Иррациональные уравнения

align="BOTTOM" border="0" />, то на данном промежутке уравнение не имеет корней.

Замечание. Данное уравнение можно решать, выполнив замену переменной . После решения исходного уравнения относительно переменной , выполнив обратную замену, найдем корень уравнения.

О т в е т: [0;3].

Замечание. Выражение вида обычно называют двойным радикалом или сложным радикалом.

Если подкоренное выражение представляет собой полный квадрат, то можно в двойном радикале освободиться от внешнего радикала, воспользовавшись равенством .

Преобразование двойных радикалов.

Упражнение 1. Освободиться от внешнего радикала в выражении .

Решение. Слагаемое можно рассматривать как удвоенное произведение чисел и или чисел и . Число 7 должно быть равно сумме квадратов этих чисел. Подбором находим, что это условие выполняется для чисел и , т.е. .

Получаем, что

О т в е т:.

4.2. Иррациональные показательные уравнения

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. ; - решений нет.

О т в е т:

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

- Решений нет, т.к.

О т в е т:

Пример 3. Решить уравнение

Решение.

;

О т в е т: .

Приме 4. Решить уравнение

Решение.

;

Введем новую переменную. Пусть . Получаем, что . Тогда

Выполним обратную замену. Или

;

- решений нет.

;.

О т в е т:{3}.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Множество М – общая часть (пересечение) областей существования функций - есть все

На множестве М функции и положительны. Поэтому, логарифмируя обе части уравнения, получим уравнение, равносильное исходному на М.

Решим уравнения совокупности.

. Введем новую переменную. Пусть . Получаем, что . Тогда . Выполним обратную замену. или . Тогда или .

Получаем, что исходное уравнение равносильно системе:

О т в е т: .

Замечание. В задачах повышенной сложности встречаются уравнения вида , где - некоторые положительные числа. Такие уравнения не являются иррациональными уравнениями, т.к. не содержат переменной под знаком радикала, но все, же разберем их решение в данном пункте.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Преобразуем выражение

Тогда исходное уравнение примет вид:

Замечание. Можно заметить, что , следовательно, и - взаимно обратные числа. Тогда . Введем новую переменную. Пусть , а Получаем, что исходное уравнение равносильно следующему . Тогда

Выполним обратную замену.

или

; ;

Тогда .

;

Тогда

О т в е т :{-2;2}.

4.3 Иррациональные логарифмические уравнения

Пример 1. Решить уравнения

Решение. ;

Учитывая, что , данное уравнение равносильно системе:

О т в е т:{32,75}.

Пример 2. Решить уравнения

Решение. . Преобразуем правую часть уравнения.

Вернемся к исходному уравнению.

;

Введем новую переменную. Пусть . Получаем, что

.

Решим уравнение системы.

; .

Тогда

Вернемся к системе: Следовательно,

Выполним обратную замену:

Проверка показывает, что 1 является корнем исходного уравнения.

О т в е т: {1}.

Пример 3. решить уравнение

Решение. Найдем ОДЗ переменной х.

ОДЗ:

.

На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению

; ;

Введем новую переменную. Пусть или

;

;

О т в е т: {3;81}.

Заключение

Данная курсовая работа помогла мне научиться решать иррациональные уравнения следующих типов: стандартные, нестандартные, показательные, логарифмические, повышенного уровня. Применять основные свойства функции, область определения, область значения функции. Использовать наибольшее и наименьшее значения функции. Применение производной. Я считаю, что цели которые поставлены перед выполнением курсовой работы выполнены.

Литература

О.В. Харькова «Иррациональные уравнения».

А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа».

Е.Д. Куланин, В.П. Норин «3000 конкурсных задач по математике».

В.А. Гусев, А.Г. Мордкович «Справочные материалы по математике».

М.И. Сканави «Сборник задач по математике».