длину отрезка записывать в виде 14/4 е,
а символ называть дробью.
В общем виде понятие дроби определяют
так: пусть даны отрезок а и
единичный отрезок е, причём отрезок е является суммой n отрезков, равных е1. Если отрезок а
состоит из m отрезков,
равных е1, то его
длина может быть представлена в виде е. Символ называют дробью, в нём m и n – натуральные числа.
Читают этот символ “эм энных”.
Вернёмся к рис.1. Выбранный
отрезок е1 есть четвёртая
часть отрезка е. Очевидно,
что это не единственный вариант выбора такой доли отрезка е, которая укладывается целое число раз в отрезке а. Можно взять восьмую часть отрезка е,
тогда отрезок а будет состоять из 28 таких долей и его длина будет
равна 28/8 е. Можно взять
шестнадцатую часть отрезка е, тогда
отрезок а будет состоять из 56 таких долей и его длина будет
равна е. Если представить себе этот процесс продолженным неограниченно,
получим, что длина отрезка а может
быть выражена бесконечным множеством различных дробей: 14/4, 28/8 , 56/16 ,…
Вообще, если при единице длины е длина отрезка а выражается дробью
, , то она может быть
выражена любой дробью , где k- натуральное число.
Определение. Дроби, выражающие длину одного и того же
отрезка при единице длины е,
называют равными дробями.
Если дроби и
равны, то пишут: = .
Например, дроби 14/4 и 28/8 выражают длину одного и того же
отрезка при единице длины е,
следовательно, 14/4 = 28/8 .
Существует признак, пользуясь которым
определяют, равны ли данные дроби:
Для того,
чтобы дроби m/n и p/q были равны, необходимо и достаточно,
чтобы mq = np.
1.
Покажем, что m/n = p/q =>
mq = np. Так как m/n = p/q для любого
натурального q, а p/q = pn/qn для любого
натурального n, то, из
равенства дробей m/n
и p/q следует равенство mq/nq = pn/qn , из которого в свою очередь вытекает, что mq = np.
2. Покажем,
что mp = pq => m/n = p/q. Если разделить
обе части истинного равенства mq=np на
натуральное число nq, то получим
истинное равенство mq/nq = np/nq. Но mq/nq = m/n , а np/nq = p/q, => m/n = p/q.
Пример. Определим,
равны ли дроби 17/19 и 23/27.
Для этого сравним произведения 17*27
и 19*23; 17*27=459, 19*23=437.
Так как 459 ¹ 437, то 17/19
¹23/27.
Из рассмотренных ниже фактов вытекает
основное свойство дроби: Если числитель
и знаменатель данной дроби умножить на одно и тоже натуральное число, то
получится дробь, равная данной. На этом свойстве основано сокращение дробей
и приведение дробей к общему знаменателю.
Сокращение
дробей- это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем
и знаменателем.
Если числитель и знаменатель дроби
одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой. Например, 3/19 - несократимая дробь.
Пример.
Сократим дробь 48/80. Чтобы получить
равную ей несократимую дробь, необходимо числитель и знаменатель данной дроби
разделить на их наибольший общий делитель. Найдем его: Д (48;80) = 16. Разделив 48 на 16 и 80 на 16, получаем, что 48/80
= 3/5. Дробь 3/5 - несократимая.
Приведение
дробей к общему знаменателю- это замена дробей равными им дробями, имеющими
одинаковые знаменатели.
Общим знаменателем двух дробей m/n и p/q является общее кратное чисел n и q, а наименьшим
общим знаменателем- их наименьшее общее кратное К
(n,q).
Пример. Приведём к НОЗ дроби 8/15
и 4/35. Разложим числа 15 и
35 на простые множители: 15=3*5,
35=5*7. Тогда К (15,35)=3*5*7=105. Поскольку 105=15*7=35*3,
то =
8/15 = 8*7/15*7 = 56/105, 4/35 = 4*3/35*3 = 12/105 .
Сложение и вычитание.
Пусть
отрезки a,b,c таковы, что c= a+b и при
выбранной единице длины e a= е, b= e (рис.2).
тогда c= a+b = e+ e = 6e1= 7e1 = (6+7)*е1 = 13е1 = е1, т.е. длина отрезка е
выражается числом, которое целесообразно рассматривать, как сумму чисел 6/4
и 7/4 .
a
b 
c
e
e1
Рис.2.
Определение:
Если положительные рациональные
числа представлены дробями m/n и p/n , то
суммой чисел a и b называется число, представляемое дробью m+p/n .
m/n + p/n = m+p/n (1)
Если
положительные рациональные числа представлены дробями с разными знаменателями,
то эти дроби приводят к НОЗ, а потом
складывают по правилу (1). Например: 5/12+2/15=25/60+8/60=25+8/60=33/60=11/20
.
Сумма любых
двух положительных чисел существует и единственна. Сложение положительных
рациональных чисел подчиняется переместительному
и сочетательному законам:
a+b=b+a для любых a,b, Î Q+
(a+b)+c = a+(b+c) для любых a,b,c Î Q+
Различают правильные и неправильные дроби. Дробь называют правильной, если её числитель меньше знаменателя, и неправильной, если её числитель больше знаменателя или равен ему.
Пусть m/n - неправильная дробь.
Тогда m ³ n. Если m кратно n ,то в этом
случае дробь m/n является записью
натурального числа. Например, если дана дробь
15/3, то 15/3 =5. Если число m
не кратно n, то разделим m на n с остатком: m=nq+r, где r<n. Поставим nq+r вместо m в дробь m/n и применим правило (1): m/n=nq+r/n=nq/n+r/n=q+r/n.
Поскольку r < n , то дробь r/n правильная => дробь m/n оказалась представлена в виде суммы
натурального числа q и
правильной дроби r/n . Это действие называют выделением целой
части из неправильной дроби. Например, 13/4=4*3+1/4=4*3/4+1/4=3+1/4. Принято сумму натурального числа и
правильной дроби записывать без знака сложения, т.е вместо 3+1/4 пишут 3 1/4 и называют
такую запись смешанным числом.
Рассмотрим вычитание положительных
рациональных чисел.
Определениe Разностью
положительных рациональных чисел a и b называется
такое положительное рациональное число c, что a=b+c
Понятие разности определено, а как практически из одного
положительного рационального числа вычесть другое?
Пусть a=m/n, b=p/n, а разность а-b пусть представляется дробью x/n. Найти x
. По определению разности m/n=p/n+x/n, а по правилу (1) p/n+x/n=p+x/n. Таким
образом, m=p+x, но m, p и x
_числа натуральные, а для них эта запись означает, что x=m-p.
Приходим к
следующему правилу:
M/n-p/n=m-p/n (2)
Умножение и деление.
На рис.3 приведены такие отрезки : a, e, и e1, что a=11/3e; e=6/5e1. Надо узнать, каким будет значение длины
данного отрезка а при единице длины е1. Так как 3a =11e, а 5е=6е1, то, умножив первое равенство на
5, а второе на 11, получим 5*3а=11*5е и 11*5е=6*11е1, или 15а=66е1. Последнее равенство означает, что а=66/15е1, т.е. длина отрезка а при
единице длины е1 выражается числом 66/15, которое целесообразно
рассматривать как произведение 11/3 и 6/5.
Определение Если положительные рациональные числа представлены
дробями m/n и p/q, то их произведение есть
число, представленное дробью mp/nq
m/n*p/q=mp/nq (3)
Определение Частное двух положительных рациональных чисел a и b называется такое число с , что a=b*c. Частное
двух положительных рациональных чисел находят по формуле:
m/n:p/q=mq/np (4)
Рис.3
Заметим, что
знак черты в записи дроби m/n можно рассматривать как знак действия деления. Действительно, возьмем два натуральных числа m и n, и найдем их частное по правилу (4):
m:n=m/1:n/1=m*1/n*1=m/n
Обратно, если дана дробь m/n
, то m/n=m*1/n*1 . Так как m/n=m:n, то любое
положительное рациональное число можно рассматривать как частное двух
натуральных чисел. Кстати, термин «рациональное число» произошел от латинского
слова ratio, что в
переводе на русский язык означает
«отношение» (частное).
1.3. Содержание темы «Обыкновенные дроби» в школьном
курсе математики.
Изучение темы «Обыкновенные дроби» в начальной школе.
В соответствии с программой по
математике, в начальных классах должна быть проведена подготовка к изучению
дробей в IV и V классах. Это значит, в начальных классах надо создать
конкретное представление о доле и дроби. С этой целью предусматривается во 2
классе ознакомить детей с долями, их записью, научить сравнивать дроби, решать
задачи на нахождение доли числа и числа по доле; в 3 классе ознакомить с
дробями, их записью, научить сравнивать дроби,
научить решать задачи на нахождение дроби числа. Все названные вопросы
раскрываются на наглядной основе.
Ознакомление с долями.
Ознакомить детей
с долями - значит сформировать у
них конкретные представления о долях,
т.е. научить детей образовывать доли практически.
Например, чтобы получить одну четвертую долю круга, надо
круг разделить на четыре равные части и взять одну такую часть.
Для формирования
правильных представлений о долях надо использовать достаточное количество
разнообразных наглядных пособий. Как показал опыт, наиболее удобными пособиями
являются геометрические фигуры, вырезанные из бумаги; можно использовать
рисунки фигур, выполненные на бумаге или в диапозитивах (круги, прямоугольники,
треугольники, бруски, отрезки и т.п.). Очень важно, чтобы пособия были не
только у учителя, но и у каждого из учащихся. Правильные представления о долях,
а позднее о дробях. Будут сформированы тогда, когда ученики будут своими руками
получать, например, половину круга, квадрата, и т.п.
Познакомить
детей с долями можно таким образом:
У каждого из
учащихся и у учителя по несколько
одинаковых кругов, прямоугольников.
Возьмите два одинаковых круга. Один из них разделите на две равные части
(показывает, как надо перегнуть и как разрезать круг). Это целый круг, а это
половина круга, иначе говоря, одна вторая доля круга. Сколько вторых долей в
целом круге? (2) . Покажите их. Возьмите квадрат. Как получить одну вторую долю
или половину квадрата (разделить его на две
равные части и взять одну такую часть)? Выполняйте.
Учащиеся могут
сделать это разными способами, например: разрезать квадрат по диагонали и
получить два равных треугольника или же разрезать по средней линии, тогда
получится два прямоугольника. Некоторые учащиеся могут предложить и другие
способы деления квадрата на две равные части (рис.4)
Рис.4
Как получить
одну вторую долю круга (разделить круг на две равные части и взять одну такую
часть)? Как получили одну вторую долю квадрата? Как иначе называют одну вторую
долю круга? Квадрата? (половина –«-,-«-)
Сколько половин круга в целом круге (2)?
Доли записывают
с помощью двух чисел. Одна вторая доля круга, квадрата обозначается так: 1/2. Число 2 показывает, что круг, квадрат или другая фигура (предмет),
разделена на 2 равные части, а число
1 показывает, что взяли одну такую
часть.
Учащиеся
записывают на половине круга 1/2 и объясняют, что показывает в этой
записи каждое число.
Так же
образуются доли 1/4, 1/8, 1/3, 1/6, 1/5,
1/10 и др. При этом учащиеся должны уяснить, что для получения например, 1/5 отрезка (прямоугольника, бумажной
полоски и т.п.) надо данный отрезок (прямоугольник , полоску и т.п.) разделить
на 5 равных частей и взять одну такую часть, что в данном
отрезке 5 пятых долей, что одна
пятая доля записывается так: 1/5,
что в этой записи число 5
обозначает, на сколько равных частей разделен отрезок, а число 1, - что взята одна такая часть. Для
закрепления этих знаний и умений учащимся предлагают различные упражнения.
Это прежде всего
упражнения в назывании и записи долей (рис.5) Назовите и запишите, какая доля
квадрата (круга) отрезана (закрашена).
Рис.5
Можно
предлагать самим детям изобразить к.л.
долю отрезка и записать эту долю.
В каждом случае надо спрашивать, сколько всего долей в целом.
Например, сколько третьих долей отрезка во всем отрезке и т.п.
Эффективным упражнением для формирования
представлений о долях является сравнение долей одной и той же величины, которое выполняется чисто
практически, с помощью наглядных пособий.
Например, предлагается сравнить доли 1/3 и 1/2 и поставить знак “>”,
”<”.
Учащиеся изображают доли, например, с
помощью отрезков (рис.6). Сравнивают их и убеждаются, что 1/3 меньше, чем 1/2.
1/3
1/2
Рис.6
Решение
задач на нахождение доли числа и числа по его доле также способствует
формированию представлений о долях величины. В этом их основное назначение. Поэтому, решение задач на
нахождение доли числа и числа по его доле выполняется на наглядной основе.
Во 2 классе рассматривается только простые
задачи, а в третьем классе они включаются в составные.
Ознакомление с дробями.
Образование
дробей, как и образование долей рассматривается с помощью наглядных пособий.
Разделите круг на 4 равные части. Как
назвать каждую такую часть? Запишите. Покажите три четвертые доли. Вы получили
дробь- три четвертых. Кто сможет записать эту дробь? Что показывает число 4 (на
сколько равных частей разделили круг)? Что показывает число 3 (сколько таких
частей взяли)? Аналогичным образом учащиеся получают и записывают другие дроби,
объясняя, что показывает каждое число.
Для закрепления полученных знаний
выполняются такие же упражнения как и при ознакомлении с долями: по данным
иллюстрациям называют и записывают, какие дроби изображены, или же изображают
дробь с помощью чертежа, рисунка. Уяснению конкретного смысла дроби помогают
упражнения на сравнение дробей, а также решение задач на нахождение дроби
числа.
Для
сравнения дробей обычно используются иллюстрации с равными прямоугольниками
(рис.7). Учащимся предлагают начертить в
тетради прямоугольник, длина которого 16 см, а ширина 1 см. Это один
прямоугольник. Запишем (в первом прямоугольнике записывают число 1). Начертите
под первым прямоугольником такой же второй и разделите его на 2 равные части (выполняют). Какие доли
получили (вторые, половины). Сколько вторых долей в целом прямоугольнике?
Подпишите. Ниже начертите такой же прямоугольник и разделите его на 4 равные
части. Как называется каждая часть? Сколько четвертых долей в целом
прямоугольнике? Сколько четвертых долей в половине? Что больше: одна вторая или
две четвертые? Начертите четвертый такой же прямоугольник и разделите его на 8
равных частей.
|
1
|
|
1/2
|
1/2
|
|
1/4
|
1/4
|
1/4
|
1/4
|
|
1/8
|
1/8
|
1/8
|
1/8
|
1/8
|
1/8
|
1/8
|
1/8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.7
Как называются полученные доли? Сколько
восьмых долей в целом? Сколько восьмых долей в четверти, в половине
прямоугольника? Что больше: три восьмых или одна четвертая? Какой дроби равна
одна вторая?
Ответы на все перечисленные вопросы дети
дают, глядя на рисунок.
Предлагаются специальные вопросы на
сравнение дробей:
1. Вставьте пропущенный знак ”
> “ ,
“ < “ или
“ = “
3/8*3/4 ;
4/5*1 ; 4/8*1/2 ;
2.
Подбираете такое
число, чтобы равенство (неравенство) было верным:
5/10=*/2 ;
3/8>*/4 ; 1/2<*/4
Выполняя такие и подобные упражнения,
учащиеся прибегают к соответствующим иллюстрациям с прямоугольниками, или заново
изображают дроби с помощью, например
отрезков.
Конкретный смысл дроби очень ярко раскрывается при решении
задач на нахождение дроби числа. Решение этих задач, как и задач на нахождение
доли числа, выполняется с помощью соответствующих наглядных пособий.
Задачи на нахождение дроби числа должны предлагаться для устного и
письменного решения. Различные упражнения с дробями следует чаще включать для
устных и письменных работ на протяжении всего учебного года.
Изучение обыкновенных дробей по нетрадиционной системе во
втором классе.
С целью расширения математического
кругозора учащихся при изучении темы «Доли» термины: дробь, числитель и знаменатель, рассматривается образование,
чтение, запись и сравнение дробей с числителем больше единицы.
Для формирования представления о дроби,
используются решения текстовых задач. Первой учащимся можно предложить задачу:
«Два брата разделили между собой поровну
6 яблок. Сколько яблок досталось каждому брату?»
Ученики самостоятельно записывают решение
задачи: (6:2=3) и дают ответ на ее
вопрос, объясняя выбор арифметического действия. Далее предлагается следующая
задача: «Два брата разделили между собой
одно яблоко поровну. Сколько яблок досталось каждому брату?»
Учитель берет
одно яблоко и просит разделить его между братьями поровну. Как поступить в
данном случае? Ученики предлагают разрезать яблоко на две равные части. Учитель
разрезает яблоко, показывает одну из равных частей и спрашивает: «Как можно
назвать эту часть яблока (половина)?». Почему (яблоко разрезали пополам)? Кто
догадался, как можно по-другому назвать половину (одна вторая)? Докажите. (яблоко разделили на две равные части и взяли
одну из частей).
Учитель
показывает вторую часть яблока и предлагает учащимся назвать ее.
Вспомните вопрос задачи и ответьте на него
(каждому брату досталась половина или одна вторая яблока). Одна вторая – это
дробное число. Оно записывается так –1/2.
Запишите решение задачи.
На доске
оформляется запись : 1:2=1/2.
Далее поясняется,
что в записи дроби 1/2 число,
которое стоит под чертой, показывает, насколько равных частей делят предмет.
Это число называется знаменателем дроби. Число, которое стоит над чертой,
показывает, сколько таких частей взято. Это число называется числителем дроби.
Затем, для
решения предлагается задача:
« Три брата разделили между собой три яблока
поровну. Сколько досталось яблок каждому брату?» Учащиеся самостоятельно записывают решение
этой задачи, формулируют ответ на ее вопрос, выясняют значение числителя и
знаменателя дроби одна третья.
Что бы научить
детей сравнивать дроби (доли) на основе наглядности, можно использовать учебное
задание с элементами самоконтроля.
На доске
расположены шесть карточек, на которых изображены одинаковые квадраты,
разделенные на равные части различным образом. Квадраты расположены в следующем
порядке:
К В А К Л Ю
Учитель
задает вопросы: Какие фигуры изображены?
Что общего у всех этих квадратов? Просит учащихся разбить эти квадраты на
группы и объяснить, по какому признаку они это сделали.
На доске
получилась иллюстрация:
Учитель
предлагает:
Рассмотрите
первую пару квадратов и скажите, какая часть каждого квадрата
заштрихована? Покажите 1/2 часть первого квадрата. Обозначьте
дробью. Что обозначает знаменатель этой дроби? Что означает числитель этой
дроби? Покажите 1/2 другого квадрата. Обозначьте дробью. Сравните заштрихованные
части этих квадратов. Запишите числовое равенство.
Учитель
показывает как правильно оформить
запись 1/2=1/2
Аналогичная работа проводиться с
остальными парами квадратов.
Затем
квадраты расставляются в такой последовательности:
К А В К Ю Л
Ученикам предлагается поменять местами карточки, на которых изображены
равные дроби. Если задание будет выполнено правильно, они прочитают слово К Л Ю К В А – ответ к загадке:
Когда весною талые сойдут с болот снега
Она как бусы алые усеет берега
Данное задание
ученики выполняют с интересом. Повышенную активность, даже у слабых учеников,
вызывает вторая часть задания.
Для
формирования умения сравнивать дроби, предлагаются учебные задания с элементами
занимательности и самоконтроля.
Приведем одно из заданий:
На доске
прикреплены модели кругов, разрезанные на две, на восемь, на шесть, на четыре,
на три равные части.
Работа
проходит следующим образом:
Какие
геометрические фигуры перед вами? Что общего у всех этих кругов? Посмотрите на
первый круг слева. Насколько равных частей они разделены? Покажите
заштрихованную часть круга. Какая это часть круга? Запишите соответствующую
дробь под этим кругом. На сколько равных частей разделен следующий круг?
Покажите заштрихованную часть круга. Какая это часть? Запишите соответствующую
дробь под кругом. Что означает знаменатель этой дроби, что означает числитель
этой дроби?
Аналогичная
работа проводится с другими кругами.
Далее
предлагается таблица:
|
1/6
|
1/2
|
1/3
|
1/8
|
1/4
|
|
И
|
К
|
А
|
Н
|
Г
|
Используя
эту таблицу, учащиеся заменяют дроби буквами и отгадывают загадку: «Не куст, а с листочками, не рубашка, а
сшита, не человек, а говорит.»
(КНИГА)
Затем
на доске делается запись:
1/2 и 1/8 1/4
и 1/8 1/3 и 1/8 1/3 и 1/6 1/2 и 1/6 1/4 и 1/6 1/3 и
1/4
1/8 и 1/2 1/8 и 1/4 1/8 и 1/3 1/6 и 1/3 1/6 и 1/2 1/6 и 1/4 1/4
и 1/3
Используя
в качестве наглядности круги, требуется поставить вместо и соответствующие знаки сравнения. Учащиеся выполняют это задание
самостоятельно, а затем проводят проверку у доски.
Убедившись в том, что у учеников
сформировались представления о дроби и умение сравнивать дроби с опорой на
наглядность, мы решили ввести дроби с числителем больше единицы.
Для
этого предлагаем решить следующую задачу:
«
Мама к чаю подала торт, разрезанный на 10 равных кусков. Брат съел 2 куска
торта, а сестра один кусок. Какую часть торта съел брат? Какую часть торта
съела сестра?»
Для решения
этой задачи используем наглядный материал –
круг, разделенный на 10 равных частей. Работа
над задачей проходит так:
На сколько равных частей мама
разделила торт? Сколько торта съела сестра? Покажите на
рисунке.
Какую часть торта составляет один кусок? Кто может
записать соответствующую дробь? Сколько кусков торта съел брат? Покажите на рисунке. Какую часть торта
составляют два куска? Кто сможет записать дробь две десятых?
Этот вопрос
сначала вызывает затруднение. Однако поразмыслив, многие приходят к верному выводу и записывают: 2/10.
-
Назовите знаменатель этой дроби. Объясните, что он
означает. Назовите числитель этой
дроби. Объясните его значение. Затем учащиеся выполняют сравнение дробей с
опорой на наглядность и записывают соответствующие неравенства:
1/10<2/10, 2/10>1/10
Кому из детей досталось больше
торта? А кому меньше? Сколько всего кусков
торта съели дети? Покажите на рисунке. Какую часть торта
составляют три куска? Запишите дробь. Объясните значение числителя и
знаменателя этой дроби.
Выполнение этого задания, вызывает интерес
даже у малоактивных детей. В работе принимают участие все ученики класса.
Далее ведется
работа по изучению тем «Нахождение доли числа» и «Нахождение числа по доле».
Обе эти темы вводятся одновременно. Причем, первой решалась задача, в которой
требовалось по доле найти число. Затем предлагается составить обратную задачу,
т.е. найти долю числа.
Деятельность
учащихся должна быть организована следующим образом: Вначале учащимся предлагается задача: « Береза прожила 50 лет, что составляет одну
пятую продолжительности ее жизни. Какая продолжительность жизни березы?».
На доске дана модель этой задачи.
Дети, используя модель рассуждают так:
« Одна пятая часть составляет 50 лет, а в целом пять таких частей. Можно
узнать продолжительность жизни березы, для этого надо 50 умножить на 5». Под моделью выполняется запись: 50*5=250
Дети дают
ответ на вопрос задачи.
Учитель
предлагает составить задачу, обратную данной. Ученики быстро и правильно
справляются с этим заданием: «Продолжительность жизни березы 250 лет. Она
прожила 1/5 своей жизни. Сколько лет прожила береза?».
Составленную задачу ученики решают самостоятельно, используя модель,
данную к первой задаче. Получив ответ, они убеждаются в правильности решения
исходной задачи.
Рассмотренная методика изучения темы «Доли» подтверждает, что учащимся
2-го класса доступно усвоение терминов дробь,
числитель, знаменатель, а также
образование, чтение, запись и сравнение дробей с числителем больше единицы.
Применение нестандартных учебных заданий при изучении темы способствует
активизации деятельности и интереса учащихся по изучаемому материалу.
Методика изучения обыкновенных дробей в 6
классе.
( К этому
моменту учащимся уже все известно о десятичных дробях и действиях над ними)
Сначала
в 6 классе уточним представление об обыкновенных дробях, как о частном от
деления двух натуральных чисел.
Это
можно сделать так:
1.
Предложим практическую задачу (3 шоколадки разделить на
4х детей)
3:4=3/4
Вывод: Дробь
– это частное от деления числителя на знаменатель.
При
закреплении включать так же примеры:
0,8/0,5=0,8:0,5 (5 кл.)
1,2+0,9/7:10=2,1/0,7=2,1:0,7=3
На следующем
этапе на основе наблюдений по наглядности, учащиеся должны самостоятельно
подойти к выводу основного свойства дроби.
1/2 = 2/4 = 3/6 = 5/10
(Запись одного и того же числа)
Как получить каждую дробь из 1/2 ?
А как
получить 1/2 из каждой другой дроби?
Сделайте
вывод.
Основное
свойство дроби позволит познакомить учащихся с двумя новыми правилами:
Правило
приведения дробей к общему знаменателю.
Предложить двум
учащимся 11/36 и 13/60 заменить
дробью, равной данной, но со знаменателем 180.
Затем сообщить, что эти
дроби вы привели к общему знаменателю.
11/36=11*5/180
Подвести к выводу, что НОЗ всегда будет НОК
Правило сокращения дробей.
Предложить
учащимся дробь, например 18/27, заменить
ее другой, равной дробью, но с меньшими числителем и знаменателем. Кто-то
запишет 6/9, а кто-то 2/3. Ввести термин несократимая дробь.
Вывод:
Удобнее сокращать сразу на НОД
числителя и знаменателя.
На следующем
этапе познакомить с обобщенным правилом сравнения обыкновенных дробей:
А) Вспомнить за 5
кл., как сравнивать дроби с одинаковыми
знаменателем:
3/5 и 4/5
т.к. 3 < 4, то 3/5 <
4/5
Б)
Предложить сравнить дроби с разными знаменателями, но с одинаковым числителем: 3/4 и
3/5, т.к 4 <
5, ( четвертые доли целого крупнее
чем пятые), то 3/4 > 3/5.
В) Сравнить дроби с разными числителями и
знаменателями:
3/7 4/9
. Подвести к случаю А), найдя
НОК, 3/7=27/63 4/9=28/63
т.к. 27/63<28/63, то 3/7<4/9.
Сложение и
вычитание дробей с разными знаменателями, сводим, к известному с 5 кл.,
правилу: « Сложение и вычитание дробей с
одинаковыми знаменателями».
Сначала
предложим пример на повторение:
15/20+14/20=3/4+7/10 Возникла проблемма
3/4+7/10=15/20+14/20=29/20
Сделайте вывод:
«Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к НОЗ и
воспользоваться правилом сложения и вычитания дробей с одинаковыми
знаменателями».
При сложении и
вычитании смешанных дробей, рекомендуется для более рациональных вычислений, использовать
переместительный и сочетательный законы сложения и вычитания.
31/5+53/4=(3+1/5)+(5+3/4)=(3+5)+(1/5+3/4)=819/20
51/5-33/4=(5-3)+(1/5-1/4)=2+4-15/20=1+24-15/20=119/20
С умножением
обыкновенных дробей можно познакомить по-разному.
1.
Как в
учебнике.
Фрагмент урока
Найти S прямоугольника, если: а) L = 10 см, ширина= 5 см,
б) 2,3 и 5,7
в) 7/5
и 3/4
10
5 - устно
подготовительная
5,7 работа
2,3 - письменно
7/5
3/4 -пока не умеем
Возникла проблема.
Решение возникшей проблемы возможно двумя способами:
1-ый способ.
3/4м=75см
7/5м=140см
S=75*140=10500 кв.см.
S=1,05 кв.м=15/100=11/20
кв.м=21/20 кв.м
2-й способ
3/4м=0,75м
7/5м=1,4м
S=0.75*1.4=1.050 кв.м
3/4*7/5=21/20 a/b*c/d=a*c/b*d
Чтобы эти вычисления шли без труда,
в устном счете повторить
предварительно соотношения
между L
и S. Подходим к решению
проблемы: 3/4*7/5=21/20 a/b*c/d=a*c/b*d
Получив
результат и сравнив числители множителей с числителем и знаменатели множителей со знаменателями
результата, учащиеся попытаются сами сформулировать правило умножения
обыкновенных дробей.
После тренинга
рассмотреть частные случаи типа: 32/3*3/4
2*3/5 0*4/5
2.
Альтернативный вариант.
Он заключается в
геометрическом способе вывода новогоправила с опорой на наглядность.
В устном счете,
наряду с известными примерами, включать неизвестные.
3/4±1/4
1/2*2/3 –не умеем. Возникла проблема. Далее предложить рисунок
прямоугольника, по длине и ширине которого отложены дроби 2/3 и 1/2. Вспомним смысл дроби.
|
 1/3
|
1/3
|
1/3
|
|
1/3
|
1/3
|
1/3
|
В чем смысл
произведения? S закрашенной части = 1/2*2/3
А как по-другому можно сосчитать S закрашенной части? ( На сколько равных
частей разбит весь прямоугольник? Какую долю представляет из себя каждая из
равных частей? А сколько таких шестых долей в закрашенной части?
Sз.ч.=1/6+1/6=2/6
Sз.ч.=1/2*2/3=2/6
На следующем
этапе учащимся предлагается самостоятельно познакомиться (с.р. №3 стр. 72) с
понятием взаимно обратные числа .
7 и 1/7 – взаимно обратные числа, т.к. 7*1/7=1.
2/3 и3/2 –
взаимно обратные числа, т.к. 2/3*3/2=6/6=1.
Затем , опираясь на это новое понятие и ранее известное
правило взаимосвязи между множителями и произведением, подвести учащихся к
выводу правила:
Деление обыкновенных дробей (стр. 74,
6 кл. )
A/b : c/d = a/b*d/c = a*d/b*c
Текстовые задачи на деление
дробей – это способ закрепления изученного правила, кроме того, в результате их
решения, повторяются правила нахождения дроби от числа и числа от дроби. (стр.
63,78, 6 кл.)
Глава 2.
Практическое обоснование изучения
темы «Обыкновенные дроби»
2.1 Методика изучения обыкновенных дробей в школьном
курсе математики.
На протяжении
двух лет мы изучили опыт работы различных учителей, которые старались повысить
качество усвоения знаний учащихся по теме «Обыкновенные дроби» с помощью
различных форм и методов.
Например, из
опыта работы О. Севостьяновой, учителя гимназии № 6 города Волгограда, можно
сделать вывод, что изучение обыкновенных
дробей без надежной опоры на наглядность приводит к плохому усвоению детьми
изучаемого материала. И в качестве
наглядного пособия , она предлагает применять на уроках, посвященных
изучению обыкновенных дробей, игру «Детская мозаика». Эта игра состоит из
наборного полотна и пластмассовых деталей, имеющих форму квадрата,
прямоугольника и прямоугольного
треугольника , которые окрашены в контрастные цвета.
Составив на мозаичном
полотне различные фигуры из равных долей всех четырех цветов, можно задать
учащимся вопрос: «какая часть фигуры закрашена синим (красным, белым цветом)?».
«Мозаика»
также помогает усваивать понятие смешанного числа; различать смысл дробей 3/5 и 3,5; сравнивать дроби.
Преимущества «Мозаики» перед стандартным учебным набором «Дроби» состоит
в том, что на мозаичном полотне можно изобразить дроби со знаменателем больше,
чем 6.
Без труда
можно убедить учеников, что 7/14=1/2,
3/15=1/5.
Но на своих уроках учитель применяет не только мозаику,
но и кубики «Лего», имеющие форму прямоугольного параллелепипеда. С их помощью
можно сравнивать, складывать, вычитать и сокращать дроби.
Из уроков
Севостьяновой мы видим, что учителю не составит труда самостоятельно подобрать
вопросы и задания, предполагающие использование
этих наглядных пособий. Например, можно показать детям две различные
модели к задаче и спросить: «Какая из этих моделей наиболее соответствует
условию задачи?»
Исходя из опыта
работы О.Севостьяновой мы можем сделать вывод, что такие детские игры, как
«Детская мозаика» и «Лего» можно считать уникальными наглядными пособиями при
изучении курса математики в 5-6 классах.
Не менее
интересны уроки Л. Буденной, г. Ростов-на-Дону. Она при изучении обыкновенных
дробей использует интегрированные уроки
математики и чтения, что больше заинтересовывает детей к изучению данной темы.
Например, урок
по теме «Сложение и вычитание дробных чисел и сказки А.С. Пушкина», 5-6 кл.
(Приложение №2) проводится в виде соревнования. Детям, например , чтобы узнать
известное выражение из сказки Пушкина, нужно сначала решить примеры на сложение
обыкновенных дробей.
На уроках Л.
буденной у детей формируется эмоционально-личностное отношение к выражению
математических понятий посредством классических литературных произведений.
Из опыта работы
В.Т. Самковой, г. Санкт-Петербург по теме «Правильные и неправильные дроби» мы видим, что дети
самостоятельно приходят к выводу о существовании правильных и неправильных
дробей (Приложение №1), что лучше ими усваивается.
Н. Романова,
школа №4 г. Брянск, предлагает урок по закреплению темы «Обыкновенные дроби»
провести в форме путешествия, где дети знакомятся с историей возникновения
дробей, расшифровывают различные ребусы, отгадывают кроссворд (Приложение№5).
Таким образом,
из опыта работы разных учителей мы видим, что каждый из них на уроках по теме
«Обыкновенные дроби» стремится к повышению качества усвоения знаний учащихся. И
осуществление этой задачи каждый учитель добивался не за счет дополнительной
нагрузки на учащихся, а за счет
совершенствования форм и методов обучения. Благодаря этому у детей
активно развивается познавательный интерес и познавательная активность.
2.2 Диагностика влияния темы «Обыкновенные дроби»
на развитие математических способностей школьников.
Проведя анализ
результатов тестовых работ учащихся пятых классов, я убедилась. Что в том
классе, в котором проходили факультативные занятия по теме «Обыкновенные дроби»
средний балл за тестирование выше, чем в том классе, в котором факультативные
занятия не проводились.
Для того,
чтобы выявить и обосновать условия, обеспечивающие эффективность изучения
обыкновенных дробей, я взяла для эксперимента два класса. В одном из них я
провела ряд факультативных занятий по теме «Обыкновенные дроби», на которых
дети более углубленно изучили данную тему: познакомились с историей
возникновения обыкновенных дробей. Например, дети узнали, что раньше в записи
дробей, дробная черта не использовалась, а числа дроби просто записывались друг
над другом. И что современную систему записи дробей создали в Индии. Также дети
узнали другие неизвестные им ранее способы сравнения дробей. Например, сравнение с половиной. Когда две дроби с
разными знаменателями сравнивают с ½
(половиной). Или сравнение путем дополнения до единицы.
Также на
этих занятиях дети решали задания на арифметические действия с дробями, как
обыкновенные, так и повышенной трудности.
Например,
докажите, что 131313/777777=13/77
А затем,
после проведения ряда занятий. в этом классе были предложенны тестовые задания
по теме «Обыкновенные дроби». И эти же
тестовые задания затем были предложены второму классу, в котором факультативные
занятия не проводились (Приложение № ).
При
подведении итогов тестовых заданий было выявлено, что класс, в котором
проходили факультативные занятия, справился с тестами лучше.
В это время
на уроках математики дети изучали десятичные дроби. И было видно, что усвоение
этой темы было лучше у тех детей, которые более углубленно ознакомились с темой
«Обыкновенные дроби». Таким образом мы видим, что изучение темы «Обыкновенные
дроби» способствует лучшему усвоению последующих тем.
Исходя из
этого, можно сделать вывод, что исключение темы «Обыкновенные дроби» из
школьной программы нецелесообразно. Ведь эффективные формы и методы, выбранные
для изучения дробей, способствует развитию математических способностей
школьников.
Заключение.
В ходе изучения
данной проблемы установлены особенности изучения обыкновенных дробей.
Изучена
сущность вопроса в теории и практике, изучен опыт работы различных педагогов,
который доказывает, что вопрос «Обыкновенные дроби» достаточно важен для
развития математических способностей школьника.
Теоретическая
значимость данной проблемы в определении методов и приемов изучения
обыкновенных дробей.
Исследование
показало, что изучение обыкновенных дробей будет наиболее эффективно, если
будут использоваться эффективные формы и методжы ведения уроков математики по
изучению обыкновенных дробей, а также разработаны наиболее рациональные методы
обеспечивающие сознательное усвоение
понятия обыкновенных дробей школьниками.
Список
литературы.
1.
Большой справочник математики.
2.
Болтянский В.Г. Простые дроби и вычислительная техника
// журнал Математика в школе 1998 г. №5 с. 41
3.
Буденная Л.В. Сложение и вычитание дробных чисел и
сказки А.С. Пушкина // газета Математика 1999 г. №17 с.27
4.
Дорохов Т.С. Дроби и проценты // газета Математика 1997 г. № 30 с.3
5.
Дробышева И. Изучение темы Дроби 8 класс // газета
Математика 1999 год. №44 с.23
6.
Ивлиева Как
научить трудных подростков теме «Дроби» // газета Математика 1997 г. №36 с.4
7.
Ивашова И. Все действия с обыкновенными дробями //
газета Математика 2000 г. №2 с.16
8.
Депшан За
страницами учебника Математика //
9.
Иванова Л.С. Нахождение числа по доле // газета
Начальная школа 1999 год. №8 с. 2
10.
Пименова О.В. Изучение темы Доли //журнал Начальная
школа 1999 г. №5 с. 34
11.
Севостьянова Л.В. Любимые игрушки помогают изучать
обыкновенные дроби // газета Математика
1999 г. № 2 с. 13
12.
Симонова Л.В. Сложение обыкновенных дробей // газета
Математика 1999 г. №10 с. 25
13.
Самкова В.Т.
Правильные и неправильные дроби // журнал Начальная школа 1999 г. №1
с.104
14.
Смоляков А.С. Как перевести периодическую дробь в
обыкновенную // газета Математика 1999 г. № 21 с.21
15.
Шидова Н.В. Из истории возникновения дробей // газета
Математика 1999 г. № 10 с. 15
16.
Романова
путешествие в страну Дроби // газета Математика 1999 г. №44 с. 6
17.
Латыпова С.Т. Сложение и вычитание смешанных чисел //
газета Математика 1999 г. №17 с. 27