Содержание

Введение

Исторический обзор аксиоматического построения проективной геометрии

Глава 1. Определение проективной плоскости на базе трехмерного

векторного пространства.

1.1. Понятие проективной плоскости.

1.2. Свойства проективной плоскости.

1.3. Модели проективной плоскости.

1.4. Теорема Дезарга.

1.5. Теорема Паппа.

Глава 2. Аналитическое построение проективной плоскости.

2.1. Понятие проективной плоскости.

2.2. Свойства проективной плоскости.

2.3. Теорема Дезарга.

Глава 3. Аксиоматическое построение проективной плоскости.

3.1. Аксиоматика аффинной плоскости.

3.2. Аксиоматика проективной плоскости.

3.3. Модели проективной плоскости.

3.4. Теорема Дезарга.

3.5. Принцип двойственности.

3.6. Гармоническая четверка точек.

3.7. Перспективные и проективные отображения.

3.8. Аксиома Паппа и основная теорема о проективных преобразованиях прямой.

Глава 4. Применение основных теорем к решению задач на евклидовой плоскости.

4.1. Использование теоремы Дезарга на евклидовой плоскости.

4.2. Использование предложения Паппа на евклидовой плоскости.

Приложения

Список литературы

Введение

Понятие проективной плоскости можно ввести многими способами. Проективную плоскость можно построить на базе трехмерного векторного пространства, аналитически и аксиоматически.

В данной работе, в ее первой главе, проективная плоскость Р2 строится на базе трехмерного векторного пространства, рассматриваются свойства проективной плоскости и ее модели. В конце главы доказываются теоремы: Дезарга и Паппа.

Во второй главе проективная плоскость рассматривается как множество проективных точек, каждая из которых представляет собой класс пропорциональных троек действительных чисел, не содержащей нулевой тройки. При данном подходе к построению проективной плоскости рассматриваются свойства, доказывается теорема Дезарга.

В третьей главе уделяется внимание построению проективной плоскости аксиоматически. Прежде чем определить проективную плоскость, вводится аксиоматика аффинной плоскости. После определения проективной плоскости рассматриваются 4 ее модели. Особое внимание уделяется теореме Дезарга. На основе изложенного в третьей главе материала делается вывод о двойственности на проективной плоскости. В этой главе также определяются понятия: гармоническая четверка точек, перспективные и проективные отображения. Завершает главу аксиома Паппа и основная теорема о проективных преобразованиях прямой.

Глава четвертая изучает использование теорем Дезарга и Паппа на евклидовой плоскости. После чего приводятся решения задач, при решении которых использовались доказанные выше теоремы.

Вся история геометрии дает поучительный пример того, как эта наука материальные корни которой берут свое начало из жизненных потребностей человеческого общества (землемерие, постройка жилищ, живопись), достигла высокого теоретического уровня, выработала свои специфические и вместе с тем весьма общие методы, которые в свою очередь сделали возможным новые плодотворные применения геометрии к практическим вопросам.

Исторический обзор аксиоматического построения

проективной геометрии.

Имеются различные аксиоматические способы построения проективного пространства. Наиболее распространенным является видоизменение системы аксиом, предложенной в 1899 году Гильбертом для обоснования элементарной геометрии.

Проективное пространство рассматривается как совокупность элементов трех родов: точек, прямых и плоскостей, между которыми установлено основное для проективной геометрии отношение инцидентности, характеризующееся надлежащими аксиомами. Они отличаются от соответствующих групп аксиом элементарной геометрии, тем, что требуют, чтобы каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, имели общую точку и на каждой прямой имелось, по крайней мере, три различные точки. В конкретных случаях для получения более «богатой» проективной геометрии эта совокупность аксиом дополняется аксиомами порядка и непрерывности (для действительного проективного пространства), аксиома Паппа (для проективной геометрии над коммутативными телами), Фано постулатом (для проективной геометрии над телами, характеристика которого порядка ¹2) и т.д.

Замечательным положением проективной геометрии является принцип двойственности. Говорят, что точка и прямая (точка и плоскость, прямая и плоскость) инцидентны, если точка лежит на прямой (или прямая проходит через точку и т.д.). Тогда если верно некоторое предположение А о точках, прямых и плоскостях проективного пространства, сформулированные только в терминах инцидентности между ними, то будет верно и двойственное предложение В, которое получается из А заменой слова «точка» на слово «плоскость», слово «плоскость» на слово «точка» и с сохранением слова прямая.

Важную роль в проективной геометрии играет Дезарга предложение, выполнение которого необходимо и достаточно для введения проективными средствами системы проективных координат, составленных их элементов некоторого тела К, естественным образом связанного с точкой проективной прямой.

Основы проективной геометрии заложены в 17в Ж. Дезаргом и Б. Паскалем. Большое значение для последующего развития проективной геометрии имели работы П. Монтена (2-я полов. 18в – нач. 19в).

Как самостоятельная дисциплина проективная геометрия была изложена Понселе (нач. 19в). Заслуга Ж. Понселе заключается в выделении проективных свойств фигур в отдельный класс, и установлении соответствий между метрическими и проективными свойствами этих фигур.

К этому же периоду относятся работы Ж. Брионшона. Дальнейшее развитие проективная геометрия получила в трудах Я. Штейнера и М. Шаля. Большую роль в развитии проективной геометрии сыграли работы К. Штаудта, в которых были намечены также контуры аксиоматического построения проективной геометрии.

Все эти геометрии, стремились доказать теоремы проективной геометрии синтетическим методом, положив в основу изложенные проективные свойства фигур.

Аналитическое направление в проективной геометрии было намечено работами А. Мебиуса. Влияние на развитие проективной геометрии оказали работы Н.И. Лобачевского по созданию неевклидовой геометрии, позволившие в дальнейшем А. Кэли и Ф. Клейну рассмотреть различные геометрии, систематизировать с точки зрения проективной геометрии.

Развитие аналитических методов обычной проективной геометрии и построение на этой базе комплексной проективной геометрии поставили задачу о зависимости тех или иных проективных свойств от того тела, над которым построена геометрия. В решении этого вопроса больших успехов добились А.Н. Колмогоров и Л.С. Понтрягин.

Глава 1. Определение проективной плоскости

на базе трехмерного векторного пространства.

1.1. Понятие проективной плоскости.

Рассмотрим определение проективной плоскости Р2. Понятие проективной плоскости строится на базе трехмерного векторного пространства V3.

Определение: Не пустое множество Р2 называется проективным плоскостью, если существует отображение j множества ненулевых векторов V3 в Р2 удовлетворяющее двум условиям:

1) Отображение j сюрьективно.

2) Образы 2-х векторов совпадают, эти векторы линейно зависимы.

j(х)=j(у)Û х,у – линейно зависимы.

1.2. Свойства проективной плоскости.

Рассмотрим свойства проективной плоскости Р2.

1) Через " две () проективной плоскости проходит единственная прямая.

Доказательство: Рассмотрим проективную плоскость Р2 построенную на базе V3.

Пусть точка А порождена вектором аÎV3 (т.е. j(а)=А).

() В порождена bÎV3(т.е. j(b)=В);

a // b т.к. порождают различные точки. Тогда на вектора a,b можно натянуть двумерное векторное пространство L(a,b), которое на проективной плоскости порождает прямую l. Очевидно прямая l проходит через () А и В.

V1(а)=A V1ÌV2 Þ AÎ l

V1(b)=B V1'ÌV2 Þ BÎ l

Единственность: Действительно, пусть l'- произвольная прямая проходящая через () А и В, а L'- двумерное подпространство, которое порождает прямую l' так как АÎl' и ВÎl', то аÎL' и bÎL' Þ L' - подпространство натянутое на векторы а и b. Таким образом L и L'- одно и тоже векторное подпространство Þ прямые l и l' совпадают.

2) На проективной плоскости "две прямые пересекаются.

Доказательство:

Р2 построено на базе V3

прямая l -V2 ÌV3

прямая m -V2' ÌV3

1) V2¹V2', так как l ¹m

2) V2ÇV2'=V1 - порождает ()А; lÇm =A

так как V1ÌV2 Þ AÎl

V1ÌV2'Þ AÎm; ()А - единственная.

l и m пересекаются в единственной ()А.

3) Точки проективного пространства Р3 называются линейно зависимыми (линейно независимыми), если векторы порождающие их из пространства V4 линейно зависимы (линейно независимы).

На проективной плоскости $ три линейно независимые точки и они не лежат на одной прямой. Так как в V3 $ тройка линейно независимых векторов {e1,e2,e3}, то эта тройка на проективной плоскости порождает тройку линейно независимых точек Е1, Е2, Е3.

Покажем, что эти точки не лежат на одной прямой. Если бы эти точки принадлежали одной прямой, то вектора порождающие их должны были принадлежать V2, чего быть не может, так как эти вектора линейно независимы.

Вывод: точки Е1, Е2, Е3 не лежат на одной прямой и эти точки Е1, Е2, Е3 - линейно независимы.

4) На каждой прямой лежит не менее трех точек.

Доказательство: Прямой lÎP2 соответствует в векторном пространстве V3 двумерное подпространство V2. Пусть V2 натянуто на векторы a и b. Вектор с = a + b, сÎV2. Соответствующие точки А,В,СÎl и различны.

Вывод: На каждой прямой лежит не менее трех точек.

Замечание: Любая четверка точек проективной плоскости линейно зависима.

1.3. Модели проективной плоскости.

1) Связка прямых в трехмерном евклидовом пространстве Е3.

Связкой прямых в Е3 называется множество прямых пространства проходящих через некоторую фиксированную ().

Эта () - называется центром связки.

Пространство Е3 построено на базе V3. Зададим отображение j множества ненулевых векторов на связку по закону каждому вектору A поставим в соответствии прямую ОА связки, чтобы ОА // a.

Проверим выполняемость аксиом проективной плоскости.

1)j- сюрьективно, так как у " прямой ОМ всегда будет хотя бы один прообраз вектор m // ОМ

2)если 2 вектора коллинеарны a // a1, то образы совпадают - это будет прямая ОА, j(a)=j(a1)=OA.

Если образы 2-х векторов совпадают, то векторы коллинеарны.

Построенная конструкция является моделью проективной плоскости. Роль проективных точек в этой модели выполняют прямые связки, с роль проективных прямых выполняют плоскости связки.

Проанализируем, как выполняются свойства проективной плоскости.

Свойства проективной плоскости

Реализация на модели

1)Через две любые точки проходит единственная прямая

2)" две прямые на проективной плоскости пересекаются

3)$ три () не лежащие на одной прямой

4) на каждой прямой лежит не менее трех точек

1)Через две прямые связки проходит единственная плоскость связки

2)" две плоскости связки пересекаются по прямой связки

3)$ три прямые связки не лежащие в одной плоскости связки

4)Каждой плоскости связки принадлежит не менее трех прямых этой связки

2)Рассмотрим вторую модель - расширенная евклидова плоскость.

Рассмотрим в пространстве связку с центром в ()О и плоскость p не проходящую через ()О и зададим отображение j плоскости p в связку с центром в ()О по закону: "()А плоскости p ставится в соответствии прямая ОА.

j- биективно? т.е. любой ли прямой связки будет соответствовать прообраз? Ответ: нет. Прямые связки параллельные p не имеют прообразов и такие прямые называют особыми. Таких прямых будет бесчисленное множество и все они лежат в плоскости связки, которая параллельна p. Такую плоскость назовем особой плоскостью. Для того, чтобы отображение j сделать биективным и получить новую модель проективной плоскости дополним евклидову плоскость p "несобственными элементами".

Рассмотрим особую прямую связки m, m // p, и проведем через эту прямую не особую плоскость a, a(m)Ç p =a, a// m.

" прямая (не особая прямая) связки Îa имеет свой прообраз на прямой a.

Поставим в соответствие прямой m не собственную ()М ¥, которая Îa.

Проведем через особую прямую m другую не особую плоскость b b(m)Ç p =b, a // b // m, так как каждая не особая прямая b имеет прообраз на прямую b, то прообраз особой прямой m не собственная ()М¥Îb. Если рассмотрим другую особую прямую n, то должны поставить в соответствие свою несобственную ()N¥.

Каждая не особая плоскость связки имеет на плоскости p своим прообразом прямую пересечения этой плоскости с плоскостью p.a-a,b-b. Поставим в соответствие особой плоскости несобственную прямую l¥, тогда так как все особые прямые лежат в единственной особой плоскости, то все несобственные точки лежат на единственной несобственной прямой.

Определение: Расширенной евклидовой плоскостью p называется евклидова плоскость дополненная несобственными элементами: несобственными точками и единственной несобственной прямой, причем все прямые параллельные между собой дополняются одной и той же несобственной точкой и все несобственные точки лежат на единственной несобственной прямой.

Отображение j: p ® связку стало биективным, так как связка прямых является моделью проективной плоскости, то и расширенная плоскость p является моделью проективной плоскости. Роль проективных точек в этой модели выполняют собственные и несобственные точки. Роль проективных прямых выполняют собственные прямые плоскости p и несобственная прямая.

Рассмотрим выполняемость свойств проективной плоскости на построенной модели.

Свойства проективной плоскости

Выполнение свойств на модели

1)через две любые точки проходит единственная прямая

2)" две прямые пересекаются

1) а)()А,В собственные и через них проходит единственная прямая АВ

б) А,В¥

через А проводим прямую a¤¤b прямая АВ¥

в)А¥, В¥- лежат на единственной несобственной прямой l¥.

2) а)a, b- собственные aÇb=А

б)a, b собственные но с евклидовой точки зрения ¤¤, а как прямые расширенной плоскости aÇb=А¥

в)a, b¥

A¥ÎA, A¥Îb¥ Þ AÇb¥=A¥

3)Третья модель проективной плоскости.

В трехмерном евклидовом пространстве дана сфера. Под ()М будем понимать две диаметрально противоположные точки сферы, под прямой множество пар диаметрально противоположных точек лежащих на окружности большого радиуса. Докажем, что построенное множество является проективной плоскостью. ()N=íN',N''ý, ()K=íK',K''ý.

Рассмотрим связку с центром в ()О и зададим отображение j:A®íA',A''ý (прямой связки соответствует пара диаметрально противоположных точек пересечения этой прямой со сферой). j - биективно Þ построенная конструкция является моделью проективной плоскости.

Проверим выполняемость свойств проективной плоскости.

Свойства:

1)Через " две точки проходит единственная прямая

- через две пары диаметрально противоположных точек сферы íМ',М''ý и íN',N''ý проходит единственная окружность большого радиуса.

2)" две прямые проективной плоскости пересекаются

- " две окружности большого радиуса пересекаются в диаметрально противоположных точках.

3)$ три точки не лежащие на одной прямой

-$ три пары диаметрально противоположных точек Ï одной окружности большого радиуса. Например: точки N={N',N''},K={K',K''},P={P',P''}.

4)На каждой прямой лежит не менее трех точек

- рассмотрим окружность большого радиуса через ()О можно провести три различных диаметра, каждый диаметр пересекает данную окружность в диаметрально противоположных точках. Это означает, что на каждой прямой лежит не менее трех точек.

1.4. Теорема Дезарга.

При данном способе построения проективной плоскости имеет место теорема Дезарга, которая гласит:

Теорема: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.

ABÇA'B'=P, ACÇA'C'=Q, BCÇB'C'=R, AA'ÇBB'ÇCC'=O,

P,Q,R- лежат в одной прямой?

Доказательство:

Рассмотрим векторы O,A,A',B,B',C,C',P,Q,R порождающие соответствующие (), так как А,А',О лежат на одной прямой, то векторы порождающие их линейно зависимы, т.е. O= aA + a'A'.

Из того, что В', В, О - лежат на одной прямой Þ В, В', О- линейно зависимы Þ O= bB + b'B'

()С, С', О - лежат на одной прямой Þ O= cC + c'C'

aA + a'A' = bB + b'B' = cC + c'C'

aA - bB = b'B' - a'A' = P (1)

А,В,Р - линейно зависимы Þ () А,В,Р Î одной прямой, А',В',Р'- линейно зависимы Þ()А',В',Р' Î одной прямой.

P=ABÇA'B'

aA - cC = c'C' - a'A' (2)

А,С,Q- линейно зависимы Þ()А,С,Q Î одной прямой.

А',С',Q'- линейно зависимы Þ()А',С',Q' Î одной прямой.

Следовательно, Q=АСÇА'С'

bB - cC = c'C' - b'B' = R (3)

В,С,R –линейно зависимы Þ()В,С,R Î одной прямой.

В',С',R' –линейно зависимы Þ()В',С',R' Î одной прямой

Следовательно, R=ВСÇВ'С'.

Составим выражение:

- векторы линейно зависимы Þ ()P,Q,R лежат на одной прямой.

Теорема доказана.

Принято называть трехвершинники, удовлетворяющие теореме Дезарга, дезарговыми. ()О=АА'ÇВВ'ÇСС'- дезарговой, прямую, которой принадлежат точки P,Q,R - дезарговой. Для теоремы Дезарга имеет место обратная теорема:

Если точки пересечения соответственных сторон двух трехвершинников лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины этих трехвершинников, проходят через одну точку.

Замечание: Трехвершинник - это фигура, которая состоит из трех точек не лежащих на одной прямой и прямых проходящих через каждую пару этих точек.

А,В,С- вершины прямые АВ,ВС,АС- стороны

1.5. Теорема Паппа.

Следующей составляющей данной теории является теорема Паппа- Паскаля, которая является частным случаем теоремы Паскаля. Сформулируем теорему Паскаля.

рис. 1

Теорема Паскаля: Для того, чтобы шесть точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой принадлежали овальной кривой, необходимо и достаточно, чтобы точки пересечения соответствующих сторон шестивершинника* лежали на одной прямой. AB’ÇA’B=P,AC’ÇA'C=Q, BC’ÇB’C=R.(рис. 1)

P,Q,R принадлежат прямой (прямая Паскаля)

Рассмотрим теорему Паскаля в том частном случае, когда кривая второго порядка распадается на пару прямых. Пусть А,В,С,А',В',С'- шесть вершин шестиугольника Паскаля, расположенных по три на данных прямых l и l', которые мы рассматриваем как распавшуюся кривую второго порядка (рис 2). Тогда имеем следующие три точки пересечения пар соответствующих сторон шестиугольника: Р=АВ'ÇА'В, Q=А'СÇАС', R=ВС'ÇВ'С. По теореме Паскаля эти три точки лежат на одной прямой. Рассмотренный частный случай теоремы Паскаля был известен древним греческим геометрам и носил название теоремы Паппа. Теперь эта теорема носит название Паппа - Паскаля.

Рис. 2

*шестивершинником называется фигура состоящая из последовательности шести ()А1, А2, А3, А4, А5, А6 называемых вершинами и шести прямых А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А6, А6А1 называемых сторонами.

Мы рассмотрели один из подходов к определению проективной плоскости, а именно определения проективной плоскости на базе трехмерного векторного пространства.

Теперь рассмотрим аналитическое определение проективной плоскости.

Глава 2. Аналитическое построение проективной плоскости.

2.1. Понятие проективной плоскости.

Определение 1: Проективной точкой называется класс пропорциональных троек действительных чисел, не содержащих нулевой тройки.

Будем обозначать его Х={(Х1,Х2,Х3)}

Множество всех проективных точек называется действительной проективной плоскостью.

Определение 2: Проективной прямой называется множество всех точек удовлетворяющих линейному однородному уравнению вида:

С1Х 1+ С2Х 2+ С3Х 3=0 (1)

где хотя бы одно из чисел Ci отлично от нуля.

Определение 2 корректно, так как если тройка (Х1,Х2,Х3) удовлетворяет уравнению (1), то в силу его однородности при любом действительном l тройка (lХ1, lХ2, lХ3) удовлетворяет уравнению (1).

Точки, удовлетворяющие уравнению (1) удовлетворяют также линейному однородному уравнению.

(mС1)Х 1+ (mС2)Х 2+ (mС3)Х 3=0 (2)

при "mÎR: m¹0.

Поэтому каждой прямой, заданной уравнением (2) можно поставить во взаимно однозначное соответствие класс пропорциональных троек С={(С1,С2,С3)}. Так, что тройками из одного класса соответствует одна прямая, причем этот класс не содержит нулевой тройки. Ввиду этого прямую, заданную уравнением (2) будем обозначать той же буквой С, что и соответствующий класс {(С1,С2,С3)}.

Равенство (2) можно записать также в виде

СХ=0 (3)

Скалярное произведение троек С и Х. СХ= C1Х1 + С2Х2 + С3Х3 =0

Замечание: Рассмотрим 3-мерное линейное пространство L3. Исключим из него нулевой вектор 0. Множество L3\{0} разобьем по классам эквивалентности так, что векторы одного класса коллинеарны между собой. Каждый такой класс назовем проективной точкой, а множество всех классов 2-мерным проективным пространством (плоскостью). Множество всех классов, векторы которых принадлежат \{0} назовем одномерной проективной плоскостью (прямой).

В L3 введем координаты. Тогда каждому вектору соответствует строка (Х1,Х2,Х3), а каждому классу эквивалентности из L3\{0} (т.е. проективной ())- класс {(Х1,Х2,Х3)} пропорциональных строк, не содержащий нулевой строки.

Мы пришли к определению проективной плоскости.

2.2. Свойства проективной плоскости.

Докажем несколько простых теорем о взаимном расположении () и прямых на проективной плоскости.

Теорема 1: Через две различные () проходит единственная прямая.

Доказательство: 1) Существование. Пусть Х= {(Х1,Х2,Х3)} и У={(Y1,Y2,Y3)} две различные (). Определим прямую следующим образом:

C= Х*Y то есть С = Х2,Х3 Х3,Х1 Х1,Х2

Y2,Y3 , Y3,Y1 , Y1,Y2

так как CХ = (Х*Y)Х = |Х,Y,Х| = 0

CY = (Х*Y)Y = |Х,Y,Y| = 0

и по свойству определителей, то () Х и Y принадлежат прямой С.

2) Единственность. Если прямая С={(C1,C2,C3)} содержит () Х и Y, то любой представитель (C1,C2,C3) класса С удовлетворяет системе уравнений.

C1Х1 + C2Х2 + C3Х3 =0

C1Y1 + C2Y2 + C3Y3 =0 (5)

$ бесконечное множество ненулевых решений этой системы (нулевое решение не определяет прямую). При этом для " решения (С1,С2,С3) справедливо равенство:

{(C1,C2,C3 )}= Х2,Х3 Х3,Х1 Х1,Х2

Y2,Y3 , Y3,Y1 , Y1,Y2

Т.е. решения системы (5) образуют единственный класс ненулевых троек. Этот класс определяет единственную прямую С. ч.т.д.

Теорема 2: Две различные прямые имеют единственную общую точку.

Доказательство: Пусть, С={(С1,С2,С3)}, m={(m1,m2,m3)} две различные прямые. Найдем () Х ={(Х1,Х2,Х3)}, лежащую на этих прямых. Достаточно повторить доказательство предыдущей теоремы, заменив Х на С, Y на m, С на Х. Получим, что единственная общая точка Х определяется равенством

Х=С*m (6). ч.т.д.

Теорема 3: Для того, чтобы три () Х,Y,Z лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы

Х1 Х2 Х3

|X,Y,Z|=0 (7), то есть Y1 Y2 Y3 =0

Z1 Z2 Z3

Доказательство: 1)Необходимость. Пусть () X,Y,Z лежат на одной прямой С. если хотя бы две из них совпадают, то равенство (7) следует из определения смешенного произведения и свойств определителя. Пусть эти () различны. Пользуясь теоремой 1, можно записать C=X*Y. Так как ()Z лежит на прямой C, то CZ=0 Þ (X*Y)Z=|X,Y,Z|=0

2)Достаточность. Пусть выполняется равенство (7). Рассмотрим произведение C=X*Y. Равенство (7) можно записать в виде (X*Y)Z=0, то есть CZ=0 Þ()z лежит на прямой C проходящей через () X и Y. Равенство (7) не зависит от выбора представителей точек.

Теорема доказана.

Теорема 4: Для того, чтобы три прямые c, m, n проходили через одну () необходимо и достаточно, чтобы

|c,m,n|=0 (8)

Для троек действительных чисел понятие линейной зависимости и линейной независимости определяется так же, как и для векторов. Пусть тройки x,…, x линейно зависимы. Легко проверить, что " другие тройки x,…, x, принадлежащие тем же классам, тоже линейно зависимы. Поэтому классы троек (точки) линейно зависимы, если линейно зависимы какие-нибудь представители этих классов.

Из теорем 3 и 4 следуют две теоремы.

Теорема 5: Для того, чтобы три () лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.

Теорема 6: Для того, чтобы три прямые проходили через одну (), необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.

2.3. Теорема Дезарга.

На проективной действительной плоскости имеет место теорема Дезарга.

Теорема Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.

P=ABÇA'B', Q=ACÇA'C', R=BCÇB'C', AA'ÇBB'ÇCC'=Q

P,Q,R лежат на одной прямой.

Доказательство: Введем проективную систему координат, примем () А,В,С,О за фундаментальные:

А(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1), О(1,1,1)

Координаты ()А'- есть линейная комбинация координат ()А и ()О, так как А¹А', то а'=aА + dq

Можно положить d=1. Тогда получаем А'=aА +q. Тоже самое относится и к другим вершинам трехвершинника A'B'C'. Поэтому А'(a+1,1,1), В'(1,b+1,1), С'(1,1,g+1) уравнение прямой АВ: х1 х2 х3

1 0 0 =0 0 1 0

АВ: х1 0 0 + х2 0 1 + х3 1 0 =0

1 0 0 0 + 0 1

АВ: х3=0

Уравнение А'В': х1 х2 х3

a+1 1 1 =0

1 b+1 1

A'B': х1 1 1 + х2 1 a+1 + х3 a+1 1 =0

b+1 1 1 1 1 b+1

A'B': -bх1 - aх2 + (ab + a + b)х3 = 0

Так как АВÇA'B'=P х3 = 0

-bх1 - aх2 + (ab + a + b)х3 = 0

()Р 0 1 . 1 0 . 0 0 ;()Р (a,-b,0).

-a ab+a+b , ab+a+b -b , -b -a

АС: х1 х2 х3 A’C’: х1 х2 х3

1 0 0 =0 a+1 1 1 =0

0 0 1 1 1 g+1

АС: х2=0 A’C’: gx1 + (-ag - a - g)x2 + ax3 = 0

так как АСÇА’С’ = Q

+x2 = 0

gx1 + (-ag - a - g)x2 + ax3 = 0, то Q(+a, 0, g)

BС: х1 х2 х3 B’C’: х1 х2 х3

0 1 0 =0 1 b+1 1 =0

0 0 1 1 1 g+1

BC: x1 = 0 B’C’: (b + bg +g)x1 - gx2 - bx3 = 0

так как R= BCÇB’C’

x1 = 0

(b + bg +g)x1 - gx2 - bx3 = 0, то () R(0, -b, -g).

С помощью условия коллинеарности трех () убедимся, что () P,Q,R лежат на одной прямой.

Имеем a -b 0 a -b 0

a 0 g = a -b 0 =0

0 -b -g 0 -b -g

Условие коллинеарности выполнено, следовательно, P,Q,R Î одной прямой.

Теорема доказана.

Глава 3. Аксиоматическое построение проективной плоскости.

3.1. Аксиоматика аффинной плоскости.

Начнем с некоторых наиболее простых фактов обычной плоской геометрии, которые мы применим в качестве аксиом при синтетическом построении теории.

Определение: Аффинной плоскостью называют множество элементов, именуемых точками и систему его подмножеств, именуемых прямыми, причем должны выполнятся три формулируемые ниже аксиомы А1-А3.

А1: Для " двух различных точек Р и Q $ единственная прямая, проходящая через них.

Две прямые называются параллельными, если они совпадают или не имеют общих точек.

А2: Для " заданной прямой l и точки Р $ одна и только одна проходящая через Р прямая m: m || l

А3: $ три неколлинеарные точки (Точки Р1,Р2,…Рn называются коллинеарными, если $ прямая l, что все эти точки ей принадлежат).

Пример: Евклидова плоскость Е2 удовлетворяет аксиомам А1-А3, то есть является аффинной плоскостью.

Пример: Аффинная плоскость имеет, по крайней мере, четыре различных точки; плоскость состоящая ровно из четырех () существует.

Действительно в силу А3 на плоскости есть три неколлинеарные точки; обозначим их через P,Q,R. Согласно А2, $ прямая l , проходящая через Р и параллельной прямой QR, соединяющей Q и R (эта прямая $ по А1). Точно так же доказывается $ прямой

m || PQ, проходящей через R.

Покажем теперь, что l || m.

же S¹R. Таким образом, четвертая () S необходимо должна существовать и наше первое утверждение доказано.

Теперь рассмотрим прямые PR и QS. Они могут пересекаться, но они могут и не пересекаться - это не противоречит аксиомам.

В этом случае мы получаем аффинную плоскость, содержащую ровно четыре () P,Q,R,S и шесть прямых PQ,РR,PS,QR,QS,RS.

Аксиомы А1-А3 здесь выполняются, таким образом, мы получим аффинную плоскость , содержащую наименьшее возможное число (), а именно, четыре.

3.2. Аксиоматика проективной плоскости.

Определение: Проективной плоскостью S называют множество, элементами которого именуются точками, и набор его подмножеств, именуемых прямыми, если при этом выполняются следующие четыре аксиомы.

П1.Через две различные точки P и Q плоскости S можно провести единственную прямую.

П2. " две прямые пересекаются по меньшей мере в одной точки.

П3. $ три неколлинеарные точки.

П4. Прямая содержит, по меньшей мере, три точки.

3.3. Модели проективной плоскости.

1)Рассмотренная ранее расширенная евклидовая плоскость есть модель проективной плоскости.

Доказательство: Проверим выполнение четырех аксиом П1-П4.

П1. Пусть P и Q Î

1. Если Р и Q - собственные (), то через них можно провести только одну прямую.

2. Если Р - собственная точка p, а Q- несобственная точка, то по аксиоме А2 $ прямая m, такая, что РÎm и m || l, так , что Q Î пополнению прямой m до прямой из p. Прямая m -единственная прямая p, проходящая через Р и Q.

3. Если Р и Q несобственные (), то через них проходит единственная несобственная прямая.

П2. Пусть заданы прямые l и m.

1.Если l и m - несобственные прямые и l || m, то они пересекаются в некоторой точке. Если l || m, то они пересекаются в несобственной точке Р¥.

2.Если l - собственная прямая, а m - несобственная прямая, то они пересекаются в несобственной точке Р¥.

П3. Непосредственно следует из А3. Необходимо только проверить, что если Р и Q и R неколлинеарны в А, то они не будут коллинеарны в p. Действительно, в p $ только одна (несобсвтенная) прямая, не принадлежащая А, но () Р,Q,R ей не принадлежат.

П4. Каждая прямая плоскости А содержит хотя бы две (). Но в p каждая прямая содержит еще и несобственную точку, поэтому она содержит не менее трех точек.

2) Пополняя аффинную плоскость А из четырех (), мы получим проективную плоскость S1 из семи точек.

Докажем это: Проверим выполнение четырех аксиом П1-П4.

Определим () пересечения прямых АВÇCD=N¥, BCÇAD=M¥, АCÇBC=P¥ N¥, P¥, M¥ Î одной несобственной прямой.

П1. Через две различные () плоскости можно провести единственную прямую.

Если А,В - собственные (), то через них можно провести только одну прямую из А. () А,В Î несобственной прямой, поэтому и в S1 через них можно провести единственную прямую.

Рассмотрим А- собственная () и N¥- несобственная (). Через эти точки проходит единственная прямая, так как () N¥ определена как пересечение прямых АВ и CDÞN¥ÎАВ.

Пусть имеем не собственные точки, через них проходит несобственная прямая S1 и она единственная.

П2. " две прямые пересекаются по меньшей мере в одной точке.

Справедливость аксиомы П2 следует из определения S1.

П3. $ три неколлинеарные точки.

Непосредственно следует из построения аффинной плоскости А. А мы дополнили точками N¥, P¥, M¥ (несобственными, которые принадлежат одной несобственной прямой). И поэтому точки не коллинеарные в А будут неколлинеарные в S1.

П4. Каждая прямая плоскости А содержит хотя бы две точки. В S1 каждая прямая содержит несобственную точку. Следовательно прямая в S1 содержит не менее трех точек.

Все аксиомы проективной плоскости выполняются, следовательно, S1 - проективная плоскость.

3) Связка прямых евклидова трехмерного пространства - модель проективной плоскости, построенной на аксиомах П1-П4.

4) Действительная проективная плоскость (множество упорядоченных троек действительных чисел, одновременно не равных нулю), рассмотренная ранее, удовлетворяет аксиомам П1-П4.

3.4. Теорема Дезарга.

Одним из важных результатов проективной геометрии является теорема Дезарга, которая утверждает следующее:

П5 (теорема Дезарга)

Если прямые проходящие через соответственные вершины двух трехвершинников пересекаются в одной (), то () пересечения соответственных сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.

P=ABÇA’B’ AA’ÇBB’ÇCC’=0

Q=ACÇA’C’

R=BCÇB’C’

P,Q,R лежат на одной прямой.

В рамках теории, которую мы строим, не совсем правильно называть это утверждение «теоремой», потому что нельзя доказать, исходя только из аксиом П1-П4. Примем это утверждение за аксиому П5. Хотя при первом и втором способе построения проективной плоскости это утверждение выступает как теорема.

Покажем, что П5 не есть следствие П1-П4, а именно, построим геометрию, удовлетворяющую аксиомам П1-П4, но не удовлетворяющую П5.

Определение: Конфигурацией называют множество элементов, именуемых точками, и набор его подмножеств, именуемых прямыми, если при этом выполняется аксиома.

К1. Две различные () принадлежат не более чем одной прямой.

Отсюда следует, что две различные прямые имеют не более одной общей точки

Примеры: Любая аффинная и " проективная плоскость являются конфигурациями. Набор 10 точек и 10 прямых теоремы Дезарга - тоже конфигурация.

Пусть p0- некоторая конфигурация. Мы определим свободную проективную плоскость П, порожденную p0.

Пусть p1- новая конфигурация, определенная следующим образом. Точками p1 являются точки p0. Прямыми p1 являются все прямые p0; кроме того, каждая пара точек Р1, Р2Î p0 не принадлежащая прямой из p0, задает новую прямую

í Р1, Р2ý из p1. Тогда p1 обладает следующим свойством;

а) " две различные ()p1 принадлежат одной прямой. Построим p2, исходя из p1, следующим образом. Точками p2 служат все точки p1; кроме того, каждая пара непересекающихся прямых l1,l2 задает новую точку l1Çl2. Прямыми p2 служат прямые p1, пополненные новыми точками; например, () l1Çl2 Î дополненным прямым l1 и l2. Тогда p2 обладает следующим свойством.

б) " две различные прямые имеют общую точку; продолжим это построение. Для четных n мы построим pn+1 из pn, добавляя к прямым pn новые прямые; для нечетных n мы построим pn+1 из pn, добавляя к () pn новые точки.

Пусть теперь П= Èpn

Элементы конфигураций pn мы назовем точками П; далее, прямой П мы назовем подмножество LÍП, такое, что LÇpn есть прямая из pn для всех достаточно больших n.

Предложение 1: Если p0 содержит по меньшей мере четыре точки, никакие три из которых не принадлежат одной прямой, то П - проективная плоскость.

Доказательство: pn удовлетворяет б) для четных n и удовлетворяет а) для нечетных n Þ на П выполняются оба свойства а) и б), то есть П удовлетворяет П1 и П2. Если P,Q,R неколлинеарны на p0, значит, П3, тоже выполняется.

Покажем, что в П каждая прямая содержит хотя бы три точки.

Каждая прямая из П определяется двумя точками.

По П2: " две прямые имеют общую ()

Пусть l: íP1,P2ý, m: íP3,Р4ý; по П2: lÇm=P5ÞP5Îl, P5Îm

Получим, каждая прямая содержит хотя бы три точки.

Все аксиомы проективной плоскости выполняются Þ П- проективная плоскость.

Определение: Ограниченной конфигурацией называется конфигурация, у которой каждая () принадлежит не менее чем трем прямым, а каждая прямая содержит не менее трех различных точек.

Пример: Конфигурация теоремы Дезарга ограничена.

Предложение 2: " конечная ограниченная конфигурация из П содержится в p0.

Доказательство: Уровнем () РÎП мы назовем наименьшее n³0,такое, что РÎpn. Уровнем прямой LÍП мы назовем наименьшее n³0, такое, что LÇpn - прямая.

Пусть S - ограниченная конечная конфигурация из П, и пусть n- максимальный из уровней всех точек и всех прямых из S.

Предположим, что n - уровень какой-то прямой LÍS (Если максимальный уровень достигается для точки, то доказательство аналогично).

Тогда lÇpn - прямая, а lÇpn-1 не является прямой. Если n=0, то все доказано, SÍp0. Предположим, что n>0. Тогда l возникла как прямая, соединяющая две () из pn-1, не принадлежащие в pn-1 одной прямой. Но в S уровень всех точек £ n, а значит, они принадлежат pn, то есть l содержит не более двух таких точек. Полученное противоречие и доказывает наше предложение.

Пример: Недезаргова проективная плоскость.

Пусть p0 состоит из четырех точек и не содержит ни одной прямой, П- свободная проективная плоскость порожденная p0.

В качестве следствия из предыдущего предложения получаем, что П бесконечно; следовательно," прямая содержит бесконечно много точек. Значит можно выбрать четыре () О,А,В,С, " три из которых неколлинеарны, и затем А’на ОА, B' на ОВ, С’ на ОС так, что они образуют семь различных точек, причем A’,B’,C’ неколлинеарны. Тогда построим Р=АВÇА’В’, Q=ACÇA’C’, R=BCÇB’C’. Все 10 точек различны. Если теорема Дезарга была бы не верна на П, то P,Q,R принадлежали бы одной прямой, Þ 10 () и 10 прямых образовали бы ограниченную конфигурацию; но тогда она должна была бы содержаться в p0, а p0 содержит всего лишь четыре точки.

Построили геометрию, удовлетворяющую аксиомам П1-П4 и не удовлетворяющую П5, тем самым показали, что П5 не является следствием П1-П4.

3.5. Принцип двойственности

Займемся изучением свойств проективной плоскости, вытекающих из аксиом П1-П4.

Предложение: Пусть П - проективная плоскость, П*- множество прямых плоскости П; назовем еще пучок прямых плоскости П прямой из П*.(здесь П*- это множество элементов из П, называемых прямыми; пучком прямых называется совокупность всех прямых, проходящих через некоторую фиксированную точку- центр пучка). Тогда П* тоже является проективной плоскостью (назовем ее двойственной к П проективной плоскостью); при этом, если П удовлетворяет аксиоме П5, то и П* ей удовлетворяет.

Следствие (принцип двойственности).

Пусть S- некоторое утверждение, касающееся проективной плоскости П, которое может быть выведено из аксиом П1-П4 (соответственно П1-П5). Тогда "двойственное" утверждение S*, полученное из S заменой слов.

точка Û прямая

лежит на Û проходит через

коллинеарные Û сходящиеся

точка пересечения двух прямых Û прямая, соединяющая две точки

и т.д., тоже может быть выведено из аксиом П1-П4 (соответственно П1-П5).

Определение: Полным четырехугольником называется конфигурация, состоящая из семи точек и шести прямых, полученных следующим образом: рассмотрим четыре точки А,В,С,D (такие, что любые три из них неколлинеарны), шесть соединяющих их прямых и три новые точки пересечения этих прямых.

("противоположных сторон" полного четырехугольника) Р=АВÇСD, Q=АСÇВD, R=АDÇВС.

Точки Р, Q и R называются диагональными точками полного четырехугольника. Диагональные точки P,Q и R могут оказаться коллинеарными. Однако на действительной проективной плоскости этого быть не может. Мы убедимся в этом позже, пока будем рассматривать случай коллинеарности диагональных точек как исключительное явление и поэтому введем следующую аксиому П7 (аксиома Фано).

П7: Диагональные точки полного четырехугольника неколлинеарны.

Предложение: Действительная проективная плоскость удовлетворяет аксиоме П7.

Определение: Полным четырехсторонником называется конфигурация, состоящая из семи прямых и шести точек, полученных следующим образом: рассмотрим четыре прямые a, b, c, d (такие, что никакие три из них не являются сходящимися), шесть точек их пересечения и три новые прямые p,q,r.

Соединяющие пары противоположных вершин полного четырехсторонника прямые p, q, r называются диагоналями полного четырехсторонника.

Предложение: Из того, что П7 выполняется на П Þ, что П7* выполняется на П*; поэтому принцип двойственности применим также и к следствиям из П7.

Докажем П7*: П7* в терминах П означает: диагонали полного четырехсторонника не являются сходящимися (не принадлежат одному пучку). Пусть a, b, c, d- "стороны" полного четырехсторонника; предположим, что диагонали p, g, r- сходящиеся. Но в этом случае диагональные точки полного четырехугольника АВСD, где А=bÇd, B=cÇd, C=aÇb, D=aÇc коллинеарны, что противоречит П7. Значит утверждение П7* справедливо.

Заметим, что определение четырехсторонника двойственно определению полного четырехугольника.

3.6. Гармонические четверки точек.

Определение: Упорядоченная четверка различных коллинеарных точек А,В,С,D называется гармонической четверкой, если $ полный четырехугольник XYZW, такой, что А и В являются его диагональными точками (например А=XYÇZW, B=XZÇYW), а С и D принадлежат двум другим сторонам четырехугольника (например,CÎXW, DÎYZ).

Для гармонических точек А,В,С,D мы введем обозначение H (АВ, СD). Из того, что точки А,В,С,D образующие гармоническую четверку, различны, следует неколлинеарность диагональных точек определяющего эту четверку четырехугольника XYZW. Вообще понятие гармонической четверки точек в значительной мере теряет смысл, если аксиома Фано не выполняется; поэтому, говоря о гармонической четверке точек, мы всегда будем предполагать выполняемость П7.

Предложение 1: Н(АВ,СD)óН(BA,CD)óH(AB,DC)óH(BA,DC)

Доказательство: Это утверждение немедленно следует из определения гармонической четверки, так как А и В, С и D играют одинаковую роль в построении полного четырехугольника. Действительно, можно переставить буквы X,Y,Z,W,так, чтобы привести обозначение в соответствие с определением Н(ВА,СD) ч.т.д.

Предложение 2: Пусть А,В,С- три различные точки прямой. Тогда (если выполняется П7) $ точка D, такая, что Н(АВ,СD). Более того (если выполняется П5), можно утверждать, что подобная точка D единственная (D называется четвертой гармонической точкой для А,В,С или точкой, гармонически сопряженной к точке С по отношению к точкам А и В).

Предложение 3: Пусть А,В,С,D- гармоническая четверка точек. Тогда (если выполняется П5) C,D,A,B- тоже гармоническая четверка.

Объединяя это предложение с предложением 1, получаем:

H(AB,CD)ÛH(BA,CD)ÛH(AB,DC)ÛH(BA,DC)

H(CD,AB)ÛH(DC,AB)ÛH(CD,BA)ÛH(DC,BA)

Доказательство: Пусть Н(АВ,CD) и пусть XYZW- полный четырехугольник, с которым связано определение этой гармонической четверки.

Проведем DX и CZ и обозначим точку пересечения через U. Пусть, далее XWÇYZ=T. Тогда XTUZ- полный четырехугольник, а С и D- две его диагональные точки. Точка ВÎXZ, поэтому достаточно доказать, что TU проходит через А, так как в этом случае будем иметь H(CD,AB). Рассмотрим 2 треугольника XUZ и YTW. Пары их соответственных сторон пересекаются в точках D,B и С, но эти точки коллинеарны Þ по П5*,XY, TU, WZ соединяющие соответственные вершины принадлежат одному пучку.

Пример: На действительной евклидовой плоскости четыре точки А,В,С,D образуют гармоническую четверку тогда и только тогда, когда

(АС/ВС)*(ВD/AD)=-1

3.7. Перспективные и проективные отображения.

Определение: Проективное отображение- это отображение прямой l на l' (быть может, совпадающую с l), которое, может быть представлено как композиция перспективных отображений.

Обозначение: l – l’ или АВС…-А’В’С’…

Последняя запись означает, что проективное отображение переводит точки А,В,С,….соответственно в A',B',C',….

Проективное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками прямых l и l' и является отображением на l'.

Определение: Перспективным отображением прямой l на прямую l' (обе прямые рассматриваются как множество точек) с центром О (точка О не принадлежит ни l, ни l') называется отображение А®A', где для произвольной точки АÎl точка А' находится как ОАÇl'.

Обозначение l = l’ ("l переводится в l' перспективным отображением с центром в ()О". Отметим, что перспективное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками

l и l' и является отображением

l на l' и что отображение, обратное

перспективному отображению,

также является перспективным отображением. Если ()Х=lÇl', то Х (как точка l) переходит в Х (как точку l'). Композиция двух или более перспективных отображений уже не обязательно будет перспективным отображением: так мы имеем l = l’ = l’’ и ABCY = A’B’C’Y’ = A’’B’’C’’Y’’ если бы полученное в результате композиции отображений l = l и l = l отображение l на l'’ было перспективным, то в точку lÇl’'=Y оно должно было бы переводить в себя. Однако у переходит в точку Y'', которая не совпадает с Y. Поэтому мы ввели проективное отображение.

Предложение 1: Пусть, задана прямая l. Тогда множество проективных преобразований (взаимно однозначное отображение множества М на себя называется преобразованием множества М). l образует группу. Это означает, что 1)композиция двух проективных отображений снова есть проективное отображение. 2)отображение, обратное проективному отображению, снова есть проективное отображение.

Предложение 2: Пусть задана прямая l и пусть А,В,С и A',B',C'- две тройки ее различных точек. Тогда $ проективное преобразование l, переводящее А,В,С в A',B',C'.

Доказательство: Пусть l'- прямая отличная от l и не проходящая через А и А’, а О произвольная точка не принадлежащая ни l, ни l'. Спроектируем из О точки A',B',C' прямой l в точки A’’,B’’,C’’, прямой l’: A'B'C' = A''B''C'', где АÏl’ и А’’Ïl.

Ясно, что нам достаточно построить проективное отображение l на l’, переводящее A,B,C, в A’’,B’’,C’’.

Заменим в обозначениях двойные штрихи одинарными и забудем про исходные A’,B’,C’. Таким образом, наша задача свелась к следующей. Заданы две различные прямые l и l’. Пусть А,В,С- три различные точки l, а A’,B’,C’-три различные точки l’, предположим что AÏl’ и A’Ïl. Требуется построить проективное отображение l на l’, переводящее А,В,С соответственно в A’,B’,C’. Проведем прямые AA’,AB’,AC’,A’B,A’C и положим AB’ÇA’B=B’’, AC’ÇA’C=C’’. Обозначим прямую B’’C’’ через l’’; пусть она пересекает AA’ в A’’. Тогда l = l’’ = l’ переводит ABC = A’’B’’C’’ = A’B’C’.

Таким образом, мы построили искомое проективное отображение l на l’ как композиция двух перспективных отображений.

Предложение 3: Проективное отображение переводит гармоническую четверку точек в гармоническую четверку.

3.8. Аксиома Паппа и основная теорема о проективных преобразованиях прямой.

Докажем «основную теорему», которая утверждает, что существует единственное проективное преобразование прямой, переводящее три заданные точки в любые другие три заданные точки. Эта теорема не следует из аксиом П1-П5 и П7; поэтому нам предстоит дополнительно ввести аксиому Паппа П6.

Основная теорема (теорема о проективных преобразованиях прямой). Пусть задана прямая l и А,В,С;A’,B’,C’- две тройки различных точек этой прямой. Тогда существует одно и только одно проективное преобразование l, такое, что АВС - A’B’C’.

П6 (аксиома Паппа). Пусть l и l’-две различные прямые, А,В,С- три различные точки прямой l, отличные от Х=lÇl’и А’,В’,С’- три различные точки прямой l’, отличные от Х. Тогда точки P=AB’ÇA’B, Q=AC’ÇA’C, R=BC’ÇB’C коллинеарны.

Предложение 1: Аксиома П6 влечет за собой двойственную аксиому Паппа П6*, то есть принцип двойственности применим и ко всем выводам из П6.

Предложение 2: На действительной проективной плоскости справедлива аксиома П6.

Лемма 1: Пусть l = m = n, где l¹n, предположим еще, что или:

а)прямые l, m, n принадлежат одному пучку, или

б)точки O,P и lÇn коллинеарны.

Тогда полученное проективное отображение l - n является перспективным (то есть $ такая точка Q, что перспективное отображение l = n совпадает с нашими проективными отображениями l - n).

Лемма 2: Пусть l = m = n,

Где l¹n; предположим теперь, что не имеет места ни а) ни б) из условий леммы 1. Тогда $ прямая m’ и точки O’În и P’Îl, такие, что l = m = n есть рассматриваемое проективное отображение l на n.

Доказательство: Пусть l, m, n, O,P заданы; пусть далее A,A’- две точки на l и AA’ = BB’ = CC’. Точку пересечения ОР и n обозначим через O’. Так как мы предположили, что точки О,Р, lÇn=X неколлинеарны, то O’¹X, то есть O’Ïl. Проведем O’A и O’A’; пусть они пересекаются РС и РС’ соответственно в D и D’.

Соответствующие стороны треугольников АBD и A’B’D’ пересекаются в коллинеарных точках O,P,O’; значит, по П5*, прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников принадлежат одному пучку. Таким образом, прямая m1, содержащая D и D’, проходит через точку Y=lÇm.

Следовательно, прямая m1 определена точками D и Y, и если точка A’ меняется, то D’ меняется, оставаясь на прямой m1. Поэтому исходное проективное отображение совпадает с отображением l = m1 = n.

Повторяя то же самое рассуждение еще раз, мы можем переместить Р в положение P’=OPÇl и найти новую прямую m’, такую, что l = m’= n дает исходное проективное отображение.

Лемма 3: Пусть l и l’- две различные прямые. Тогда любое проективное отображение l - l’ может быть получено как композиция двух перспективных отображений.

Теорема 1: Основная теорема вытекает из аксиом П1-П6.

Доказательство: Для заданной прямой l и двух троек различных точек А,В,С и A’,B’,C’ этой прямой мы должны найти проективное преобразование, переводящее одну тройку в другую, и доказать, что оно единственно. Выбираем прямую l’, не проходящую через заданные точки, и спроектируем A’,B’,C’ на l’. Обозначим образы этих точек теми же буквами A’,B’,C’. Таким образом мы свели теорему к следующей: имеем А,В,С на l A’,B’,C’ на l’ (все точки отличны от lÇl’) требуется показать, что $ единственное проективное отображение, такое, что ABC - A’B’C’. Одно такое проективное отображение мы уже получили в предложении 2 (п.3.7); следовательно, достаточно показать, что любое другое проективное отображение совпадает с этим.

Случай 1: Предположим, что второе проективное отображение есть просто перспективное отображение. Пусть l - l’ переводит ABC = A’B’C’. Рассмотрим P=AB’ÇA’B ; пусть прямая l’’ соединяет Р с Q. Мы утверждаем, что l’’ проходит через точку Х=lÇl’. Действительно, применим П5 к треугольникам AB’C’ и A’BC, которые перспективны с центром О. Их стороны пересекаются в точках Р,Q,Х соответственно. Следовательно, l’’ определяется точками Р и Х.

Но так как С может меняться, перспективное отображение l = l’ совпадает с проективным отображением l = l’’ = l’

Случай 2: предположим, что второе проективное отображение не является перспективным. Тогда в силу леммы 3 оно может быть представлено в виде композиции двух перспективных отображений, а в силу леммы 2 можно предположить, что центры этих отображений принадлежат соответственно l’ и l. Таким образом, мы приходим к конфигурации: l = l’’ = l’ и ABC = A’’B’’C’’ = A’B’C’

Применяя П6 к треугольникам АBR и A’B’R’, мы получаем, что Р=АB’ÇA’BÎl’’. Аналогично, применяя П6 к ACR и A’C’R’, мы получаем, что Q=AC’ÇA’CÎl’’. Таким образом, l’’ есть прямая, которая была использована в предложении 2 (п.3.7) для построения второго проективного отображения

l = l’’ = l’

Пусть теперь DÎl – произвольная точка; определим D’’=R’DÇl’’и D’=RD’’Çl’.

Из П6, применимой к треугольникам ADR и A’D’R’, следует, что AD’ÇA'D, A’’,D’’ коллинеарны, то есть AD’ÇA’DÎl’’. Но это означает, что также и проективное отображение предложения 2 переводит D в D’. Следовательно, эти проективные отображений совпадают. ч.т.д.

Теорема 2: П5 следует из П6.

Доказательство: Пусть, О,A,B,C,A',B',C' удовлетворяют предложениям теоремы Дезарга (П5), построим P,Q,R. Для доказательства их коллинеарности нам придется трижды применить П6.

Шаг 1: Пусть A’C’ пересекает АВ в точке S. Затем применим П6 к прямым.

О С C’

B S A и заключим отсюда, что точки T=OSÇBC, U=OAÇBC’, Q коллинеарны.

Шаг 2: Применим теперь П6 к тройкам O B B’

C’ A’ S

и заключим отсюда, что точки U,V=OSÇB’C’, P коллинеарны.

Шаг 3: Применим, наконец, П6 к тройкам B C’ U

V T S

и заключим отсюда, что точки R, P=BSÇUV (шаг2),Q=C’SÇTU (шаг1) коллинеарны. ч.т.д.

Следствие: (из основной теоремы). Проективное отображение l - l’, где l¹l’, есть перспективное отображение Û точка пересечения X=lÇl’ переходит в себя.

Глава 4. Применение основных теорем к решению задач

на евклидовой плоскости.

4.1. Использование теоремы Дезарга на евклидовой плоскости.

В аксиоматическом построении проективной плоскости мы рассматриваем теорему Дезарга, как аксиому. Покажем, что она справедлива на евклидовой плоскости. Если две одинаковые конфигурации, составленные из точек и прямых, могут быть приведены в соответствие так, что пары соответствующих точек соединяются прямыми, пересекающимися в одной точке, то мы говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой точке. Если соответствие таково, что пара соответствующих прямых пересекаются в точках лежащих на одной прямой, то говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой прямой.

Сформулируем теорему Дезарга, покажем использование на евклидовой плоскости.

При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая.

Теорема Менелая гласит:

Если точки X,Y,Z лежащие на сторонах ВС,СА,АВ (соответственно продолженных) треугольника АВС коллинеарны, то (BX/CX)*(CY/AY)*(AZ/BZ)=1

Обратно, если это уравнение выполняется для точек X,Y,Z, лежащих на трех сторонах треугольника, то эти три точки коллинеарны.

Теорема Дезарга.

Если два треугольника перспективны относительно точки и если их пары соответствующих сторон пересекаются, то эти три () пересечения коллинеарны.

Доказательство: Мы имеем теорему лишь о принадлежности () прямым и пересечении прямых. Треугольники АВС и A’B’C’ перспективны относительно точки О, а пары их соответствующих сторон пересекаются в () R,Q,P. Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек.

íQ,C’,A’ý, íR,B’,C’ý, íP,A’,B’ý

Лежащих на сторонах трех треугольников ОАС, ОСВ, ОВА, получим при этом (AQ/CQ)*(CC’/OC’)*(OA’/AA’)=1 (CR/BR)*(BB’/OB’)*(OC’/CC’)=1

(BP/AP)*(AA’/OA’)*(OB’/BB’)=1

Перемножим эти три выражения и проделав умеренное число сокращений, получим (AQ/CQ)*(CR/BR)*(BP/AP)=1Þ что () Q,R,P коллинеарны, теорема доказана.

4.2. Использование предложения Паппа на евклидовой плоскости.

Покажем использование предложения на евклидовой плоскости.

Теорема Паппа: Если А,С,В - три точки на одной прямой, а A’,C’,B’ - на другой, и если три прямые AB’,CA’,BC’ пересекают прямые A’B,C’A,B’C соответственно, то три точки пересечения P,Q,R коллинеарны.

рис. 1

Доказательство: Эта теорема как и теорема Дезарга использует принадлежность точек прямым или прохождение прямых через точки, без измерения длин или углов и даже без какой-либо ссылки на порядок; в каждом множестве из трех коллинеарных точек безразлично, какая из них лежит между двумя другими. (рис. 1, рис. 2)

рис. 2

При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая. Предположим, что три прямые AB’,CA’,BC’ образуют треугольник UVW.(рис. 3)

рис. 3

Применяя теорему Менелая к пяти тройкам точек

íP,A’,Bý, íA,Q,C’ý, íB’,C,Rý, íA,C,Вý, íB’,A’,C’ý,

лежащих на сторонах этого треугольника, мы получаем.

(VP/WP)*(WA’/UA’)*(UB/VB)=1 (VA/WA)*(WC/UC)*(UB/VB)=1

(VB’/WB’)*(WC/UC)*(UR/VR)=1 VB'/WB')*(WA'/UA')*(UC'/VC')=1

(VA/WA)*(WQ/UQ)*(UC’/VC’)=1

Разделив произведение первых трех соотношений на произведение последних двух, производя сокращение, мы получаем:

(VP/WP)*(WQ/UQ)*(UR/VR)=1

то есть P,Q,R коллинеарны, теорема доказана.

Приложение

№1. Если два треугольника перспективны относительно точки и две пары соответствующих сторон параллельны, то и две оставшиеся стороны параллельны.

Дано: треугольник PRQ и треугольник P’R’Q’ перспективны относительно точки О. QR||Q’R’, PR||P’R’

Доказать что: QP||Q’P’

Доказательство:

Так как QR||Q’R’ и RP||R’P’, то

(OQ/OQ’)=(OR/OR’)=(OP/OP’) Þ (OQ/OQ’)=(OP/OP’) Þ QP||Q’P’

№2.Назовите два треугольника перспективных относительно:

а) точки Р

б) точки Р’

в) точки D

Ответы: а) треугольники ROQ и EP’F б) треугольники EFP и R’Q’O’ в) треугольники R’RE и Q’QF.

№3. Если А,С,Е - три точки на одной прямой, B,D,F- на другой, и если прямые АВ и CD параллельны прямым DE и FA соответственно, то прямые EF||BC.

1) АС||BD. Рассмотрим параллелограмм ABDE и AFDC Þ BD=AE и DF=AC. Произведем вычитание BD-DF=BF; AE-AC=CE Þ BF=CE Þ BCEF - параллелограмм Þ EF||BC.

2) ACÇBD=0, так как AB||ED и CD||FA, то (|OA|/|OB|)=(|OE|/|OD|) и (|OC|/|OD|)=(|OA|/|OF|) получаем |OB|*|OE|=|OA|*|OD|=|OC|*|OF| Þ

(|OE|/|OF|)=(|OC|/|OB|) Þ EF||CB.

№4. Пусть A,B,D,E,N,M - шесть точек, обладающих тем свойством, что прямые AE,DM,NB пересекаются в одной точке и прямые АМ,DB,NE пересекаются в одной точке. Что можно сказать о прямых AB,DE,NM?

Решение. Пусть AEÇDMÇNB=C, AMÇDBÇNE=F обозначим () пересечения прямых АВ и DE через L. По теореме Паппа ()LÎMN Þ ABÇDEÇMN=L. Прямые AB,DE,NM пересекаются в одной точке.

№5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

AA’ÇBB’ÇCC’=S ?

Решение: Рассмотрим треугольник АВС и треугольник А1В1С1- дезарговые треугольники, то есть треугольники удовлетворяют теореме Дезарга.

ABÇ А1В1=P¥

BCÇ В1С1=Q¥

ACÇ А1С1=R¥ лежат на одной несобственной прямой S¥

по обратной теореме Дезарга прямые, проходящие через соответствующие вершины, пересекаются в одной точке S.

AA’ÇBB’ÇCC’=S.

№6. В евклидовой плоскости в четырехугольник вписана трапеция, параллельные стороны которой || его диагонали. Доказать, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали.

Решение: треугольники NCK и AMP дезарговые треугольники по прямой теореме Дезарга, соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в ()-ах, лежащих на одной прямой Þ ()F,D,B, то есть () пересечения непараллельных сторон трапеции принадлежат диагонали BD.

№7. В евклидовой плоскости противоположные вершины одного параллелограмма расположены соответственно на противоположных сторонах второго. Доказать, что оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.

Требуется доказать, что LNÇMKÇBDÇAC=S

Решение.

ACÇLNÇBD - треугольники ALD и СNB - дезарговые треугольники удовлетворяют обратной теореме Дезарга Þ ACÇLNÇBD=S.

Треугольники DKC и BMA - дезарговые треугольники по обратной теореме Дезарга Þ MKÇBDÇAC=S

Получили ACÇBDÇMKÇLN=S.

Оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.

№8. В евклидовой плоскости дан треугольник и три параллелограмма, для каждого из которых одна сторона треугольника служит диагональю, а две другие - смежными сторонами. Доказать, что вторые диагонали этих параллелограммов пересекаются в одной точке.

Требуется доказать, что ANÇBPÇCM=S.

Решение: Треугольники ABC и NPM - дезарговые треугольники.

ABÇNP=Q¥

BCÇMP=R¥

ACÇNM=K¥ лежат на одной несобственной прямой P¥

по теореме обратной теореме Дезарга NAÇBPÇCM=S.

№9. В треугольнике АВС из его вершин проведены прямые, пересекающиеся в одной () S; A’=ASÇBC, B’=BSÇAC, C’=CSÇAB. Доказать, что точки BCÇB’C’, ACÇA’C’, ABÇA’B’ лежат на одной прямой.

Решение.

Обозначим () пересечения сторон BCÇB’C’, ACÇA’C’, ABÇA’B’ соответственно P,R,Q. Рассмотрим треугольники АВС и А’В’С’ прямые проходящие через вершины этих треугольников пересекаются в () SÞ () пересечения соответствующих сторон P,R,Q лежат на одной прямой.

№10. В конфигурации Дезарга одну из точек выбрать за дезаргову точку. Найти в этой конфигурации вершины дезарговых треугольников и дезаргову прямую.

Точка А- дезаргова точка

Треугольники A’RP и SCB - дезарговы треугольники

A’®S SCÇA’R=C’

R®C SBÇA’P=B’

P®B CBÇRP=Q.

Точки C’,B’,QÎS - дезаргова прямая.

№11. Сформулировать в терминах евклидовой геометрии теорему Дезарга для случая:

1) ()S¥ - несобственная (), дезаргова прямая S - собственная.

Формулировка теоремы Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны, то точки пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой.

2) ()S собственная, прямая S¥ - несобственная.

Формулировка.

Если прямые, походящие через соответствующие вершины двух треугольников АВС и А’В’С’ пересекаются в одной точке и AB||A’B’, B’C||BC, то AC||A’C’.

3) ()S¥ - несобственная, прямая S¥ - несобственная.

Формулировка.

Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны и AB||A’B’, BC||B’C’, то AC||A’C’.

№12. Прямая p лежит в плоскости треугольника АВС; К=ВСÇp, L=ACÇp, M=ABÇp, R=BLÇCM, S=CMÇAK, T=AKÇBL.

Доказать, что прямые AR,BS и CT пересекаются в одной точке.

Требуется доказать, что ARÇBSÇCT=Q

Решение

Треугольники АВС и RST - дезарговы треугольники.

RSÇAB=M

TSÇBC=K () M,K,LÎз (по условию)

TRÇAC=L

Таким образом, по теореме обратной теореме Дезарга ARÇBSÇCT=Q.

№13. Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке S, которая лежит за пределами чертежа. Дана ()С не лежащая ни на одной из данных прямых. Построить прямую SC.

Построение.

Выбираем произвольно прямую s, () A,A’Îa и ()ВÎb.

1)ABÇs=P, 2)PA’Çb=B’, 3)ACÇs=R,

4)BCÇs=Q, 5)A’R, B’Q, 6)B’QÇA’R=C’,

7)CC’ искомая прямая.

Доказательство:

Треугольники АВС и А’В’С’ - дезарговы треугольники, прямая s - дезаргова прямая.

ABÇA’B’=P

ACÇA’C’=R Îs (по построению)

BCÇB’C’=Q

По обратной теореме Дезарга AA’ÇCC’ÇBB’=S.

№14. Даны две точки P и Q и не проходящая через них прямая c. построить () PQÇC, не проводя PQ.

Анализ: Произвольно выбираем прямую s, ()Q1ÎC,Q

QQ₁Q₂ - трехвершинник, построить РР1Р2 – трехвершинник,P₁ÎC, PQÇP₁Q₁ÇP₂Q₂=S

Обратная теорема Дезарга.

Построение:

1) QQ₁Çs=X

2) PXÇC=P₁

3) Q₁Q₂Çs=Y

4) QQ₂Çs=Z

5) YP₁

6) ZPÇYP₁=P₂

7) P₂Q₂Çc=S ()S - искомая точка.

Доказательство:

Треугольники QQ₁Q₂ и PP₁P₂ - дезарговы.

QQ₂ÇPP₂=Z

QQ₁ÇPP₁=X ÎS (по построению).

Q₁Q₂ÇP₁P₂=Y

По обратной теореме Дезарга. PQÇP₁Q₁ÇP₂Q₂=S Þ PQÇc=S искомая точка.

№15. На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые a||b и точка С, им не принадлежащая. Через () С провести прямую, параллельную а и b.

1) Анализ: Произвольно выбираем прямую s. ()А,А’Îа, ()ВÎb.

Здесь работает обратная теорема Дезарга для случая ()S_¥ - несобственная, прямая s - собственная.

Треугольники АВС и А’В’С’ - построить.

Q

Построение:

C

1)АВÇs=P

b

C’

2) A’PÇb=B’

c

B

3) ACÇs=R

A

4) BCÇs=Q

5) A’R, B’Q

A’

B’

6) A’RÇB’Q=C’

7) CC’ - искомая прямая.

3) Доказательство:

Треугольники АВС и А’В’С’- дезарговы

Формулировка обратной теоремы Дезарга.

Если прямые, содержащие соответственные стороны треугольников АВС и А’В’С’ пересекаются в точках лежащих на одной прямой и АА’||BB’, то СС’||AA’.

По этой теореме СС’- искомая прямая.

№18. Трапеция ABCD пересечена прямыми p и q, параллельными основанию АВ, pÇAD=M, pÇAC=P, qÇBD=N, qÇBC=Q. Доказать, что точка MNÇPQ лежит на прямой АВ.

Требуется доказать, что MNÇPQÇAB=K.

Решение:

Рассмотрим треугольники

МРА и NQB.

МРÇNQ=S_¥, так как p||q. (pÇq=S_¥)

PAÇBQ=C

AMÇBN=D

DC||p||q Þ DCÇpÇq=S_¥ Þ C,D,S_¥Î одной прямой по теореме обратной теореме Дезарга MNÇPQÇAB=K.

Тем самым доказали, что точка МNÇPQÎAB.

№17. В евклидовой плоскости даны параллелограмм АВСD, ()РÎCD и прямая l пересекающая стороны АВ и АD. Провести прямую || l.

1) Анализ: Треугольник ANM построен. Построить треугольник СРК. Задача решается с помощью прямой теоремы Дезарга.

2) Построение:

1) NP, AC

2) NPÇAC=S

3) MSÇBC=K

4) KP- искомая прямая.

3) Доказательство:

треугольники ANM и CPK - дезарговы, так как ANÇCP=R_¥ (AN||CP), CKÇAM=Q_¥ (CK||AM) то по теореме Дезарга KPÇNM=F_¥ Þ KP||NM.

Список литературы

1. Р. Хартсхорн «Основы проективной геометрии».-М:Мир,1970.

2. Ефимов «Высшая геометрия»-:Наука,1971.

3. Франгулов С.А. «Лекции по проективной геометрии»-Л:ЛГПИ,1975.

4. Вахмянина О.А., Измайлова Т.С. «Пособие по проективной геометрии»-Оренбург:ОГПИ,1994.

5. Коксетер С.М. «Новые встречи с геометрией»-М:Нуака,1978

6. Базылев «Геометрия»-М:Просвещение,1975

7. Потоцкий «Что изучает проективная геометрия »-М: Просвещение,1982

8. Певзнер «Проективная геометрия»-М:Просвещение,1980

9. Измайлова Т.С. Лекционный курс по проективной геометрии.