Эквиваленция является логической операцией, обозначаемой в классическом исчислении высказываний a≡b, или a↔b, или  a ← b.

   Эквивалентность – сложное высказывание “А, если и только если B», образованное из высказываний А и В и разлагающеееся на две импликации: «если А, то В» и «если В, то А». Например: «Треугольник является равносторонним, если и только если он является равноугольным». Термином «эквивалентность» обозначается и связка «…, если и только если…», с помощью которой из двух высказываний образуется данное сложное суждение. Вместо «…, если и только если…» для этой цели могут использоваться и другие связки, о чем речь пойдет далее.

Эквивалентность называют иногда «двойной импликацией». Импликация, в свою очередь, также является логической связкой, образующей из простых суждений сложное, и соответствует союзу «если, то». Связь эквивалентности и импликации можно представить так: «А ↔В» означает «(А→В) _^ (В→А)». Например: высказывание «Ромб является квадратом, если и только если все углы ромба прямые» означает «Если ромб есть квадрат, то все углы ромба прямые, и если все углы ромба прямые, то ромб есть квадрат».

Эквивалентность является отношением типа равенства. Как и всякое такое отношение, эквивалентность высказываний является рефлексивной (всякое высказывание эквивалентно самому себе), симметричной (если одно высказывание эквивалентно другому, то второе эквивалентно первому) и транзитивной (если одно высказывание эквивалентно другому, а другое третьему, то первое высказывание эквивалентно третьему).

Эквиваленция отражает тот факт, что два определенных явления либо существуют оба, либо оба не существуют. В ней ничего не говорится о виде и способе совместного существования. Употребленную здесь формулировку «вместе(оба) не существуют» нельзя путать с формулировкой «не вместе (не оба) существуют». Первую можно изобразить символически ~p_^ ~q, а вторую ~(p_^q), различие между этими двумя формулировками можно понять с помощью таблицы истинности эквиваленции (см. далее).

2. Выражение эквиваленции в естественном языке

В мышлении мы часто оперируем простыми суждениями. Но еще чаще мы оперируем сложными суждениями, образуемыми из простых посредством логических связок (или операций), одной из которых является эквиваленция, называемая также логической константой, или логической постоянной. Проанализируем, каким образом эквиваленция выражается в естественном (русском) языке.

Способы выражения эквиваленции разнообразны. Приведем логические схемы и соответствующие им примеры.

1. А, если и только если В. (“Этот ученый не завершит свою научную работу, если и только если не будет своевременного финансирования его экспериментов” или “Иванов не закончит свои эксперименты к сроку, если и только если ему не помогут сотрудники”.)

2. Если А, то В, и наоборот. (“Если при равномерном движении скорость увеличивается в 2 раза, то за то же время движения пройденный путь удваивается, и наоборот” или “Если студент сдал все экзамены и практику на “отлично”, то он получает диплом с отличием, и наоборот”.)

3. А, если В, и В, если А. (“Многоугольник является вписанным в круг, если его вершины лежат на окружности, и вершины многоугольника лежат на окружности, если этот многоугольник является вписанным в круг” или “Теорема Пифагора выполняется, если этот треугольник – прямоугольный, и этот треугольник – прямоугольный, если выполняется теорема Пифагора”.)

4. Для А необходимо и достаточно В. (“Для того, чтобы число делилось на 5, необходимо и достаточно,  чтобы оно оканчивалось на 0 или на 5” или “Для того, чтобы число без остатка делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр этого числа делилась без остатка на 3”.)

5. А равносильно В (иногда). (“То, что площадь квадрата равна квадрату его сторон, равносильно тому, что площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали” или “То, что площадь правильного многоугольника равна произведению полупериметра на апофему, равносильно тому, что площадь правильного многоугольника равна произведению периметра на половину апофемы”).

6. А тогда и только тогда, когда В . (“Фирма будет согласна принять предложение о покупке товара тогда и только тогда, когда будет снижена цена этого товара на 15%” или “Работа по завершению строительства завода будет выполнена в назначенный срок тогда и только тогда, когда все необходимые стройматериалы поставщики завезут заранее”).

Из приведенных выше схем и соответствующих им высказываний с конкретным разнообразным содержанием становится ясно, насколько многогранны в естественном языке (в частности, русском) средства выражения эквиваленции.

3. Определение эквиваленции в терминах истины и лжи

Если логические связки определяются в терминах истины и лжи, эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда оба составляющие ее высказывания имеют одно и то же истинностное значение, то есть когда они оба истинны или оба ложны. Соответственно, эквивалентность является ложной, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а другое ложно.

Обозначим эквивалентность символом ↔, формула А↔В может быть прочитана как : “А, если и только если В”. Далее приведена таблица истинности для эквивалентности.

Двойная стрелка в символическом обозначении эквиваленции указывает на ее связь с импликацией и репликацией. Эту двойную стрелку можно представить как состоящую из двух стрелок, показывающих различные направления. В самом деле, p↔q  и (p→q) _^ (p←q) имеют одинаковый порядок значений истинности.

4. Эквивалентность как вид соместимых суждений

К совместимым относятся суждения, которые одновременно могут быть истинными. Различают три вида совместимости. Среди них эквивалентность как полная совместимость,  в отличие от частичной совместимости (субконтрарность) и подчинения.

Эквивалентными являются такие суждения, которые имеют одинаковые логические характеристики: одинаковые субъекты и предикаты, однотипную – утвердительную или отрицительную связку, одну и ту же выраженную квантором количественную характеристику. С помощью логического квадрата отношения между простыми эквивалентными суждениями не иллюстрируются.

Различия между высказываниями, содержащими простые эквивалентные суждения, проявляются главным образом словесно. Например, различными словами могут быть выражены кванторы: ”некоторые”, “иногда” и т.п., использованы синонимы для выражения субъекта или предиката, суждения могут быть сформулированы на разных национальных языках.

Литература

1. Гетманова А.Д. Логика: Словарь и задачник. М, 1998.

2. Гетманова А.Д. Учебник по логике. М, 1994.

3. Ивин А.А. Элементарная логика. М, 1994.

4. Челпанов Г. И. Учебник логики. М, 1994.

5. Зегеш В. Элементарная логика. М, 1985.