Иррациональные уравнения

новую переменную. Пусть , а . Тогда уравнение примет вид: ; ; : . Тогда - не удовлетворяет условию , . Выполним обратную замену.

О т в е т: .

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Преобразуем исходное уравнение.

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат.

Тогда

Итак, проверка показывает, что -1,2 - не является корнем исходного уравнения, а 3 - является.

Замечание. Данное уравнение можно решать и с помощью равносильных переходов, но тогда его решении будет намного сложнее, чем приведенное выше.

О т в е т: {3}.

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Заметим, что все квадратные трехчлены положительны относительно . Перепишем уравнение в виде:

Обозначим для краткости подкоренные выражения через соответственно. Умножим и разделим левую и правую часть уравнения на сопряженные сомножители. Получаем, что

Вернемся к уравнению.

Второе уравнение совокупности решений не имеет, поскольку оба знаменателя положительны. Следовательно,

Замечание. Также решение данного уравнения можно найти, исследуя его на разных числовых промежутках.

Сначала выделим и соответственно в каждом из подкоренных выражений в правой части уравнения.

Следовательно, исходное уравнение имеет вид:

Обозначим для краткости подкоренные выражения через , , и соответственно. Т.к. выражение обращается в ноль при , то рассмотрим решение данного уравнения при , и .

Если , то >, >+>+.

Следовательно, при исходное уравнение не имеет корней.

Если , то <, <+<+.

Следовательно, при исходное уравнение не имеет корней.

Если , то =, =+=+.

Следовательно, -1 является единственным корнем исходного уравнения.

О т в е т:{-1}.

Замечание. Следовательно, при решении уравнений с радикалами надо уметь пользоваться любым из этих методов и выбирать в каждом случае оптимальный.

3. Не стандартные методы решения иррациональных уравнений

Существуют иррациональные уравнения, которые считаются для школьников обычных образовательных школ задачами повышенной трудности. Для решения таких уравнений лучше применять не традиционные методы, а приемы, которые не совсем привычны для учащихся. В этой главе приводятся решения уравнений основанных на графических соображений, свойствах функции (таких, как монотонность, ограниченность, четность), применении производной и т.д.

3.1 Применение основных свойств функции

3.1.1 Использование области определения уравнения

Иногда знание области определения уравнения позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из нее.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Найдем область определения уравнения.

ОДЗ: .

Следовательно, данная система решений не имеет.

Т.к. система решений не имеет, то и данное уравнение не имеет корней.

О т в е т: .

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдем ОДЗ переменной х.

ОДЗ: .

Следовательно, или .

Таким образом, решения данного уравнения могут находиться среди найденных двух чисел.

Проверкой убеждаемся, что только 2 является корнем исходного уравнения.

О т в е т: {2}.

3.1.2 Использование области значений уравнений

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Т.к. , следовательно, , но (правая часть уравнения отрицательна, а левая положительна), значит данное уравнение не имеет решений.

О т в е т:

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Т.к. , то

; ; ; ; ; ; .

Следовательно, левая часть уравнения принимает неотрицательное значение только при . А это значит, что его корнем может быть только значение 5, а может случиться, что уравнение вообще не будет иметь корней. Для решения этого вопроса выполним проверку.

Проверка показывает, что 5 является корнем исходного уравнения.

О т в е т: {5}.

3.1.3 Использование монотонности функции

Решение уравнений и неравенств с использованием свойств монотонности основывается на следующих утверждениях.

1. Пусть f(x) - непрерывная и строго монотонная функция на промежутке Q, тогда уравнение f(x)=c, где c - данная константа может иметь не более одного решения на промежутке Q.

2. Пусть f(x) и g(x) - непрерывные на промежутке Q функции, f(x) - строго возрастает, а g(x)- строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение f(x)= g(x) может иметь не более одного решения на промежутке Q.

Отметим, что в каждом из случаев промежутки Q могут иметь один из видов:

Пример 1. Решим уравнение

Решение. Найдем ОДЗ переменной х.

ОДЗ: .

Следовательно, .

На ОДЗ функции и непрерывны и строго убывают, следовательно, непрерывна и убывает функция . Поэтому каждое свое значение функция h(x) принимает только в одной точке. Т.к. h(2)=2 , то 2 является единственным корнем исходного уравнения.

О т в е т: {2}.

3.1.4 Использование ограниченности функции

Если при решении уравнения удается показать, что для всех из некоторого множества М справедливы неравенства и , то на множестве М уравнение равносильно системе уравнений: .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Функции, стоящие в разных частях уравнения, определены на . Для любого . Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений

Решим второе уравнение системы:

; ;

Тогда

Проверка показывает, что 0 является корнем данного уравнения, а -1-не является.

О т в е т:{0}.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Оценим подкоренные выражения.

Следовательно, ,

Т.к. первое слагаемое левой части исходного уравнения ограничено снизу единицей, а второе слагаемое-3, то их сумма ограничена снизу 4. Тогда левая часть уравнения становится равной правой части уравнения при .

О т в е т:{2}.

3.2 Применение производной

В вышеприведенных уравнениях были рассмотрены применения некоторых свойств функции, входящих в уравнение. Например, свойства монотонности, ограниченности, существования наибольшего и наименьшего значений и т.д. Иногда вопрос о монотонности, об ограниченности и, в особенности, о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции элементарными методами требует трудоемких и тонких исследований, однако он существенно упрощается при применении производной. (Например, не всегда можно догадаться, как и какое неравенство применить из «классических»).

Рассмотрим применение производной при решении уравнений.

3.2.1 Использование монотонности функции

В дальнейшем мы будем пользоваться следующими утверждениями:

1) если функция f(x) имеет положительную производную на промежутке М, то эта функция возрастает на этом промежутке;

2) если функция непрерывна на промежутке и имеет внутри промежутка положительную (отрицательную) производную, то эта функции возрастает ( убывает) на промежутке;

3) если функция имеет на интервале (а;b) тождественно равную нулю производную, то эта функция есть постоянная на этом интервале.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим функцию

На этом промежутке непрерывна, внутри его имеет производную:

Эта производная положительна внутри промежутка . Поэтому функция возрастает на промежутке М. Следовательно, она принимает каждое свое значение в одной точке. А это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня. Легко видеть, что -1 является корнем данного уравнения и по сказанному выше других корней не имеет.

О т в е т:

3.2.2 Использование наибольшего и наименьшего значений функции

Справедливы следующие утверждения:

наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции, принимаемое на интервале может достигаться в тех точках интервала , в которых ее производная равна нулю или не существует (каждая такая точка называется критической точкой);
чтобы найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной на отрезке функции, имеющей на интервале (а;b) конечное число критических точек, достаточно вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих интервалу (а;b), а также в концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее;
если в критической точке функция непрерывна, а ее производная, проходя через эту точку, меняет знак с «минуса» на «плюс», то точка - точка минимума, а если ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то - точка максимума.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Найдем ОДЗ переменной x.

ОДЗ: .

Рассмотрим непрерывную функцию на отрезке [2;4], где D(f)=[2;4].

Функция f(x) на интервале (2;4) имеет производную:, обращаются в ноль только при х=3.

Т.к. функция f(x)непрерывна на отрезке [2;4], то ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди чисел f(3);f(2);f(4). Т.к. f(3)=2;f(2)=f(4)=, , то наибольшее значение f(x) есть f(3)=2.