Комплексные числа часто называют мнимыми. Это название не вполне удачно, т.к. может создать представление о комплексных числах как о чём-то нереальном. Оно объясняется тем, что, хотя комплексные числа стали употребляться ещё в XVI в., они долго продолжали казаться даже выдающимся математикам чем-то реально не существующим, мнимыми в буквальном смысле этого слова. Одному из создателей дифференциального и интегрального исчисления, немецкому математику Г.Лейбницу (1646-1716) принадлежат, например, такие слова: „Комплексное число – это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием”. Сейчас от всей этой мистики не осталось ничего, кроме, пожалуй, названия «мнимые числа». Уже во времена К.Гаусса (1777-1855) было дано геометрическое истолкование комплексных чисел как точек плоскости. Трудами выдающихся математиков XIX века О.Коши, Г.Римана и К.Вейерштрасса на базе комплексных чисел была построена одна из самых красивых математических дисциплин – теория функций комплексной переменной.

Повторить с учащимися известные им сведения о числовых множествах:

а) натуральных чисел N={1,2,3,…,n,…};

      б) целых Z={…,-2,-1,0,1,2,…};

      в) рациональных Q={,n  Z, n  N};

      г) действительных чисел R.

С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат любого измерения, а с помощью произвольных действительных чисел – изменение любой величины. Арифметические операции над действительными числами снова дают действительные числа. Операция же извлечения квадратного корня определена не для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных – из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя.

Ряд вопросов, возникших при решении уравнений третьей и четвертой степеней, привел математиков к необходимости расширить множество действительных чисел, присоединив к ним новое число i, такое, что   i²=-1.Поскольку действительных чисел с таким свойством не существует, новое число назвали “мнимой единицей” – она не выражала ни результатов измерения величин, ни изменений этих величин. Но включение числа i потребовало дальнейшего расширения множества чисел – пришлось ввести произведение этого числа на все действительные числа, т.е. числа вида bi, где bR, а также суммы действительных чисел и таких произведений, т.е. числа вида a+bi, где a,bR. Получившиеся при этом числа были названы комплексными, т.к. они содержали как действительную часть a, так и чисто мнимую часть bi.

Опр: комплексными числами называются числа вида a+bi (a и b - действительные числа, i²=-1).

Если z=а+bi - комплексное число, то а называют его действительной частью, а b-мнимой частью. Приняты обозначения a=Re z, b=Jm z (от французских слов re¢ele - действительный и imaginaire - мнимый). Числа a+bi, для которых b¹0, называют мнимыми числами, а числа вида bi, b¹0,- чисто мнимыми числами.

Множество комплексных чисел обозначается С.

Два комплексных числа z₁=a+bi  и z₂=с+di считаются равными друг  другу в том и только в том случае, если а=с и b=d. В частности, число a+bi будет считать равными нулю, если a=0 и  b=0.

Запись z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами:

1. Сложение: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Например , (2+3i)+(5-7i)=(2+5)+(3-7)i=7-4i.

2. Умножение: (a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i , причем нужно помнить, что   i² =-1.  Эту    формулу    можно    получить,   умножая

(a+bi) на (c+di) по правилам действий над многочленами.

Например, (1+2i)(3-i) =3*1-1*i+6i-2i² =3+2-i+6i=5+5i.

Рассмотрим степени числа i :

i¹ =i ;  i² =-1;  i³ =i²*i =-1*i =-i;  i⁴ =i²*i² =(-1)(-1) =1;  i⁵=i³*i²=-i(-1)=i;  i⁶= =i⁵*i=i*i=-1=i²; …

Вообщее, i^4n+r =(i⁴)ⁿ*i^r =(1)ⁿ *i^r =i^r.

Получаем, i^4m=1;  i^4m+1=i;  i^4m+2=-1;  i^4m+3=-i.

Например, i²¹⁸=i^4*54+2=i²=-1.

3. Вычитание: (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i

Например, (5+4i) - (2-3i) = (5-2) + (4+3)i = 3+7i.

Опр: Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части.

Если z=a+bi, то сопряженное число имеет вид z=a-bi.    Заметим,   что z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a;  z*z=(a+bi)(a-bi)=a²+b²  . Следовательно, сумма и  произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами.

4. Деление: на практике при делении комплексных чисел удобно домножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю:

a+bi = (a+bi)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i = ac+bd + bc-ad i

c+di     (c-di)(c-di)             c² + d²                      c²+d²      c²+d²    

Например, 10+15i  =  (10+15i)(1-2i) _ 10-20i +15i +30 = 40-5i = 8-i

                     1+2i            (1+2i)(1-2i)               1 + 4              5

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Как известно, действительные числа можно изображать точками на координатной прямой. А комплексное число естественно выражать точкой на координатной плоскости.

Каждому комплексному числу a+bi  поставим в соответствии точку M(a;b) координатной плоскости, т.е. точку, абсцисса которой равна действительной части комплексного числа, а ордината - мнимой части. Каждой точке M(a; b)  координатной плоскости поставим в соответствие комплексное число a+bi (рис.1).

Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Сама координатная плоскость называется  комплексной плоскостью. Действительным числам соответствуют точки оси абсцисс, которая называется действительной осью, а чисто мнимым числам - точки оси ординат, которая называется мнимой осью.

Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа a+bi как радиус-вектора ОМ (см. рис.1), т.е. вектора, исходящего из начала координат О (о,о) и идущего в точку М (а;b). Разумеется, вместо радиус-вектора ОМ можно взять любой равный ему вектор.

Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно тем, что при этом получают простое геометрическое истолкование операций над ними. При сложении чисел z₁=a₁+b₁i и z₂=a₂+b₂i складываются их действительные и мнимые части. При сложении соответствующих им векторов ОМ₁ и ОМ₂ складываются их координаты. Иными словами, если числу z₁ соответствует вектор ОМ₁, а числу z₁-вектор ОМ₂, то числу z₁+z₂ соответствует вектор ОМ₁+ОМ₂, а числу z₁-z₂ - вектор ОМ₁- ОМ₂.

Перейдем к рассмотрению понятия модуля комплексного числа. Опр: Модулем комплексного числа называется длина вектора соответствующего этому числу.

Для модуля числа z используется обозначение /Z/ или r. По теореме Пифагора (см. рис.1) для модуля комплексного числа z=a+bi легко получается следующая важная формула: /Z/=Öa²+b², выражающая модуль числа через его действительную и мнимую части. Отмети, что /z/ = /-z/ = /z/, z*z = /z/² = /z/².

Упражнения:

1. (2Ö3 - 4iÖ2) - (Ö27 - iÖ32) + (2    + 2i

                                                  Ö3     Ö3  ;

2. (m -  n  i) + ( n - m   i - (( 1   - 1  i) - 1  - 1 i))  ;

   n     m          m    n          n      m      m   n

3. 2i (1 + Ö3  i)  ( -1   + Ö3  i );

         2     2          2         2

4. Найдите комплексные числа:

а) z =i + 6i+1    б) z = i¹³+ i¹⁴ + i¹⁵ +i¹⁶ ;  в) z = 3+1  :   2

             1+7i                                                       3-i       5(1-i)

г) z = (1+2i)³ - (1-i)³    ; д) z = (2+i)⁵      е) z = 5+12i  + (1+2i)²          

          (3+2i)³- (2+i)²                                                         8-6i        2+i

 ж) z = (-0,5 + i Ö3) ³

                           2

5. Изобразить геометрически комплексные числа:

а) 3+0i; б) 0-5i; в) -3+2i; г) 1+i.

6. Найдите действительную часть комплексного числа:

z= (1+2i) + i¹⁹ ;

мнимую : z= (2-i)³ (2-11i).

7. Найти модуль к.ч. z= -2+ i*5, число, сопряженное данному, изобразить их геометрически.

8. Выполнить сложение алгебраически и дать геометрическую интерпретацию:   z= z₁ +z₂ +z₃, где  z1 = 3-2i;    z₂=-3+4i;    z₃ = 2- i.

9. Найти два действительных числа Х и У, удовлет  их равенствам:

а) 2i + iу -2 = 3i - 3 =у

    х                 х

б) (1+i)x + (1-i)у = 3-i;

в) (2x-3уi)(2x+3уi) +xi = 97+2i.

 §2. Действия над комплексными числами, заданными

в алгебраической форме. Решение задач.

Провести комбинированный опрос. Фронтальный опрос провести по вопросам:

1. Обозначение  числовых множеств и их соотношения.

2. Почему появилась необходимость введения комплексных чисел?

3. Определение комплексных  чисел, частные случаи, основные соглашения.

4. Определения сопряженных и противоположных комплексных чисел, модуля комплексного числа.

5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, сопряженных и противоположных комплексных чисел.

6. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме (определения и свойства).

7. Действия над комплексными числами, геометрическая интерпретация их суммы и разности.

8. Действия над сопряженными и противоположными комплексными числами (их сумму и разность показать геометрически).

9. Можно ли сравнивать комплексные числа?

10. Какие закономерности имеются у степени мнимой единицы.

Индивидуальный опрос полезно провести по карточкам. Примерное содержание одного варианта:

1. Вычислить: а) (3+5i) + (2+i) = . . . . .; б) (3+5i) - (4-i) = . . . .;

2. Возвести в степень: а) i¹²³ = . . . ; б) (i-1)² = . . . .

3. Вычислить: (Ö3 + iÖ2) (Ö3 - iÖ2) = . . . .

4. Построить слагаемые и сумму комплексных чисел на комплексной плоскости: z₁=1-5i; z²=2+3i.   

5. Построить уменьшаемое, вычитаемое и разность комплексных чисел на комплексной плоскости: z₁=1-i; z₂=3i.

Упражнения:

1. Выполнить действия: а) [2i (3-4i)]² =; б) a-bi   - i  b-ai = ;

                                                                      b+ai       a+bi

в) i¹⁰⁰ + i⁹⁸ +i⁶³ =;

2. Н основании равенства комплексных чисел, найти действительные числа Х и У, если а) 2+5i x - 3уi = 14i + 3x -5y; б) x² -7x +9yx = y²i +20i -12.

3. При каких действительных значениях Х и У комплексного числа

а) 5 + ixy и x + y +4i; б) 9y² - 4 - 10x и 8y² + 20i⁷ Будут сопряженными?

4. Решите уравнения: а) (i-z) (1+2i) + (2-iz) (3-4i) = 1+7i;

б) z² - (5+2i) z + 5 + 5i =0;   в) z² + z =0;  г) (1-i) z - 3iz = 2-i;   д) z*z + 2z =3+2i;

е) z*z + 3(z-z) - 4+3i.

5. Решите уравнения: а) /z/ = 2i (z+1); б) /z/ = i (2z+i); в) /z/ - iz = i-2i;

г) z² + 3/z/ =0;  д) z² + /z/² =0.

8. Какое  множество точек комплексной плоскости задается условием:

а) /z/ <1; б) /z/ =2; в) Rez > 1; г) J_mz < -2;  д) /z+i/ =2; е) /z-2/ <3; ж) /z-4 +i/ £5.

7. Точка А соответствует комплексному числу z = 3+ i4. Какое комплексное число соответствует точке симметричной точке А, относительно: а)оси О_х; б) оси  О_у; в) начала координат?

8. На комплексной плоскости даны точки z₁, z₂ , z₃  являющиеся вершинами некоторого треугольника. Найдите все комплексные числа, соответствующие точками, дополняющим данный треугольник до параллелограмма.

9. Изобразить: а)   /z/ £3         б)/z/³ 1      в) /z-1/³ 2

                              /z-3i/³3        /z-2i/£2        -1< Rez<2

г) 1£ /z-1/£ 2           д) /z/ £3

    0£  J_mz£Ö3             1< J_mz <2.

§ 3  Тригонометрическая форма комплексного числа.

                Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.

   Повторить с учащимися алгебраическую форму комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексного числа; модуль комплексного числа и основные соотношения, связанные с ним.

Пусть точка А соответствует комплексному

числу z=a+bi. Тогда длина вектора ОА  называется

модулем числа z, а радианная мера угла,

образованного этим вектором с

положительным направлением действительной оси,  - аргументом комплексного числа Z. Причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке. Модуль обозначается /z/ = r, а аргумент - argz = j (см. рис. 2).

Для  числа z=0 аргумент не определяется, но в этом и только в этом случае число задается только своим модулем. Если комплексное число является действительным, то соответствующий ему вектор расположен на действительной оси, и понятие /z/ совпадает с известным понятием модуля действительного числа.

Заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно. Но аргумент комплексного числа, в отличие от модуля, определяется не однозначно. Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга слагаемым, кратным 2p.

На рис. 2 мы видим, что sin j = b/r, а cos j =a/r,                                                                          отсюда а=r cos j и b=r sin j, где r =Öa² + b², т.о. действительная и мнимая   части   комплексного числа z=a+bi выражаются через его модуль /z/=r и аргумент j. Следовательно, комплексное число z может  быть  записано в виде z=r cos j + i r sin j=r(cos j+i sin j) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую:

1. Найти радиус r = Öa² + b²

2. Вычислить tg j₁ =|b/a|.                                 

3. По знакам a  и b  определить четверть, в которой   находится число z.

4. Найти j, причем, если число находится:

а) в I четверти, то j = j₁;

б) во II четверти, то j = p - j₁;

в) в III четверти, то  j = p + j₁;

г) в IV четверти, то j = -j₁, или j = 2p -j₁.

5. Записать комплексное число в тригонометрической форме:

z = r (cos j + i sin j).

Или, чтобы не производить лишних вычислений, для того чтобы найти значение для j по известным значениям sin j и cos j, заполним таблицу и будем ею пользоваться:

Переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической производится подстановкой в выражение z=r (cos j + i sin j) числовых значений cos j  и sin j, затем раскрываются скобки и производятся  упрощения.

Например: 1) z = 1+i       /z/ r =Ö 1²+1² =Ö2 

sinj = 1 =2     cosj = 1  = 2 Þj = 45⁰

             Ö2   2               Ö2    2

т.о z = a + bi = 1 + i = Ö2 (cos 45⁰+ isin 45⁰ =Ö2 (cos p + sin p)

                                                                                     4         4

2. z = 6( cosp + isin p) = 6 (-1 + i*0) = 6*-1 = -6 Þz = -6.

Упражнения:

1. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:

а) Ö3-i ; б) 6+6i ; в) -2 ; г) i ; д) -1 - Ö3 i         е)  -3 (cos p + isin p

                                                   2      2   ;                        7           7  ;

ж) sin 48° + cos 48° ;  з) 1 + cos 10p + isin 10p

                                                      9               9

2. Представьте в алгебраической форме комплексные числа :

а) z = 2 (cos 225° + isin 225°) ; б) z=3 (cos0° + isin 0°) ;

в) z = 5(cos p + isin p    ;  г) z = 2(cos p + isin p

                    2          2                           3           3

3. Построить комплексные числа? А) z=2 (cos p + isin p )

                                                                             4           4

б) z = cosp + isin p ; в) z =2 (cos 3p + isin 3p

                                                       4             4