2. Применение векторов к решению геометрических задач
В ряде случаев при решении задач на вычисление применение
векторов предпочтительнее конструктивных подходов, связанных с использованием
дополнительных построений, применения элементарной алгебры и тригонометрии.
Чтобы успешно решать геометрические задачи посредством
векторов, требуется не только знание законов векторной алгебры, знакомство с
понятием разложения вектора в базисе , умение переводить геометрический факт на
язык векторов, но и определенная методика при составлении плана решения.
Отметим несколько важных положений.
1. Если требуется вычислить расстояние или угол, то надо
применять скалярное умножение векторов.
2. При введение векторов можно идти двумя путями:
а) выбрать точку от которой откладывается известные
векторы;
б) векторы изображать направленными отрезками, связанными с
рассматриваемыми в задаче фигурами, не откладывая их от одной точки.
3. Если задача планиметрическая, то целесообразно выделить
два неколлинеарных вектора в качестве базисных и остальные векторы выразить
через них; если же задача стереометрическая, то в качестве базиса следует
выбрать три некомпланарных вектора. При этом введение начальной точки
необязательно.
4. В ряде случаев, например при решении задач на
многогранные углы,
вычисления упрощаются, если ввести единичные векторы, отложенные от
вершины многогранного угла.
Примеры
задач, решаемых векторным методом.
Задача. Вычислить тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин
острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника.
Решение.
Пусть 
и 
;
Согласно условию 
.
Вектор 
есть разность векторов 
и 
, т.е. 
(т.к. 
).
Аналогично 
.
Угол между векторами находится по формуле:
,
но, 
, т.к. 
. Следовательно
.
длины векторов и 
найдем по теореме
Пифагора.
Таким образом 
Тогда 
Ответ:
Задача. На ребрах прямоугольного
трехгранного угла с вершиной О отложены равные отрезки ОА, ОВ,
ОС. Из точки О на плоскости ABC опущен
перпендикуляр ОН. Доказать, что если точка Н1 симметрична точке Н относительно
вершины О, то тетраэдр Н1 ABC правильный.
Решение:
Примем вершину О трехгранного угла за начало векторов. Тогда
и 
.
Следовательно,
,
.
Найдем
Учитывая, что 
и 
, имеем: 
.
Далее находим:
,
,
.
Это значит , что отрезки H1A и H1B
равны и образуют угол 60°, т.е. треугольник H1AB правильный.
Аналогично устанавливается, что две другие грани H1BC
и H1CA являются равносторонними треугольниками и вследствие
этого тетраэдр правильный.
Задача. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и
параллельна медианам данного треугольника ABC.
Решение.
Обозначим середины сторон ВС, СА и АВ
соответственно А’, B’, C’. Выразим векторы, представляющие медианы
треугольника ABC, через 
, 
, 
(через стороны данного
треугольника):
,
,
.
Составим сумму сторон треугольника ABC
.
Но так как векторы 
и образуют данный
треугольник ABC, то их сумма равна нулю, следовательно, и 
. А это значит, что из векторов 
можно построить треугольник.
Задача. В треугольнике ABCD точка Е
и F – середина рёбер АВ и CD соответственно.
Доказать, что середины отрезков СЕ, DE, AF и BF являются вершинами параллелограмма.
Решение. Пусть К, L, М, N - середины отрезков СЕ,
DE, AF и BF, соответственно. Доказать, что середины отрезков СЕ, DE, AF и BF являются вершинами параллелограмма.
Докажем равенство векторов 
и 
, выразив их через векторы 
, 
, 
, 
, где О
– произвольная точка.
(1)
. (2)
Ч. Т. Д.
Задача. Точки К, L, M на сторонах АС, ВС, АВ
треугольника ABC таковы, что 
, N –
середина сторона АС. Найти отношение в котором точка пересечения
отрезков KL и MN делит отрезок KL.
Решение.
Обозначим через О
точку пересечения отрезков MN и KL и через х
отношение KO : KL. Тогда 
. Учитывая, что L – середина МС и 
, получаем
Так как точка О лежит на прямой MN, то 
. Откуда 
. Значит, 
.
Ответ: KO : OL = 2:3
Задача. Отрезки DA1, DB1, DC1 – медианы граней BCD, ACD и ABD тетраэдра ABCD соответственно. Точки К, М,
N делят отрезки DA1, DB1, DC1 в отношении 
, 
. В каком отношении
плоскость KMN делит ребра DA и DB ?
Решение.
Пусть плоскость KMN пересекает ребра DA, DB и DC тетраэдра ABCD в точках Р, Q, R
соответственно.
Точки А1, В1, С1 – середины отрезков ВС, АС,
АВ соответственно. Следовательно,
Решив эту систему, (например, сложив (1) и
(2), и вычтя (3) получим
Пусть 
. Тогда, учитывая 
, 
, 
,
имеем
, и, т.к. точки К, М,
N, Р лежат в одной плоскости, то
.
Таким образом, 
, откуда 
.
Пусть теперь 
, тогда
, и
, откуда 
Ответ: , .
Задача. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны
которого равна 
. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости
оснований и имеет длину 2. Найти угол между прямыми, одна из которых проходит
через точку S и середину ребра ВС, а друга проходит через точку С и
середину ребра АВ.
Решение. Обозначим 
.
Выберем в качестве базиса векторы , и 
.
Тогда, из треугольника BCS: 
,
а из
треугольника ABC: 
Ответ: 
.