Министерство народного образования ПМР

Приднестровский государственный университет

им. Т.Г. Шевченко

Физико-математический факультет

Кафедра нелинейной оптики и квантовой радиофизики

Дипломная работа

Многоквантовые переходы

под действием немонохроматического

электромагнитного поля

студента V курса

физико-математического факультета

дневного отделения

Коваленко Олега Сергеевича

Научные руководители:

доцент, кандидат физико-

математических наук    Баранов С.А.

ст. преподаватель          Федоров Л.В.

Тирасполь – 2000

Содержание

Введение. Общий обзор проблемы                                                                   3

1.1. Общие свойства многоквантовых переходов                                   3

1.2. Общие понятия сжатого света                                                           6

1.3. Применение сжатого света в информационных системах и

       системах связи                                                                                    10

2. Вероятность многоквантового перехода                                             12

2.1. Монохроматическое поле                                                                           12

2.2. Случай немонохроматического поля для

       многомодового источника                                                                 15

2.3. Вероятность многоквантового перехода под действием

       сжатого света                                                                                               19

3. Выводы                                                                                                  21

Литература                                                                                                                   30                            

Введение. Общий обзор проблемы.

1.1. Общие свойства многоквантовых переходов

          К многоквантовым переходам, как известно, относятся переходы между электронными состояниями атомных, молекулярных или других систем, когда в одном элементарном акте происходит поглощение нескольких (более двух) квантов.  Отдельным классом многоквантовых переходов являются многоквантовые переходы в двухуровневых системах, в которых проявляются эффекты квазипересечения адиабатических поверхностей. Именно этим задачам посвящена настоящая дипломная работа. В частности, в дипломной работе решается вопрос об отклонениях результатов расчетов вероятностей неадиабатических переходов от результатов стандартной теории возмущений и устанавливаются критерии применимости результатов теории возмущений. Теория ряда неадиабатических эффектов, появляющихся в многоквантовой спектроскопии молекул и твердых тел построена в работах [1, 7, 8]. Там решены некоторые задачи неадиабатических безизлучательных переходов. Весь комплекс задач, решенных в дипломной работе, связан с развитием современных представлений о воздействии сильного электромагнитного поля на вещество. Последнее, находится в фокусе интересов теоретических и экспериментальных исследований и свидетельствует об актуальности рассматриваемого в дипломной работе вопроса. Большинство решенных в дипломной работе задач основывается на асимптотических методах (метод ВКБ, метод перевала), которые применимы к задаче неадиабатического перехода с большим числом квантов, участвующих в переходе. Вычисление и построение графиков производилось с использованием пакета MathCAD версии 8.0.

Процессы поглощения и рассеяния света квантовыми системами в присутствии интенсивной когерентной волны хорошо изучены теоретически и экспериментально [1]. Статистические свойства внешнего электромагнитного поля существенно проявляются как в величине оптических сечений процессов для «пробного» излучения, так и в их частотной и интенсивностной зависимостях от параметров внешней лазерной волны. В последнее время большой интерес вызывает взаимодействие сжатого света с веществом, при котором могут проявляться неклассические свойства электромагнитного поля [3-4]. В литературе сообщается о возможностях создания интенсивных источников сжатого света, в том числе низкочастотных (микромазеры), что позволяет рассмотреть влияние фотонов этого излучения на сечение оптических процессов, при этом фотон  пробного излучения напряженностью  может намного превосходить фотон  сжатого света с напряженностью F. Например, для двухуровневой атомарной или молекулярной системы с электронной щелью  процесс поглощения частоты  определяется законом

                                             (1)

(k = 0, +1, …). Интенсивность комбинационного процесса поглощения света для k-го сателлита -света определяется через матричные элементы дипольного взаимодействия. Для обобщенной двухуровневой системы, имеющей ненулевой дипольный момент d в возбужденном электронном состоянии (2) и, для простоты, равный нулю дипольный момент в основном электронном состоянии (1), зависимость оптических сечений процессов от интенсивности сжатого света может носить немонотонный характер. Это обстоятельство проявляется в том, что корреляционных функций наиболее низкого порядка недостаточно для описания оптических процессов и полная информация о квантово-статических свойствах сжатого света требует учета вклада от высших корреляционных функций  -поля. Это приводит к выводу важности изучения многоквантовых переходов для анализа статистических свойств самого немонохроматического света. Действительно, высшие корреляционные функции пропорционально вероятностям многоквантовых процессов. Поэтому изучая многоквантовые переходы можно таким образом построить корреляционные функции, которые характеризуют когерентность электромагнитного поля.

          Отметим также, что многоквантовый процесс из-за нелинейности может и сам быть источником сжатого света. Однако изучение данного явления выходит за рамки дипломной работы.

1.2. Общие понятия сжатого света

Одним из значительных событий в оптике за последние годы было экспериментальное наблюдение сжатых состояний света [3, 4]. Хотя эти состояния теоретически были предсказаны уже давно, всю важность этого события можно понять, если вспомнить широко распространенную среди оптиков точку зрения, что учет квантового характера света дает лишь малые, шумовые по­правки к тем явлениям, которые описываются неквантовыми уравнениями Максвелла. По существу, эта точка зрения является краеугольным камнем так называемой полуклассической теории, в которой вещество рассматрива­ется на основе квантовых законов, а поле не квантовано, и которой столь многими успехами обязана лазерная и вообще нелинейная оптика. Теперь же после наблюдения сжатых состояний выясняется, что учет квантовой при­роды света приводит к качественно новым явлениям, подобным сжатым состояниям.

В дипломной работе мы не можем осветить все проблемы связанные с сжатым светом (см. обзоры [5, 6]). Основное внимание уделим изложению физической картины сжатого света, его теоретическому описанию и, кратко, возможным применениям. Уделяя основное внимание этим вопросам, нам хо­телось, чтобы читатель почувствовал, с одной стороны, простоту этого явле­ния, а с другой – его довольно общий смысл. Действительно, все изложенное ниже касается состояний в основном квантово-механического гармонического осциллятора и, естественно, справедливо по отношению к любому осцилля­тору, квантование которого производится по бозевской схеме. Следовательно, сжатые состояния кроме оптике могут реализовываться в таких отдаленных друг от друга областях как элементарные частицы (p -мезоны), акустика (фононы) и даже механика (механические колебания). Можно таким образом ожидать наблюдений не только сжатого света, но и сжатого звука (хотя на этом пути могут быть трудности). В принципе возможны даже сжатые состояния при колебаниях таких знакомых и даже обыденных объектов, как маятник или струна. Поэтому мы стремились выделить физи­ческую суть явления сжатых состояний, освободив изложение от излишних технических и математических подробностей.

          Наиболее простое объяснение понятия сжатого света приведем в рамках полуклассической квантовой теории. Как известно, существует соотношение неопределенности для импульса и координаты квантовой частицы

          Если выполняется равенство, то такое минимизированное квантовое состояние называется когерентным. .

          Представим, что мы каким-то образом будем портить данное когерентное состояние путем уменьшения  или . Тогда мы получим сжатые состояния. Проиллюстрируем это на рисунке.

         

 

Обычно сжатые состояния рассматриваются не в пространстве p x, а в пространстве амплитуда и фаза (амплитудно-сжатое и фазово-сжатое состояния).

Вводится понятие коэффициента сжатия, который качественно отражает "сжатие" продемонстрированное на рисунке. 

          В оптическом диапазоне при энергии порядка 1 джоуля, запасенной в резо­наторе, коэффициенты сжатия могут достигать значений порядка 10¹⁰. Это драматически не совпадает с тем, что достигнуто в экспериментах; в настоящее время реализованы коэффициенты сжатия от нескольких процентов более единицы до нескольких единиц. Пока неясно, в чем причина подобного рас­хождения.

Отметим, что максимальное значение коэффициента сжатия достигается, как отмечено выше, при , т.е. в случае, когда колебания поля отсут­ствуют, . Такие состояния обычно называют сжатым вакуумом. Сле­дует иметь в виду, что сжатый вакуум имеет мало общего с вакуумным (на­инизшим) состоянием; сжатый вакуум может быть высоковозбужденным, высокоэнергичным состоянием.

Изложенные данные приводят к наглядной картине (рис. 1). На рис.1, а изображены колебания при когерентном состоянии поля; не изменяющаяся со временем дисперсия передана толщиной линии. Как обычно при макроскопической энер­гии, дисперсия невелика по сравне­нию с амплитудой. На рис. 1,б изо­бражены колебания при сжатом со­стоянии поля. Здесь уже толщина линии сравнима с амплитудой коле­баний и изменяется со временем. Точка с наименьшей дисперсией мо­жет иметь любую фазу относитель­но колебаний поля. На рис. 1,в изо­бражены "колебания" в состоянии сжатого вакуума. Слово колебания взято в кавычки, так как теперь ко­лебаний с основной частотой w фак­тически нет. Есть только изменения дисперсии с удвоенной частотой.

1.3. Применение сжатого света в информационных системах и системах связи

Применению сжатого света в системах связи посвящено много (пока теоретических) работ. Следует отметить, что сжатый свет не расширяет значительно емкость ин­формационных каналов, максимум – в два раза. Это объясняется тем, что в обычных информационных каналах – без разделения сигнала в приемнике на квадратурные компоненты –   детектор регистрирует лишь амплитудные изменения. В системах же с фазовым детектированием фазовый канал также является носителем информации.

Однако емкость информационного канала не единственная важная ха­рактеристика системы связи. Очень важной является вероятность появления ошибок, особенно в линиях связи компьютеров. Выигрыш применения сжатого света при этом можно продемонстрировать на примере линии, в которой дво­ичные сигналы 0 и 1 кодируются сигналами, сдвинутыми по фазе на π (рис. 2). При когерентном состоянии (рис. 2, а) сигналы описываются относи­тельно широкими распределениями, из-за перекрытия которых могут возникать квантовые ошибки. При сжатом свете (рис. 2, б) той же интенсивности перекрытие распределений существенно меньше. Расчет показывает, что ве­роятности ошибок при когерентном и сжатом свете соответственно равны

,  

где  – среднее число фотонов в сигнале, т.е. в сжатом свете вероятность ошибок много меньше.

2. Вероятность многоквантового перехода

2.1. Монохроматическое поле

Рассмотрим случай, когда внешнее возмущение  имеет вид:

                                      

где – оператор дипольного момента, который имеет диагональные и недиагональные компоненты;  – амплитуда напряженности электрического поля частоты . Поле существенно низкочастотное , что позволяет использовать ВКБ приближение. Перейдем к безразмерному времени и безразмерным параметрам

; ;

; ; ,                                          (2.1)

тогда уравнения для обобщенной двухуровневой системы [8]                         можем записать в виде:

,                                                        (2.2)

где

,                                     (2.3)

, ,

(здесь как и в [8] опущена шварцевская производная)

Адиабатический потенциал имеет бесконечное число периодически расположенных точек ветвления:

,

,                           (2.4)

.

Далее задача решается в монографии [7].

В частном случае  формулы значительно упрощаются:

,

где:                               

,                                          (2.5)

В работе [9] для ДС найден критерий применимости теории возмущений. Для малых V  имеем:

,                          (2.6)

.                                                              (2.7)

Используя теорию возмущений, можно получить:

                   (2.8)

Сравнивая формулы (2.6) и (2.8) находим критерий применимости теории возмущений:

.                                         (2.9)

В общем случае  аналитические формулы для основных параметров весьма громоздки. Поэтому результаты в виде численных расчетов приведены в [8]. Эти результаты позволяют проводить оценку для сечений многоквантового возбуждения при больших полях низкочастотного излучения.

2.2. Случай немонохроматического поля для многомодового источника

Рассмотрим вероятность перехода под действием излучения многомодового лазера. Применим метод усреднения вероятности перехода в единицу времени под действием монохроматического поля по распределению мод источника. Этот метод справедлив, если , где  – ширина верхнего уровня,  – спектральная ширина излучения моды. Действительно, ели постоянная времени случайного процесса  , можно вычислить вероятность перехода при заданной реализации случайного процесса , затем результат усреднить по всем возможным реализациям с функцией распределения :

В случае конечного числа мод N функция распределения имеет вид:

Если , то в качестве функции распределения можно использовать гауссовскую функцию:

Последнее основано на близости статистических свойств многомодового источника к Пуассоновской статистике (относительно энергии ). Хорошо известно, что при малых полях, когда для расчета вероятности перехода достаточно члена  для n – квантового процесса, вероятность перехода от многомодового источника в  больше, чем вероятность такого же монохроматического источника. Однако, в многомодовом поле уменьшается область применимости теории возмущений, что объясняется существованием влияния выбросов на вероятность перехода.

Для частного случая модели ОДС можно получить аналитическое выражение для вероятности в многомодовом поле. Этот случай рассмотрен в работах Коварского [9], где недиагональное взаимодействие учитывается по теории возмущений, а диагональное – точно, что соответствует малой величине

.

          Вероятность перехода в единицу времени в этом случае имеет вид:

,                          (2.2.1)

– модифицированная функция Бесселя.

Непосредственно виден критерий, при котором выполняется закон  (и теория возмущений):

Введем функцию 

,                                        (2.2.2)

где  

которая получается при  подстановке в  (2.2.2) формулы (2.2.1)

          Для случая произвольных  рассмотрим квазиклассическую теорию. Произведем усреднение с функцией распределения. Усреднение с гауссовской весовой функцией в общем случае можно выполнить только численным методом на ЭВМ. Однако при достаточно малых полях в случае ДС его можно найти приближенным интегрированием, воспользовавшись формулой  (2.6). При усреднении по гауссовской амплитуде необходимо вычислить интеграл:

,

который в приближении  можно оценить методом перевала. Оценка дает:

,

где

,

.

Из приведенной формулы несложно найти критерий применимости теории возмущений для расчета вероятности перехода в единицу времени в случае многомодового источника. Он имеет вид:

.

В случае многомодового источника, критерий применимости теории возмущений не зависит от энергетического расстояния между уровнями. Он более жесткий, чем аналогичный критерий для немонохроматического поля.

          Для случая произвольных  были выполнены численные расчеты на ЭВМ. Результаты численных расчетов (для величины ) представлены на рис. 3

          Отметим, что с увеличением n отклонение  возрастает. Однако расчеты показали, что  как функция  вплоть до  не превосходит пунктирной линии.

          Предложенные методы позволяют учитывать простейшие модели немонохроматического излучения. Учет реальных свойств лазерного излучения ограничивает область применимости теории возмущений.

2.3. Вероятность многоквантового перехода под действием сжатого света

В работе [А.В. Белоусов, В.А. Коварский, О.Б. Препелица ЖЭТФ, 1995, том 108, вып. 2(8), стр. 447-455] получено, что в частных случаях сжатого света (фазово-сжатого или амплитудно-сжатого) вероятность перехода под действием такого света можно подсчитать аналогично предыдущему параграфу, но используя в интеграле для усреднения функцию :

.                                    (2.3.1)

Далее в общем случае мы выполняли расчет по формуле (2.3.1) численно. Если воспользоваться формулой для теории возмущения, то расчет можно легко выполнить и получить

.

          Численным расчетом, используя в качестве вероятности перехода результат квазистатической теории мы получили результаты, позволяющие судить об отклонениях от закона . Данные отклонения еще более существенны, чем  отклонения от закона  в предыдущем параграфе.

Как видно из графиков, отклонение от теории возмущений возрастает с увеличением  фотонности процессов (основные выводы приведем ниже в разделе выводы).

3. Выводы

1. Исходным пунктом данного исследования является квазиклассическая теория многоквантовых переходов, которая позволяет выйти за рамки теории возмущений и найти отклонения от теории возмущений в случае больших полей. Для обобщений двухуровневой системы была получена формула для вероятности многоквантового перехода, которая справедлива для идеального монохроматического источника света [8].

2. Получена формула для вычисления вероятности многоквантового перехода в случае многомодового лазера путем усреднения вероятности перехода для монохроматического поля по Пуассоновскому распределению.

В случае больших полей эту процедуру можно выполнить только численно. Если справедлива теория возмущений, то вероятность перехода под действием многомодового источника в  больше чем вероятность перехода под действием монохроматического поля. Для достаточно больших полей получено отклонение от закона .

В общем случае это отклонение можно получить только числено. В работе приведены графики для наиболее интересных случаев многофотонного возбуждения под действием многомодового лазерного излучения.

3. Аналогично предыдущему, квазиклассическая формула вероятности перехода использовалась для учета вероятности многоквантового перехода под действием сжатого света. При этом согласно работам [9] усреднение проводилось с Гауссовским распределением.

Для теории возмущений вероятность перехода под действием сжатого света в  больше, чем вероятность перехода под действием обычного источника. Получено отклонение от закона . Отметим, что это отклонение проявляется раньше, чем отклонение от закона . Следовательно в больших полях вероятности перехода под действием сжатого света "выравнивается" с вероятностями перехода несжатого источника.

B1

F0

P5

P3

P7

P9

P11

    Рис. 3. Характеристика отклонения от теории возмущений

 - введенная функция меньше зависит от n и может универсально характеризовать отклонение от теории возмущений.

F₀ – приведенная безразмерная напряженность поля. .

P3, P5, P7, P9, P11 – случаи соответственно для 3, 5, 7, 9, 11 фотонов.

M3

M5

M7

M11

M9

A1

F0

Рис. 4. Отношение вероятности многоквантовых переходов многомодового лазера к вероятности одномодового лазера.

A₁ - Отношение вероятности многоквантовых переходов многомодового лазера к вероятности одномодового лазера.

F₀ – приведенная безразмерная напряженность поля. .

М3, М5, М7, М9, М11 – случаи соответственно для 3, 5, 7, 9, 11 фотонов.

F(x)

Зависимость функции распределения фотонов от F₀, для случая n = 3

x

F0=0.5

F0=0.99

F0=0.9

F0=0.8

F0=0.7

F0=0.6

               

0.33

0,3

0,2

0,1

2

1

0,3

0,6

0.99

F0

0

3

x

F(x, F0)

Зависимость функции распределения фотонов от F₀, для случая n = 5

F0=0.99

F0=0.9

F0=0.8

x

F0=0.4

F0=0.5

F0=0.6

F0=0.7

F(x)

1

2

0,1

0,2

0,3

0.99

0,6

0,3

0.36

0

3

x

F0

F(x, F0)

Зависимость функции распределения фотонов от F₀, для случая n = 7

	x

 

F(x)

F0=0.99

F0=0.9

F0=0.8

F0=0.7

F0=0.5

F0=0.6

0.39

0,3

0,1

0,2

2

1

0,6

0,3

F0

0.99

0,15

x

2,8

F(x, F0)

Зависимость функции распределения фотонов от F₀, для случая n = 9

F(x)

x

F0=0.5

F0=0.6

F0=0.99

F0=0.9

F0=0.8

F0=0.7

0,4

0,3

0,6

0,3

0,1

0,2

2

1

x

3

F0

0.99

0

0.49

F(x, F0)

Зависимость функции распределения фотонов от F₀, для случая n = 11

x

F(x)

F0=0.6

F0=0.7

F0=0.5

F0=0.99

F0=0.9

F0=0.8

0,1

0,3

0,4

0,2

0.5

0

0,3

0,6

1

2

3

x

F0

0.99

F(x, F0)

Литература

1. В.А. Коварский, Н.Ф. Перельман, И.Ш. Авербух, Многоквантовые

    процессы, Энергоатомиздат, М., 1985г.

3. Slusher R.E., Hollbers L.W., Yurke В., Afertz J.C. Valley J.F. // Phys. Rev.,

    Lett. 1985. V. 55. Р. 2409.

4. Ling-An Wu, Kimble H.J., Hall J.L., Haifa Wu // Phys. Rev. Lett. 1986,

    V. 57. P. 2520.

5. Смирнов Д.Ф.. Троими Л.С. // УФН. 1987. Т. 153. С. 233.

6. Тайш М.К., Салэ Б.А. // УФН. 1991. Т. 161, № 4. С. 171.

7. В.А. Коварский, Н.Ф. Перельман,  и др. Неадиабатические переходы в

    сильном электромагнитном поле, Кишинев, Штиинца, 1980; ЖЭТФ,

    1995, том 108, вып. 2(8) стр. 447-455

8. Баранов С.А. Диссертация на соискание ученой степени кандидата

    физико-математических наук. Кишинев, 1980г.

9. В.А. Коварский Многоквантовые переходы, Кишинев, Штиинца,

    1974г. с. 227.

Abstract

In the process of performing a work Multiquantum transition under the action of nonmonochromatic electromagnetic field, were received following results:

1. Source point of the given study is a classical theory of multiquantum transition, which allows to leave for frames of theory of outraging and find detours from theories of outraging in the event of greater floors. Formula was received For generalising a two-level system for probability of multiquantum transition, which equitable ideal monochromatic source of the light [8].

2. Received formula for the calculation of probability of multiquantum transition in the event of multivogue lazer by averaging probability of transition for the monochromatic field on Poisson distribution.

In the event of greater floors this procedure possible to execute only numerically. If equitable theory of outraging, the probability of transition under the action of multivogue source in  more than probability of transition under the action of monochromatic field. For sufficiently greater floors received detour from the law .

In general event this deflection possible to get only numerical. In work brought graphs for the most interesting events multyphoton excitement  under the action of multivogue lazer radiations.

3. Similarly preceding, quasiclassical formula of probability of transition was used for the account of probability of multiquantum transition under the action of the compressed light. Herewith according to work [VKB] averaging was conducted with Gauss distribution.

For the theory of outraging probability of transition under the action of compressed light in  more, than probability of transition under the action of the usual source. Received detour from the law . Note that this deflection reveals itself earlier, than detour from the law. Consequently in greater floors of probability of transition under the action of compressed light "is justified" with probability of turning a noncompressed source.