-   за счет изменения ПТ:

∆Q_(W) = W₁T₁- W_oT₁ = (W₁- W_o )T₁

   - за счет изменения затрат времени:

∆q_{T) = w₀T₁-w₀T_o, = (t₁-t₀)xW_o.

-общее изменение объема продукции:

∆Q=∆Q(_w)+Q_(T).

 Анализ динамики производительности труда

Для характеристики изменения уровня производительности труда исчисляются индексы производительности труда. Индекс производительности труда получается путем деления уровня про­изводительности труда в текущем периоде на уровень производи­тельности труда, принятый на базу сравнения. С помощью ин­дексов устанавливается плановое задание по росту производи­тельности труда, осуществляется контроль за выполнением пла­на, характеризуется динамика производительности труда.

Индексы производительности труда, трудовых затрат и объема продукции взаимосвязаны, что позволяет установить влияние (в процентах и в абсолютных величинах) изменения производитель­ности труда и трудовых затрат на изменение объема продукции. Индивидуальный индекс производительности труда в натуральном выражении (количества продукции, произведённой в единицу времени):

                                                      ,                                                (12)

где v₁, v₀  - производительность труда в натуральном выражении в отчетном и базисном периодах на отдельных участках, производящих однородную продукцию;

q₁, q₀ -  выпуск продукции в натуральном выражении в отчетном и базисном периодах;

Т₁, Т₀  – затраты труда в отчетном и базисном периодах

В этом случае общий индекс производительности труда в агрегатной форме:

                                                                                           (13)

В случае трудового метода измерения производительности труда, когда в качестве соизмерителя труда используют нормативную величину трудоемкости единицы продукции в нормо-часах, , общий индекс имеет вид:

                                                                               (14)

Трудовой индекс производительности труда показывает, как изменился объем производственной работы, выраженной в нормо-часах, в среднем на единицу фактически отработанного времени.

Использование трудового метода для оценки производительности труда возможно лишь там, где ведется учет затрат в разрезе отдель­ных видов продукции. Использование этого индекса возможно, когда нормативная трудоемкость объективно отражает необходимые затраты труда в конкретных производственных условиях. Для участков работы, на продукцию которых не устанавливаются отпускные цены, этот индекс является основным. Но этот индекс выражает динамику производительности труда только основных рабочих, т.к. только затраты их труда могут быть непосредственно учтены при производстве изделий каждого вида.

А. И. Ротштейн, один из основоположников отечественной стати­стики промышленности, предложил использовать в качестве трудово­го соизмерителя продукции трудоемкость единицы продукции базисного периода, а индекс производительности труда рассчитывать по фактической трудоемкости по следующей формуле:

                                                ,                                       (15)

где – индекс трудоемкости.

Индекс показывает, во сколько раз изменились затраты времени (труда) на производство продукции в результате изменения её трудоёмкости (производительности труда), или сколько % составило снижение (рост) затрат времени на производство продукции из-за изменения трудоёмкости.

Поскольку трудоемкость является мерилом производительности, этот способ измерения динамики производительности труда считает­ся теоретически наиболее обоснованным. Этот индекс применяется, когда в обоих сравниваемых периодах производится продукция одинакового состава (т.е. нет ассортиментных сдвигов). Разность числителя и знаменателя данного индекса позволяет оп­ределить абсолютную экономию (дополнительные затраты) рабочего времени в связи с ростом (снижением) производительности труда.

Разность числителя и знаменателя этой формулы показывает, на сколько человеко-часов изменились общие трудозатраты  на производство продукции в результате изменения трудоёмкости её производства:

                                                         (16)

Совпадение индексов, рассчитанных по нормативной и фак­тической трудоемкости, необязательно. Это зависит от различий в соотношениях нормативной и фактической трудоемкости по видам продукции.

Индивидуальный индекс производительности труда по обратному показателю (по трудоёмкости) имеет вид:

                                                        ,                                                      (17)

где t - затраты времени на производство единицы продукции (трудоемкость единицы продукции).

Индекс показывает, во сколько раз трудоёмкость производства единицы продукции одного вида в базисном периоде выше, чем в отчётном.

Трудовой метод измерения производительности труда ис­пользуется при расчете показателей выполнения норм выработ­ки рабочими-сдельщиками. Выполнение норм выработки является характеристикой рос­та производительности труда отдельных рабочих, бригад, участ­ков, цехов.

Ус­пешное выполнение норм выработки отдельными рабочими обеспечивает рост производительности труда в целом по пред­приятию. Процент выполнения норм выработки исчисляется путем деления времени, полагающегося по нормам на выполненный объем работ, на время, фактически затраченное на эти работы.

Степень выполнения норм при изготовлении разноименной продукции определяется индексом:

                                                                                   (18)

Однако на основе этой общей формулы на практике исчисляют два показателя выполнения норм выработки: сменный и ча­совой.

Показатель выполнения сменных норм выработки, на практи­ке называемый процентом выполнения норм по календарному (сменному) времени, отражает степень выполнения норм выра­ботки в фактически сложившихся производственных условиях, т. е. при наличии всех организационных неполадок в производ­стве (брака не по вине рабочего, внутрисменных простоев, пере­вода на повременную работу, отклонений от нормальных усло­вий труда и др.). Формула этого показателя такова:

                                              ,                                             (19)

где  - количество единиц годной продукции каждого вида;

 - основная норма времени на единицу продукции; 

 - дополнительная норма времени на единицу продукции;

 - общее количество человеко-часов, затраченных на исправление брака не по вине рабочего;

 - общее количество сдельно отработанных человеко-часов;

 - общее количество человеко-часов простоя не по вине рабочего;

 - общее количество человеко-часов отвлечения на повременную работу.

Показатель выполнения часовых норм выработки, иначе назы­ваемый процентом выполнения норм по фактически отработан­ному времени, исчисляется для того, чтобы определить, какова была бы степень выполнения норм выработки рабочим, если бы в его работе не было организационных неполадок, не зависящих от него (брака, простоев, переключения на повременную рабо­ту). Его формула следующая:

                                            (20)

где  - количество единиц бракованной продукции не по вине рабочего.

Сопоставление показателей выполнения сменных и часовых норм выработки позволяет вскрыть неиспользованные резервы роста производительности труда.

Основным видом общего индекса производительности труда является стоимостной:

                                ,                              (21)

где w – производительность труда в стоимостном выражении,

Q = qp_C - объем производства в стоимостном измерении,

p_с  - сопоставимая цена единицы продукции.

Этот метод является универсальным. Поскольку может быть применен на любом предприятии, а также на более высоких уровнях обобщения – на уровне отрасли, региона, экономики в целом. Проблема при вычислении данного индекса - сопоставимость цен, т.к. цены могут формироваться по-разному.

В каждом производственной единице учёт объёмов производства может вестись в разных единицах (натуральных, трудовых, стоимостных). Во избежание необходимости пересчёта производительности труда во всех подразделениях в показатели по какому-то одному методу, используют среднеарифметический из индивидуальных индекс производительности труда (индекс академика Струмилина):

                                                     ,                                             (22)

где i_w - индивидуальный индекс производительности труда по каждому подразделению фирмы,

T₁ - затраты труда в подразделениях в отчётном периоде, они являются весом в данной формуле. Т.к. численность работников - универсальный показатель в данном случае, а также для расчета индекса необходимо знать не сам уровень производительности труда в каждом подразделении, а её индекс, то индекс Струмилина может быть вычислен даже в том случае, если в подразделениях, по которому он считается, применяются различные методы измерения производительности труда – трудовой, натуральный, стоимостной. Особенность этого индекса – зависимость от структуры затрат в отчетном периоде. При резких изменениях в затратах труда по отдельным производственным единицам в сравниваемых периодах результаты расчета сводных показателей производительности труда по предприятию в целом по стоимостному методу и по методу Струмилина могут существенно различаться из-за влияния структурных сдвигов в распределении персонала по отдельным производственным единицам.

Для  оценки динамики производительности труда работников в сфере туристических услуг предлагается использовать комплексный пока­затель динамики эффективности труда, который означает уровень эффективности использования рабочей силы в этой отрас­ли (регионе) [20]. Он представляет собой среднегеометрическую вели­чину произведения индексов производительности труда в стоимостной и натуральной оценке, исчисленных за один и тот же период:

                                                          ,                                          (23)

где К_П - комплексный показатель динамики эффективности тру­да, %;

 - индекс изменения производительности труда в стои­мостной оценке, %;

 - индекс изменения производительности труда в натуральном выражении, %.

Статистические данные и расчеты.

1.Динамика производительности труда по трем предприятиям фирмы характеризуется следующими данными:

Определить, как изменилась ПТ по фирме в целом.

Решение:

(101,26%)

Производительность труда по фирме в целом возросла в целом на 1,26%, что дала экономию трудовых затрат Э=1350-1367= -17 человек.

2.Имеются данные предприятия:

Можно определить  а) на сколько процентов изменилась выработка работающих по сравнению с выработкой предусмотренной в плане

б) абсолютное изменение произведенной продукции за счет изменения численности работающих и уровня производительности труда.

1. Плановая и фактическая производительность труда:

Wплан=тыс. руб.

Wфакт=тыс. руб

2. Относительный рост производительности труда:

(104,7%)

3. Абсолютное изменение объема произведенной продукции за счет роста ПТ

∆Q_(W)=(3,762-3,592)×1850=314,5 тыс. руб

4. Абсолютное изменение объема произведенной продукции за счет сокращения численности рабочих:

∆Q_(ň)=(1850-1865)× 3,592= -53,88 тыс. руб.  {1}

Россия в 30 раз отстает по производительности труда от ЕС и США

По производительности труда Россия в 30 раз отстает от Евросоюза и США, такие данные приводят в Министерстве экономического развития и торговли РФ. Если сравнивать Россию и Европу в конкретных отраслях, то показатели отечественной ракетно-космической промышленности далеки от европейского уровня: каждый год здесь производится продукции из расчета 14,8 тысячи долларов на одного работающего в этой отрасли, а в ЕС этот показатель равен 126,8 тысячи долларов, в США - 493,5 тысячи долларов. Что же касается судостроения, то здесь отечественные компании на производство одной тонны конструкции тратят в три раза больше времени, чем в Южной Корее. Аналитик ИК "Церих Кэпитал Менеджмент" Людмила Медведева отмечает, что производительность труда в РФ сильно различается в зависимости от отрасли. Так, например, производительность труда в "Автовазе" в 27 раз ниже, чем в компании "Ford". "Сравнение ряда компаний телекома в странах ЕС, США и РФ показали, что производительность приблизительно совпадает, - сообщает специалист. – А вот результаты в нефтегазовой отрасли значительно лучше: Эксон – 5 млн $/ чел., ВР- 3 млн $/ чел, Total – 1,7 млн $/ чел, Лукойл – 8 млн $/ чел, Новатек – 5,6 млн $/ чел". Людмила Медведева полагает, что такие отрасли, как нефтянка, телеком, газовая отрасль, занимающие значительную долю рынка, позволяют компенсировать низкую производительность труда в других отраслях – машиностроении, энергетике.

В то же время, в Министерстве экономического развития уже давно обеспокоены проблемой низкой производительности труда в некоторых отраслях, даже разработали Концепцию долгосрочного социально-экономического развития. В документе говорится, что у РФ есть все шансы за тринадцать лет увеличить производительность труда в 2,4 раза, а в некоторых секторах (авиапром, судостроение, ракетно-космическая отрасль, автомобилестроение) этот показатель может возрасти в 4 раза. По подсчетам экономиста Аналитического департамента КИТ Финанс Дмитрия Полевого, заложенные в Концепции МРЭТа параметры предполагают рост производительности примерно на 10% в год. Эксперт отмечает, что максимальное увеличение этого показателя было в 2003 году (7%), а по итогам прошлого года цифра составила около 6%. "Поддержание относительно высоких темпов роста производительности в последние годы, во многом, было связано с наличием свободных производственных мощностей, однако показатели производительности сильно разнятся от отрасли к отрасли", - отмечает Дмитрий Полевой. Ускорение диверсификации экономики страны – это основной фактор, способствующий росту производительности, говорит аналитик Альфа-Банка Наталья Орлова. "В России сейчас существует барьер модернизации производств, - продолжает эксперт. – Это связано с тем, что в стране достаточно концентрированная структура секторов и много крупных предприятий. А у мелких предприятий нет средств, чтобы быть моторами модернизации". Так что, если РФ сможет преодолеть этот барьер модернизации, производительность труда российских граждан увеличится больше чем в 2,4 раза. {2}

Уровень производительности труда это важнейшая социальная проблема. Такое мнение, как передает ИТАР-ТАСС, высказал избранный президент Дмитрий Медведев на встрече с руководством Российского союза промышленников и предпринимателей (РСПП) в Кремле. «Уровень производительности труда — не только экономическая, но и важнейшая социальная и ценностная проблема», — заявил он на встрече с руководством РСПП. «Мы должны улучшать качество существующих рабочих мест, создавать новые, стимулировать мотивацию работников к высокоэффективному, производительному труду. Решение этих вопросов невозможно без формирования у наших людей стимулов к инновационному поведению, без создания равных возможностей для самореализации», — считает он. {3}

О динамике производительности труда за 2003 – 2005 г.г. оценка Росстата

Динамика производительности труда в %  в целом по экономике составляет: 2003 г. – 107,0; 2004 г. – 106,5; 2005 г. – 105,5. По сельскому и лесному хозяйству, охоте – 106,0; 106,2; 100,2 соответственно. {4}

Расчетная часть:

1.      Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной и отраслей экономики в отчетном году (выборка 20%-ная механическая) млн. руб.

Таблица 1

Исходные данные

   Цель статистического исследования - анализ совокупности предприятий по признакам Среднесписочная численность работников и Выпуск продукции, включая:

·         изучение структуры совокупности по признаку Среднесписочная численность работников;

·         выявление наличия корреляционной связи между признаками Среднесписочная численность работников и Выпуск продукции предприятия, установление направления связи и оценка её тесноты;

·         применение выборочного метода для определения статистических характеристик генеральной совокупности предприятий.

Задание 1

По исходным данным (табл.1) необходимо выполнить следующее:

5.      Построить статистический ряд распределения предприятий по Среднесписочной численности работников, образовав пять группы с равными интервалами.

6.      Графическим методом и путем расчётов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.

7.      Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

8.      Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.

Выполнение Задания 1

Целью выполнения данного Задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности предприятий путем построения и анализа статистического ряда распределения предприятий по признаку Среднесписочной численности работников.

1.Построение интервального ряда распределения предприятий по среднесписочной численности работников.

Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение предприятий по среднесписочной численности работников, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле

,                                         (1)

где  – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности,  k- число групп интервального ряда.

Определение величины интервала по формуле (1) при заданных k = 5,           x_max = 220,000 чел., x_min =120,000 чел.:

При h = 20 чел. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

                                                                                                  Таблица 2

                           Границы интервалов

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число предприятий, входящих в каждую группу (частоты групп), используя принцип полуоткрытого интервала [ ), согласно которому предприятия со значениями признаков, которые служат одновременно верхними и нижними границами смежных интервалов (120, 140, 160, 180, 200 и 220 чел.), будем относить ко второму из смежных интервалов.

Процесс группировки единиц совокупности по признаку Среднесписочной численности работников представлена во вспомогательной (разработочной) таблице 3(данные графы 4 потребуются при выполнении Задания 2) .

Таблица 3

Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируется итоговая таблица 4, представляющая интервальный ряд распределения предприятий по среднесписочной численности работников.

Таблица 4

Распределение предприятий по среднесписочной численности работников.

Приведем еще три характеристики полученного ряда распределения - частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

Таблица 5

Структура предприятий по среднесписочной численности работников

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по среднесписочной численности работников  не является равномерным: преобладают предприятия с среднесписочной численностью от 160 чел. до 180 чел. (это 11 предприятий, доля которых составляет 36,7%); 8 предприятий имеют средне списочную численность до 160 человек, а 86,7 % до 220 человек.

2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов

Для определения моды графическим методом строим по данным табл. 4 (графы 2 и 3) гистограмму распределения фирм по изучаемому признаку.

Рис. 1. Определение моды графическим методом

Расчет конкретного значения моды для интервального ряда распределения производится по формуле:

где   х_Мo – нижняя граница модального интервала,

h – величина модального интервала,

f_Mo – частота модального интервала,

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл. 4 модальным интервалом построенного ряда является интервал 160,000 – 180,000 чел., т.к. он имеет наибольшую частоту (f₃=11). Расчет моды:

Вывод. Для рассматриваемой совокупности  наиболее распространенная среднесписочная численность работников характеризуется средней величиной 172 человек.

Для определения медианы графическим методом строим по данным табл. 5 (графы 2 и 5) кумуляту распределения предприятий по изучаемому признаку.

Рис. 2. Определение медианы графическим методом

Расчет конкретного значения медианы для интервального ряда распределения производится по формуле

,

где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

f_Ме – частота медианного интервала,

S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Определяем медианный интервал, используя графу 5 табл. 5. Медианным интервалом является интервал 160-180чел., т.к. именно в этом интервале накопленная частота S_j=19 впервые превышает  полусумму всех частот ().

Расчет медианы:

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина предприятий имеют среднесписочную численность работников не более 173 человек, а другая половина – не менее 173 человек.

3. Расчет характеристик ряда распределения

Для расчета характеристик ряда распределения , σ, σ2, V_σ на основе табл. 5 строим вспомогательную таблицу 6 (х'j– середина интервала).

Таблица 6

Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную:

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение:

Рассчитаем дисперсию:

σ2 = 22,9402 = 526,222

Рассчитаем коэффициент вариации:

Вывод. Анализ полученных значений показателей  и σ говорит о том, что средняя величина среднесписочной численности работников составляет 173 чел., отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 23 чел. (или 13,29%), наиболее характерная среднесписочная численность работников находится в пределах от 150 до 196  чел. (диапазон ). 

Значение V_σ = 13,29% не превышает 33%, следовательно, вариация среднесписочной численности работников в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно (=173 чел., Мо=172 чел., Ме=173 чел.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение среднесписочной численности работников (173 чел.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

4. Вычисление средней арифметической по исходным данным     о среднесписочной численности работников предприятий .

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

,

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по исходным данным (173,000 чел.) и по интервальному ряду распределения (172,667 чел.), заключается в том, что в первом случае средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти предприятий, а во втором случае в качестве значений признака берутся середины интервалов  и, следовательно, значение средней будет менее точным. Вместе с тем, при округлении обеих рассматриваемых величин их значения совпадают (173 чел.), что говорит о достаточно равномерном распределении численности работников внутри каждой группы интервального ряда.

Задание 2

По исходным данным (табл. 1) с использованием  результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1.           Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Среднесписочная численность работников и выпуска продукции, образовав пять групп с равными интервалами по каждому из признаков, используя методы:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

2. Измерить тесноту корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Сделать выводы по результатам выполнения задания 2.

Выполнение задания 2

Целью выполнения данного задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, а также установление направления связи и оценка ее тесноты.

По условию Задания 2 факторным является признак Среднесписочная численность работников, результативным – признак Выпуска продукции.

1.      Установление наличия и характера корреляционной связи между признаками Среднесписочная численность работников и Выпуска продукции методами аналитической группировки и корреляционных таблиц

1а. Применение метода аналитической группировки

Аналитическая группировка строится по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение  результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения  систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х- Среднесписочная численность работников и результативным признаком Y - Выпуск продукции. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7):

Таблица 7

Зависимость выпуска продукции от среднесписочной численности работников

Групповые средние значения  получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8:

Таблица 8

Зависимость выпуска продукции от среднесписочной численности работников

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением среднесписочной численности работников от группы к группе систематически возрастает и средний выпуск продукции по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

1б. Применение метода корреляционных таблиц

Корреляционная таблица строится как комбинация двух рядов распределения по факторному признаку Х и результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и k-ой графы таблицы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по признаку X и в k-ый интервал по признаку Y. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками - прямой или обратной. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему, обратная - по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему.

Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y.  Для  факторного  признака Х – Среднесписочная численность работников эти величины известны из табл. 4 Определяем величину интервала для результативного признака Y – Выпуска продукции при k = 5, у_max =  74,000 млн руб.,

у_min = 14,000 млн руб.:

Границы интервалов ряда распределения результативного признака Y имеют вид:

Таблица 9

Подсчитывая для каждой группы число входящих в нее предприятий с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (табл. 10).

Таблица 10

Интервальный ряд распределения предприятий по выпуску продукции

Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (табл. 11).

Таблица 11

Корреляционная таблица зависимости выпуска продукции

от среднесписочной численности работников

Вывод. Анализ данных табл. 11 показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между среднесписочной численностью работников и выпуском продукции предприятия.

2. Измерение тесноты корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации  и эмпирического корреляционного отношения

Коэффициент детерминации  характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии  признака Y в его общей дисперсии:

где   – общая дисперсия признака Y,

         – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Общая дисперсия  характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле

,                                                        (10)

где  y_i – индивидуальные значения результативного признака;

        – общая средняя значений результативного признака;

         n – число единиц совокупности.

Межгрупповая дисперсия  измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле

,                                                  (13)

где      –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета показателей  и  необходимо знать величину общей средней , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

Значения числителя и знаменателя формулы имеются в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую среднюю :

= =46 млн руб.

Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Рассчитаем общую дисперсию:

=

Для  расчета  межгрупповой  дисперсии  строится  вспомогательная таблица 13 При этом используются  групповые средние значения  из табл. 8 (графа 5).

Таблица 13

Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Определяем коэффициент детерминации:

 или 91,9%

Вывод. 91,9% вариации выпуска продукции предприятия обусловлено вариацией среднесписочной численности работников, а 8,1% – влиянием прочих неучтенных факторов

Эмпирическое корреляционное отношение  оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

Рассчитаем показатель :

Вывод: согласно шкале Чэддока связь между среднесписочной численностью работников и выпуском продукции предприятия является весьма тесной.

Задание 3

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,683 необходимо определить:

1)      Ошибку выборки среднесписочной численности работников и границы, в которых будет находиться среднесписочная численность работников в генеральной совокупности.

           2) Ошибку выборки доли предприятий со среднесписочной численностью работников 180 человек и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3

Целью выполнения данного Задания является определение для генеральной совокупности предприятий отраслей экономики границ, в которых будут находиться средняя величина среднесписочной численности работников, и доля предприятий  со среднесписочной численностью работников не менее 180 человек.

1. Определение ошибки выборки для величины среднесписочной численности работников, а также границ, в которых будет находиться генеральная средняя

Применяя выборочный метод наблюдения, необходимо рассчитать ошибки выборки (ошибки репрезентативности), т.к. генеральные и выборочные характеристики, как правило, не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε.

Принято вычислять два вида ошибок выборки - среднюю  и предельную .

Для расчета средней ошибки выборки  применяются различные формулы в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка  для выборочной средней  определяется по формуле

,

где  – общая дисперсия изучаемого признака,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

,

где     – выборочная средняя,

           – генеральная средняя.

Предельная ошибка выборки  кратна средней ошибке  с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия):

Коэффициент кратности  t зависит от  значения  доверительной вероятности Р, гарантирующей вхождение генеральной средней в интервал , называемый доверительным интервалом.

Наиболее часто используемые доверительные вероятности Р и соответствующие им значения t задаются следующим образом (табл. 14):

По условию Задания 2 выборочная совокупность насчитывает 30 предприятий, выборка 20% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 150 предприятий. Выборочная средняя , дисперсия  определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 15:

Таблица 15

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

Рассчитаем предельную ошибку выборки:     

Определим доверительный интервал для генеральной средней:

или

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,683 можно утверждать, что для генеральной совокупности предприятий средняя величина среднесписочной численности работников находится в пределах от 169 до 176 человек.

2. Определение ошибки выборки для доли предприятий со среднесписочной численностью работников  180 человек и более, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

,

где  m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

        n – общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки  доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

,

где  w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

       (1-w) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

        N – число единиц в генеральной совокупности,

        n– число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих исследуемым признаком:

По условию Задания 3 исследуемым свойством предприятий является равенство или превышение среднесписочной численности работников величины 180 человек.

Число предприятий с данным свойством определяется из табл. 3 (графа 3):

m=11

Рассчитаем выборочную долю:

Рассчитаем предельную ошибку выборки для доли:

Определим доверительный интервал генеральной доли:

0,288  0,446

или

28,8%  44,6%

Вывод. С вероятностью 0,683 можно утверждать, что в генеральной совокупности предприятий из отраслей экономики доля предприятий со среднесписочной численностью работников  1800 человек и более будет находиться в пределах от 28,8% до 44,6%.

Задание №4

Имеются следующие данные по двум предприятиям отрасли:

Определить:

1. По каждому предприятию уровни и динамику производительности труда.

Результаты расчетов представить в таблице.

2. По двум предприятиям вместе:

• Индексы производительности труда (переменного, постоянного состава, структурных сдвигов);
• Абсолютное изменение средней производительности труда за счет отдельных факторов.

Сделать вывод.

1. Уровень и динамика производительности труда.

Уровень производительности труда измеряется двумя показателями: прямым показателем – выборка и обратным – трудоемкость.

      Выборка

W=

qp- объем продукции в денежном выражении;

Т – затраты рабочего времени.

Трудоемкость

t =

.

№1 предприятие:

 тыс.руб на 1 работника

 тыс.руб на 1 работника

чел./дн

 чел./дн

№2 предприятие:

 тыс.руб на 1 работника

 тыс.руб на 1 работника

 тыс.руб на 1 работника

             тыс.руб на 1 работника

Занесем полученные данные в таблицу:

Рассчитаем динамику производительности труда(абсолютные, относительные индексы.

2. Определим индексы производительности труда

а) Переменного состава:

^{т. е. в среднем по двум предприятиям производительность труда выросла в отчетном периоде по сравнению с базисным на 22,5%.}

б) Постоянного состава: