Задача. Каждое ребро призмы ABCA1B1С1 равно 2.

Точки М и N – середины ребер АВ и A1А. Найти расстояние от точки М до прямой CN, если известно, что угол A1AС paвeн 60° и прямые  A1A и АВ перпендикулярны.

Решение.

Рассмотрим базис, состоящий из векторов , ,  и составим таблицу умножения для этих векторов.

*

а

b

с

а

4

0

2

b

0

4

2

с

2

2

4

Расстояние от точки М до прямой CN равно расстоянию от точки М до её проекции на прямую CN.

Пусть Р – проекция точки М на прямую CN.

Тогда

для некоторого числа х.

Так как  и ,

Поскольку прямые  и  перпендикулярны, то  т.е.

.

Раскрывая скобки и пользуясь таблицей умножения для нашего базиса, получаем: .

Тогда .

Искомое расстояние  равно

Снова раскрывая скобки и пользуясь таблицей умножения, находим . Таким образом, расстояние от точки М до прямой  равно .

Ответ : расстояние равно .

у 6

Задача. В параллелограмма ABCD точка К – середина стороны ВС, а точка М – середина стороны CD. Найдите AD, если АК = 6, АМ = 3, угол КАМ = 60°.

Решение.

В качестве базиса выберем векторы  и  и составим таблицу умножения для векторов этого базиса.

*

k

m

k

36

9

m

9

9

По формуле треугольника  и  .

Так как X – середина ВС, М – середина CD, то  и , и получаем систему:

   , откуда

Ответ: 4.

Задача. Ребра СА, СВ, СС, треугольной призмы ABCA1В1С1 равны, соответственно 2, 3 и 4 образуют между собой углы ACB = 90°, ACС1 = 45° и BCC1 = 60°. Найдите объём призмы.

Решение.

Пусть отрезок С1О является высотой данной призмы. Тогда

Для того, чтобы найти высоту С1О, выберем в качестве базиса векторы

 и составим 

таблицу умножения.

*

*

4

0

*

0

9

6

6

16

 Разложим вектор C1O по векторам . Получим: , где , а .

Таким образом .

Коэффициенты х, у находим из условий перпендикулярности вектора C1O с векторами .

.

Следовательно,

          Значит С1О =

Тогда V = 3·C1O = 3·2 = 6

Ответ: 6.

С помощью векторов можно решать не только геометрические задачи, но и доказывать алгебраические неравенства.

I. Доказать неравенство

Доказательство:

Рассмотрим векторы  и .

Их скалярное произведение

Так как ,  , то, учитывая неравенство , получим .

II. Докажем, что для любых неотрицательных чисел a, b, c справедливо неравенство:

Доказательство:

          Рассмотрим векторы  и . Их скалярное произведение:  , а длины  и . Отсюда, учитывая неравенство , получаем


.