Введение

В нынешнее время экономика Украины переживает сложный период реформационных изменений: падает производство, растет безработица, имеет место инфляция. Для того, чтобы исправить ситуацию, которая сложилась в украинской экономике, необходимо построение реальных моделей, с помощью которых можно достаточно точно прогнозировать экономические процессы, в частности показатели экономического роста..

Экономический рост есть увеличение объема создаваемых полезностей а, следовательно, есть повышение жизненного уровня населения. Сам по себе экономический рост противоречив. Так, можно добиться увеличения производства и потребления, материальных благ за счет ухудшения их качества, за счет экономии на очистных сооружениях и ухудшения условий жизни, добиться временного роста производства можно и за счет хищнической эксплуатации ресурсов. Такой рост или неустойчив или вообще лишен смысла. Поэтому экономический рост имеет смысл тогда, когда он сочетается с социальной стабильностью. Такой рост предполагает достижение ряда сбалансированных целей: увеличения продолжительности жизни, снижения заболеваемости и травматизма; повышения уровня образования и культуры; более полного удовлетворения потребностей и рационализации потребления; социальной стабильности и уверенности в своем будущем; преодоления нищеты, достижения максимальной занятости; защиты окружающей среды и повышения экологической безопасности; снижения преступности.

Характер и динамика экономического развития страны – предмет самого пристального внимания экономистов и политиков. От того, какие процессы происходят в динамике и уровне развития, какие при этом происходят структурные изменения в национальной экономике, зависит очень многое в жизни страны и ее перспективах.

Современная национальная теория экономического роста не является монополией неоклассики или кейнсианства, марксизма или институционализма. Его целостный теоретический образ и соответст­вующие рекомендации для экономической политики могут быть получе­ны только в процессе основательного изучения национальной экономики в контексте глобальных процессов с привлечением потенциала мировой экономической мысли.

Категорический императив реформ — экономический рост, направ­ленный на преодоление тенденций деиндустриализации и экономичес­кой колонизации страны, становление эффективной экономики постин­дустриального типа. Теперь уже понятно, что только на пути экономи­ческого роста возможны достижения динамического макроэкономичес­кого равновесия и системной финансовой стабилизации; предотвращение опасности “долговой” экономики; преодоление дезинтеграции экономи­ки, прежде всего ее реального и денежно-финансового секторов. Но в той же мере, в какой национальной экономике не нужны любые рыночные реформы, ей вреден и любой рост, особенно рост ради роста. Поэтому темой данной курсовой работы является проблематика экономического роста и возможностей их регулирования. В данной работе мы попробовали отразить процессы, связанные с экономическим ростом в модели межотраслевого баланса, показали, что можно просчитать коофициенты этой модели.

ГЛАВА I.  ЭКОНОМИЧЕСКИЙ РОСТ И ЕГО ИЗМЕРЕНИЕ. ГОСУДАРСТВЕННОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА

1.1 Понятие экономического роста

Категория экономического роста является важнейшей характеристикой общественного производства при любых хозяйственных системах. Экономический рост- это количественное и качественное совершенствование общественного продукта за определенный период времени. Экономический рост означает, что на каждом данном отрезке времени в какой-то степени облегчается решение проблемы ограниченности ресурсов и становится возможным удовлетворение более широкого круга потребностей человека.

В самом общем виде экономический рост означает количественное и качественное изменение результатов производства и его факторов (их производительности). Свое выражение экономический рост находит в увеличении потенциального и реального валового национального продукта (ВНП), в возрастании экономической мощи нации, страны, региона. Это увеличение можно измерить двумя взаимосвязанными показателями: ростом за определенный период времени реального ВНП или ростом ВНП на душу населения. В связи с этим статистическим показателем, отражающим экономический рост, является годовой темп роста ВНП в процентах.

Проблемы экономического роста занимают в настоящее время центральное место в экономических дискуссиях и обсуждениях, ведущихся представителями разных наций, народов и их правительств. Растущий объем реального производства позволяет в какой-то степени разрешить проблему, с которой сталкивается любая хозяйственная система: ограниченностью ресурсов при безграничности человеческих потребностей[1].

В связи с трудностями измерения процесса экономического развития в макроэкономике чаще всего анализируют экономи­ческий рост, хотя это лишь один из критериев экономического развития.

Экономический рост есть составляющая экономического развития. Свое выраже­ние он находит в увеличении реального ВВП как в абсолютном объеме, так и на душу населения.

Быстрый или, наоборот, нулевой и даже отрицательный эко­номический рост не всегда говорит о быстром экономическом развитии, топтании на месте или экономической деградации. Несколько примеров:

Структурные изменения в экономике страны могут привести к такой ситуации, когда стагнация или сокращение выпуска одних видов продукции из-за падающего или неизменного спро­са на них сопровождается быстрым ростом других видов про­дукции. Так, в США в 80-х гг. не росло потребление стали, сельскохозяйственной продукции, легковых автомобилей, но одновременно увеличивался выпуск сложных изделий, напри­мер персональных компьютеров. Но и количественный рост выпуска компьютеров недостаточно отражал другие аспекты их производства: продажа персональных компьютеров в США за 1981—1988 гг. выросла по количеству с 1,1 до 9,5 млн. шт., по стоимости — с 3,1 до 27,7 млрд. долл., а доллар за это время обесценился на 25%. Таким образом, персональные компью­теры дешевели, хотя их технические характеристики и качество росли. При подсчете комплексного показателя экономического роста — валового национального продукта (ВНП) — вышеуказанные моменты привели к тому, что он не до конца отражал динамику экономического развития США за 80-е гг[2].

Тем не менее при всех недостатках экономический рост остается наиболее употребимым критерием экономического развития. Экономический рост может измеряться как в физи­ческом выражении (физический рост), так и в стоимостном (стоимостной рост). Первый способ более надежен (так как позволяет исключить воздействие инфляции), но не универса­лен (при расчете темпов экономического роста трудно вывести общий показатель для производства разных изделий). Второй способ употребляется чаще, однако, не всегда возможно до кон­ца “очистить” его от инфляции. Правда, в статистике ряда стран измеряют макроэкономический рост на базе роста про­изводства наиболее важных для экономики товаров, используя при этом их доли в общем объеме производства.

1.2. Показатели динамики экономического роста

На макроэкономическом уровне ведущими показателями ди­намики экономического роста являются:

·        рост объема ВВП или НД;

·        темпы роста ВВП и НД в расчете на душу населения;

·        темпы роста промышленного производства в целом, по основным отраслям и на душу населения.

В экономической статистике для изучения динамики ис­пользуются коэффициенты роста, темпы роста и темпы при­роста. Коэффициент роста х исчисляется по формуле:

X=Y₁ / Y₀

где Y₁,Y₀  — показатели соответственно в изучаемом и базовом периодах.

Темп роста равен коэффициенту роста, умноженному на 100. Темп прироста равен темпу роста минус 100. Однако на практике под темпом роста часто понимают темп прироста.

В СССР в течение многих десятилетий экономический рост измерялся произведенным НД, и лишь с 1987 г. начали при­менять показатель ВНП. В 90-х гг. в России основным показателем динамики народного хозяйства стал ВВП.

1.3.Основные модели экономического роста.

Основные современные модели экономического роста, как и любые модели представляют собой абстрактное, упрощенное выражение реального экономического процесса в форме уравнений или графиков. Целый ряд допущений, предваряющих каждую модель, уже изначально отодвигает результат от реальных процессов, но, тем не менее, дает возможность проанализировать отдельные стороны и закономерности такого сложного явления как экономический рост.

Большинство моделей роста исходят из того, что увеличение реального объема выпуска происходит, прежде всего, под влиянием роста основных факторов производства труда (L) и капитала (К). Фактор “труд” обычно слабо поддается воздействию извне, тогда как величина капитала может быть скорректирована определенной инвестиционной политикой. Как известно, запас капитала в экономике со временем сокращается на величину выбытия (амортизации) и увеличивается за счет роста чистых инвестиций. Вполне очевидно, что экономический рост ценен не сам по себе, а в качестве основы повышения благосостояния населения, поэтому качественная оценка роста часто дается через оценку динамики потребления.

Кейнсианские модели роста используют в основном  тот же логический инструментарий, что и кейнсианские модели долгосрочного равновесия. Но теперь анализ со стороны спроса необходимо соединить с факторами, определяющими динамику предложения, и выяснить условия динамического равновесия спроса и предложения в экономике. Стратегической переменной, с помощью которой можно управлять экономическим ростом являются инвестиции.

Модель Е.Домара. Наиболее простой кейнсианской моделью является модель Е.Домара, предложенная в конце 40-х годов. Технология производства представлена в ней производственной функций Леонтьева с постоянной предельной производительностью капитала (при условии, что труд не является дефицитным ресурсом). Модель  Домара исходит из того, что на рынке труда существует избыточное  предложение, что обуславливает постоянство уровня цен. Выбытие капитала отсутствует, отношение K/Y и норма сбережений - постоянны. Выпуск зависит  фактически от одного ресурса- капитала. Для простоты можно принять также инвестиционный лаг равный нулю.

Где m- мультипликатор расходов,

b- предельная склонность к потреблению 

s- предельная склонность к сбережению

где a - предельная производительность капитала (по условию - постоянна). Прирост DK капитала обеспечивается соответствующим объемом  инвестиций I, потому можно записать:

Равновесный экономический рост будет достигнут при условии равенства спроса и предложения DI/s = aI или DI/I = as, т.е. темп прироста инвестиций  должен быть равен произведению предельной производительности капитала и предельной склонности к сбережению. Величина задается технологией производства и, в соответствии с принятыми предпосылками, постоянна, а значит увеличить темпы прироста инвестиций может лишь рост нормы  сбережений s (но для рассматриваемого периода она берется постоянной).

Поскольку в условиях равновесия инвестиции равны сбережениям, I=S, a S=sY при s=const, уровень дохода является величиной пропорциональной уровню инвестиций, и тогда

Таким образом, согласно теории Домара, существует равновесный тип прироста реального дохода в экономике, при котором полностью используются имеющиеся производственные мощности. Он прямо пропорционален норме сбережений и предельной производительности капитала, или приростной капиталоотдаче (DY/DK). Инвестиции доход растут с постоянным одинаковым во времени темпом.

Такое динамическое равновесие может оказаться неустойчивым, как только темп роста плановых инвестиций частного сектора отклоняется от уровня, заданного моделью.

Модель Е. Домара не претендовала на роль теории роста. Это была попытка расширить условия краткосрочного кейнсианского равновесия на более длительный период и выяснить, какими будут эти условия для развивающейся системы.

Модель Харрода. Харрод построил специальную модель экономического роста (1939г.), включив в нее эндогеннннуюфункцию инвестиций (в отличие от экзогенно заданных инвестиций у Домара) на основе принципа акселератора и ожиданий предпринимателей.

Где v – акселератор.

Предприниматели планируют объем собственного производства, исходя из  сложившейся ситуации в предшествующий период: если их прошлые прогнозы относительно спроса оказались верными и спрос полностью уравновесил предложение, то в данном периоде предприниматели оставят темпы роста объема выпуска неизменными; если спрос в экономике был выше предложения, они увеличат темпы расширения  производства; если предложение превышало спрос в предшествующем периоде, они снизят темпы роста.

Равновесный экономический рост предлагает равенство совокупного спроса и предложения:

Отсюда равновесный темп прироста объема выпуска составит:

“гарантированным” темпом роста: поддерживая его, предприниматели будут полностью удовлетворенны своими решениями, поскольку спрос будет равен предложению и их ожидания будут сбываться. Такой темп роста обеспечивает полное использование производственных мощностей (капитала), но полная занятость при этом не всегда достигается.

Анализ соотношений между гарантированным и фактическим темпами роста позволил сделать следующий вывод: если фактически запланированный предпринимателями темп роста предложения отличается от гарантированного темпа роста (превышает или не достигает его), то система постепенно отдаляется от состояния равновесия .

Помимо гарантированного темпа роста Харрод вводит понятие “естественного” темпа роста. Это максимальный темп допускаемый ростом активного населения и техническим прогрессом. При таком темпе достигается полная занятость факторов – труда и капитала. Если гарантированный темп роста, удовлетворяющий предпринимателей, выше естественного, то вследствие недостатка трудовых ресурсов фактический темп окажется ниже гарантированного: производители будут разочаровываться в своих ожиданиях, снизят объем выпуска и инвестиции, в результате чего система будет находиться в состоянии депрессии.

Если гарантированный темп роста ниже естественного, то фактический темп может превысить гарантированный, поскольку существующий избыток трудовых ресурсов дает возможность увеличить инвестиции. Экономическая система будет переживать бум. Фактический темп роста может быть также равен гарантированному и тогда экономика будет развиваться в условиях динамического равновесия, вполне удовлетворяющих предпринимателей, но при наличии вынужденной безработицы. Идеальное развитие экономической системы достигается при равенстве гарантированного, естественного и фактического темпов роста в условиях полной занятости ресурсов.

Но поскольку всякое отклонение инвестиций от условий гарантированного темпа как известно выводит систему из равновесия и сопровождается все более увеличивающимся расхождением между спросом и предложением, динамическое равновесие в модели Харрода также оказываются неустойчивым.

Часто обе модели объединяют в одну модель Харрода – Домара. Обе модели приводят к выводу, что при данных технических условиях производства темп экономического роста определяется величиной предельной склонности к сбережению, а динамическое равновесие может существовать в условиях не полной занятости.

Ограниченность данных моделей заданно уже предпосылками их анализа. Например, используемая в них производственная функция Леонтьева характеризуется отсутствием и взаимозаменяемости факторов производства – труда и капитала, что в современных условиях не всегда соответствует действительности.

Модели Харрода и Домара неплохо описывали реальные процессы экономического роста 1920 – 1950 гг., но для более поздних наблюдений (1950 – 1970 гг.) наиболее успешно использовалась неоклассическая модель Р. Солоу[3].

1.4.Факторы экономического роста.

 Экономический рост определяется рядом факторов. В экономической науке широ­кое распространение получила теория трех факторов производства,  родоначальником  которой был Ж.-Б. Сэй. Суть ее заключается в том, что в создании сто­имости продукта принимают участие труд, земля и капитал.

Позднее трактовка производственных факторов получила бо­лее глубокое и расширительное толкование. К ним обычно относят:

·        труд;

·        землю;

·        капитал;

·        предпринимательскую способность;

·        научно-технический прогресс.

Фактически это уже знакомые нам факторы производства (производственные факторы), они же экономические ресурсы, но называемые факторами роста в связи с тем, что при рас­смотрении экономического роста их анализируют под несколь­ко другим углом.

Факторы экономического роста взаимосвязаны и перепле­тены. Так, труд весьма производителен, если работник исполь­зует современное оборудование и материалы под руководством способного предпринимателя в условиях хорошо работающего хозяйственного механизма. Поэтому точно определить долю того или иного фактора экономического роста достаточно слож­но. Более того, все эти крупные факторы являются комплек­сными, состоят из ряда более мелких элементов, вследствие чего факторы можно перегруппировывать.

Так, по внешне- и внутриэкономическим элементам можно выделить внешние и внутренние факторы (например, капитал делится на поступающий в страну извне и на мобилизуемый внутри страны, а последний можно разделить на используемый внутри страны и на вывозимый за ее пределы и т.д.).

Распространено и деление факторов в зависимости от ха­рактера роста (количественного или качественного) на интен­сивные и экстенсивные. К экстенсивным факторам роста от­носятся:

·        увеличение объема инвестиции при сохранении сущест­вующего уровня технологии;

·        увеличение числа занятых работников;

·        рост объемов потребляемого сырья, материалов, топлю и других элементов оборотного капитала.

К интенсивным факторам роста относятся:

·        ускорение научно-технического прогресса (внедрение но­вой техники, технологий, путем обновления основных фонде и т.д.);

·        повышение квалификации работников;

·        улучшение использования основных и оборотных фондов;

·        повышение эффективности хозяйственной деятельности за счет лучшей ее организации.

При преобладании экстенсивных факторов роста говорят об экстенсивном типе развития экономики, при преобладании ин­тенсивных факторов роста — об интенсивном типе.

1.5. Типы экономического роста

При экстенсивном типе развития эконо­мический рост достигается путем количе­ственного увеличения факторов производ­ства, а при интенсивном — путем качественного их совершен­ствования и лучшего использования. Более того, в этом случае экономический рост возможен и при уменьшающихся темпах капитальных вложений, и даже при уменьшении их физического объема.

В условиях экстенсивного роста изменение соотношения между его факторами происходит сравнительно равномерно и достижение максимума производства продукции ставится в за­висимость главным образом от состояния экономических ре­сурсов, особенно от сочетания затрат труда и капитала, и лишь в определенной степени от научно-технического прогресса.

1.6. Государственное регулирование экономического роста.

Государство играет значительную роль в регулировании экономического роста и следует рассмотреть какие меры государственного регулирования наилучшем образом могут стимулировать этот процесс.

   1. Кейнсианцы рассматривают экономический рост преимущественно с точки зрения факторов спроса. Обычно они объясняют низкие темпы роста неадекватным уровнем  совокупных расходов, которые не обеспечивают необходимого прироста ВНП. Поэтому они проповедуют низкие ставки процента (политику “дешевых денег”) как  средство  стимулирования капиталовложений. При  необходимости  финансово-бюджетная политика может использоваться для ограничения правительственных расходов и потребления, с тем  чтобы  высокий уровень капиталовложений не приводил к инфляции.

   2. В  противоположность  кейнсианцам, сторонники “экономики  предложения”  делают упор  на  факторы, повышающие производственный потенциал экономической системы. В частности, они призывают к снижению налогов как к средству, стимулирующему  сбережения и капиталовложения, поощряющему трудовые усилия и предпринимательский риск. Например, снижение или отмена налога на доход от процентов приведет к увеличению отдачи от сбережений. Аналогичным образом, если облагать подоходным налогом суммы, идущие на  выплаты  по  процентам, это приведет  к  ограничению потребления и стимулированию сбережений. Некоторые экономисты выступают за введение единого налога на потребление в качестве  полной или частичной замены личного подоходного налога. Смысл этого  предложения состоит в ограничении потребления и стимулировании сбережений. В  отношении капиталовложений эти экономисты обычно предлагают уменьшить или отменить налог  на прибыли корпораций, в частности предоставить значительные налоговые льготы на инвестиции. Было бы правомерно сказать, что кейнсианцы уделяют  больше  внимания  краткосрочным целям, а именно поддержанию высокого уровня реального ВНП, воздействия на совокупные расходы. В отличие от них, сторонники “экономики предложения”  отдают  предпочтения долгосрочным перспективам, делая упор на факторы, обеспечивающие рост  общественного  продукта  при полной занятости и полной загрузке производственных мощностей.

   3. Экономисты  разных  теоретических направлений рекомендуют и другие возможные методы  стимулирования  экономического роста. Например, некоторые ученые пропагандируют  индустриальную  политику, посредством  которой  правительство взяло бы на себя прямую активную роль в формировании структуры промышленности для поощрения экономического роста. Правительство могло бы принять меры, ускоряющие развитие высокопроизводительных  отраслей и способствующие  перемещению  ресурсов из низко производительных  отраслей. Правительство  также  могло бы увеличить  свои расходы на фундаментальные  исследования  и разработки, стимулируя технический прогресс. Рост расходов на образования также может способствовать повышению качества рабочей силы и  росту  производительности труда.

При  всей  многочисленности и сложности  возможных методов стимулирования экономического  роста  большинство  экономистов едины в том, что увеличение темпов экономического роста является весьма непростой задачей, - капиталоемкость и склонность  к  сбережениям нелегко поддаются мерам

ГЛАВА II. ЭКОНОМИЧЕСКИЙ РОСТ И МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА.

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

          Процесс решения экономических задач осуществляется в несколько этапов:

          1. Содержательная (экономическая) постановка задачи. Вначале нужно осознать задачу, четко сформулировать ее. При этом определяются также объекты, которые относятся к решаемой задаче, а также ситуация, которую нужно реализовать в результате ее решения. Это - этап содержательной постановки задачи. Для того, чтобы задачу можно было описать количественно и использовать при ее решении вычислительную технику, нужно произвести качественный и количественный анализ объектов и ситуаций, имеющих к ней отношение. При этом сложные объекты, разбиваются на части (элементы), определяются связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные значения свойств, количественные и логические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т.п. Это - этап системного анализа задачи, в результате которого объект оказывается представленным в виде системы. Следующим этапом является математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта и определение методов (алгоритмов) получения решения задачи. Это - этап системного синтеза (математической постановки) задачи. Следует заметить, что на этом этапе может оказаться, что ранее проведенный системный анализ привел к такому набору элементов, свойств и соотношений, для которого нет приемлемого метода решения задачи, в результате приходится возвращаться к этапу системного анализа. Как правило, решаемые в экономической практике задачи стандартизованы, системный анализ производится в расчете на известную математическую модель и алгоритм ее решения, проблема состоит лишь в выборе подходящего метода.

          Следующим этапом является разработка программы решения задачи на ЭВМ. Для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ и системы управления базами данных. На заключительном этапе производится эксплуатация модели и получение результатов.

          Последовательное использование методов исследования операций и их реализация на современной информационно-вычислительной технике позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей различных уровней, которые к тому же не могут согласовать эти свои волевые решения.

Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий экономико-математических исследований.

Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление (конечный продукт), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением[4].

Обозначим через x_i валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через y_i – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление (средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д.).

Таким образом, разность x_i - y_i  составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

Обозначим через x_ik  часть продукции i-й отрасли, которая потребляет

Очевидно, эти величины связаны следующими балансовыми равенствами :

       х₁ - (х₁₁ + х₁₂ + … + х_1n) = у₁    

          х₂ - (х₂₁ + х₂₂ + … + х_2n) = у₂                   (1)

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

       x_n - (x_n1 + x_n2 + … + x_nn) = y_n

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом (х^’_ik , y^’_i и т.д.) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства (1) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y₁ , y₂ , … , y_n , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :

       у = (у₁ , у₂ , … , y_n) ,    (2)

а совокупность значений x₁ , x₂ , … , x_n ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом :

       x = (x₁ , x₂ , … , x_n).      (3)

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами (1). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных х_k , содержат n­­­­² неизвестных x_ik , которые в свою очередь зависят от x_k.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины a_ik из соотношений :

                x_ik

       a_ik = –––  (i , k = 1 , 2 , … , n).

                 x_k

Величины a_ik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты a_ik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

       x^’_ik        x_ik  

      –––  = ––– = a_ik = const     (4)     

        x^’_k        x_k

Исходя из этого предложения имеем

       x_ik = a_ikx_k ,         (5)

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска x_k. Поэтому равенство (5) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат a_ik по формуле (4), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу

                       a₁₁ a₁₂ … a_1k … a_1n

                       a₂₁ a₂₂ … a_2k … a_2n

             A=     ………………….

                       a_i1 a_i2 … a_ik … a_in

                       a_n1 a_n2 … a_nk … a_nn

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы a_ik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1

Подставляя значения x_ik = a_ik = x_k во все уравнения системы (1), получим линейную балансовую модель :

       x₁ - (a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n) = y₁

       x₂ - (a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n) = y₂                      (6)

       ……………………………………

       x_n - (a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n) = y_n   ,     

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1

Система уравнений (6) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

          _        _    _

       Е·х - А·х = У , или окончательно

                     _     _

       (Е - А)·х = У ,            (6')

где Е – единичная матрица n-го порядка и

                     1-a₁₁   -a₁₂  …  -a_1n

      E - A=     -a₂₁   1-a₂₂ …  -a_2n

                       …………………

                       -a_n1    -a_n2 … 1-a_nn   (7)

Уравнения (6) содержат 2n переменных (x_i и  y_i). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы (6) найти остальные n - переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = (y₁ , y₂ , … , y_n) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = (х₁ , х₂ , … х_n).

Из равенства вытекает следующее:

Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х₁=S_1k, во 2-й х₂=S_2k и т.д., в i-й отрасли выпустить x_i=S_ik и, наконец, в n-й отрасли выпустить x_n=S_nk единиц продукции.

Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S_1k, S_2k, …, S_ik, …, S_nk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы    k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a_1k, a_2k, …, a_ik, …, a_nk на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве a_ik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли (a_1k), 2-й отрасли (a_2k) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли (a_i1, a_i2, … и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2

Пусть  нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли (k=2) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли (х₂=1) затрачивается: продукции 1-й отрасли a₁₂=0.4 и 2-й отрасли a₂₂=0.1.

Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у₂=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х₁=0.4­100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама (а₁₁=0.2), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х₁=40+0.2­40=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х₁'=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у₂=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно   обратиться к   составленной   систем  уравнений,  положив  у₁=0  и   у₂=1   (см п.2):

       0.8х₁ - 0.4х₂ = 0    (8)

       -0.55х₁ + 0.9х₂ = 1

Решив эту систему, получим х₁=0.8 и х₂=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х₁=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S₁₂. Таким образом, если а₁₂=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли (почему они и были названы прямые затраты), то S₁₂ учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые (а₁₂), так и косвенные затраты, реализуемые через другие (в данном случае через 1-ю же) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S₁₂-a₁₂=0.8-0.4=0.4

Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а₁₂=0.4 при х₂=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.

Итак, величина S_ik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые (a_ik), так и косвенные (S_ik - a_ik) затраты.

Очевидно, что всегда S_ik > a­_ik.

Если необходимо выпустить у_k единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы (8):

       x₁ = S_1k·y_k, x₂ = S_2k·y_k, …, x_n = S_nk·y_k  (9)

что можно записать короче в виде:

       _    _

       x = S_k·y_k            (10)       

Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортиментным вектором У =    :      , то валовый  выпуск  k-й  отрасли  x_k,  необходимый  для    его обеспечения, определится на основании равенств (10) как скалярное произведение столбца S_k на вектор У, т.е.

                                                             _  _

       x_k = S_k1y₁ + S_k2y₂ + … + S_kny_n = S_k·y ,              (11)

а весь вектор-план х найдется из формулы (7) как произведение матрицы S на вектор У.

Таким  образом,  подсчитав  матрицу  полных  затрат  S,  можно  по формулам (7) – (11) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.

Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Dх = (Dх₁, Dх₂, …, Dх_n) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта DУ = (Dу₁, Dу₂, …, Dу_n) по формуле:

         _          _

       Dх = S·DУ ,         (12)

Включим  в наш анализ, кроме производительных затрат x_ik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки.

Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через x_n+1,k, и затраты капиталовложений – через x_n+2,k (где k = 1, 2, …, n). Подобно тому как вводились прямые затраты  a_ik,   

введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда a_n+1,k и                                                                                                                        x_k

                                               x_n+2,k

капиталовложений  a_n+2,k = ––––– ,  представляющих    собой  расход  соответствующего 

                                                  x_k  

ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу (т.е. дописав их в виде дополнительных строк), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:

                          a₁₁     a₁₂     …     a_1k     …     a_1n

                          a₂₁     a₂₂     …     a_2k     …     a_2n

При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы (структурная матрица А). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.

Подсчитаем необходимые при этом затраты труда S_n+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов a_n+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S₁₁, S₁₂, …, S_1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как a_n+1,1S₁₁, во 2-ю – a_n+1,2S₂₁ и т.д., наконец в n-ю отрасль a_n+1,nS_n1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:

                                                                             _    _

       S_n+1,1 = a_n+1,1S₁₁ + a_n+1,2S₂₁ + … + a_n+1,nS_n1 = a_n+1S₁  ,

т.е. равны скалярному произведению (n+1)-й строки расширенной матрицы А', которую обозначим a_n+1, на 1-й столбец матрицы S.

Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят:

                    _    _

       S_n+1,k = a_n+1S_k            (13)

Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:

                    _    _

       S_n+2,k = a_n+2S_k            (14)

Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х (для чего используется матрица S), но и необходимые суммарные затраты труда x_n+1, капиталовложений x_n+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.

Очевидно,

       x_n+1 = S_n+1,1y₁ + S_n+1,2y₂ + … + S_n+1,ny_n ,         (16)

       x_n+2 = S_n+2,1y₁ + S_n+2,2y₂ + … + S_n+2,ny_n ,

т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S' вектор У.

Переходя к коэффициентам прямых затрат a_ik, получим расширенную матрицу:

                   0.2    0.4

       А' =     0.55  0.1

                   0.5    0.2

                   1.5    2.0

Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х₁=1000 и х₂=800, при суммарных затратах труда х₃=660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х₄=3100 тыс.руб.

Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований экономического роста. Здесь проиллюстрировано только направление приложения математических расчетов в экономических исследованиях.