Теория нелинейной теплопроводности

с поглощением естественно назвать пространственно-временной локализацией.

При р = 0, т.е. в отсутствие объемного поглощения теплоты, из уравнения (4.14) следует монотонный степенной рост ширины теплового импульса (штриховая линия на рисунке 2). Тепловые возмущения в этом случае проникают в среду неограниченно далеко.

Полученные соотношения можно рассматривать и при р < 0, когда в объеме среды протекают экзотермические процессы, приводящие к выделению тепловой энергии. В такой нелинейной среде с объемными тепловыми источниками фронт теплового импульса распространяется с конечной скоростью, однако ширина теплового импульса в соответствии с соотношением (4.14) при р < 0 увеличивается.

5. Решения нелинейной задачи теплопроводности на полупрямой

Начнем с рассмотрения задачи

(5.1)

с начальным/граничным условием для уравнения на полупрямой характеризуемой начальным и граничными условиями

u(x,0)=u0(x) ∞˃ x≥0 (5.2)

ux(∞,t)=0 (5.3)

(5.4)

где – положительная константа, а – интегрируемая функция. Граничное условие (5.4) представляет заданную теплопроводность в начале координат

Введем преобразование годографа

(5.5)

(5.6)

(5.7)

условие совместности которого гарантировано уравнением (5.1). Используя приведенное выше преобразование, отобразим уравнение (5.1) в линейное уравнение теплопроводности

(5.8)

в области , где F(t) удовлетворяет соотношению

(5.9)

С помощью преобразования годографа мы свяжем с уравнением (4) начальные данные

(5.10)

где z0 в силу уравнений (5.5) и (5.6) имеет вид

(5.11)

а также граничные условия

(5.12)

(5.13)

Тогда задача с начальным /граничным условием для нелинейного диффузионного уравнения (5.1) с начальными данными (5.2) и граничными условиями (5.3), (5.4) отображается в линейное уравнение теплопроводности (5.7) в области с движущейся границей, характеризующейся начальным условием (5.9) и граничными условиями (5.11), (5.12). Чтобы решить линейную задачу, введем фундаментальное ядро теплопроводности

(5.14)

и проинтегрируем тождество Грина для уравнения теплопроводности

(5.15)

по области , а также возьмем . Используя условие (5.12) и тот факт, что , получаем

(5.16)

Из уравнения (5.15) ясно, что можно определить , если известно граничное условие v(F(t), t); поэтому удобно вычислить (5.15) при . Полагая , получим

(5.17)

(5.18)

(5.19)

Уравнение (5.16) является линейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода с сингулярным ядром Подходящий выбор функции f(t) позволяет с помощью уравнения (5.8) получить умеренно сингулярное ядро. Тогда линейное уравнение Вольтерра (5.16) допускает единственное решение в предположении, что G(t) является интегрируемой и ограниченной функцией своего аргумента.

Используя процесс Пикара последовательных приближений, решение уравнения (5.16) можно записать как

(5.20)

Здесь -ядро резольвенты, задаваемое рядом

(5.21)

Рис. 4

Графическое представление решения, соответствующего примеру 5.1 построенное относительно переменной при фиксированных значениях t для различных интервалов:

(5.23)

Ниже мы численно исследуем четыре примера, соответствующие двум различным выборам функции в первом случае является константой,

а во втором – линейной функцией времени:

(5.24)

(5.25)

Из (5.23) и (5.24) ясно, что с учетом соотношения (5.8) является соответственно линейной или квадратичной функцией времени. Мы рассматриваем начальные данные u0(x), совместные с асимптотическим условием (5.2), соответствующим, во первых, функции

(5.26)

Рис. 5

Графическое представление решения соответствующего примеру 5.2 построенное относительно переменной при фиксированных значениях для различных интервалов:

где – обычная единичная ступенчатая функция, а во-вторых, функции

(5.27)

где W(x) – W-функция Ламбера, неявно определяемая соотношением В первом случае с , определяющейся (5.23), наш метод состоит в прямом вычислении функции через явное решение, как это было показано в работе.Затем мы вычисляем функцию в соответствии с выражением (5.15) и окончательно получаем решение , обращая преобразование годографа (5.4)–(5.6). При фиксированном времени t = t* с помощью (5.4) и (5.5) получаем

(5.28)

Тогда из выражения (5.27) мы получаем обратную функцию и окончательно находим решение исходной задачи:

(5.29)

в соответствии с (5.4).

Рис. 6

Графическое представление решения соответствующего примеру 5.3 построенное относительно переменной при фиксированных значениях t для различных интервалов:

Если определяется (5.24), то интегральное уравнение Вольтерра (5.16) не решается в квадратурах, как в предыдущем случае, однако оно должно решаться численно. Решение линейной задачи получается с помощью уравнения (5.15), но, конечно, вычислительные издержки такого алгоритма гораздо больше, чем в предыдущем случае. Интегральное уравнение (5.15) интегрируется численно при использовании неравномерного fixed-mesh-метода, с тем чтобы избежать проблем, связанных с наличием умеренно сингулярного ядра. Как объяснялось выше, после вычисления функции мы, обращая преобразование годографа, получаем решение нелинейной задачи (см. (5.27)и (5.28)).

Ниже мы подробно анализируем примеры и интерпретируем численные результаты, представив ряд графиков. Подчеркнем, что на всех графиках каждая линия представляет собой функцию в фиксированный момент времени. Как и ожидалось, при больших x решение нелинейной задачи u(x, t) асимптотически приближается к значению .

Пример 5.1.

Функция u0(x) задается уравнением (5.25), а f(t) – уравнением (5.23),

где a=1 , Тогда

(5.1.1)

Рис. 7

Графическое представление решения соответствующего примеру 5.4, построенное относительно переменной x при фиксированных значениях t для различных интервалов:

Результаты численного моделирования представлены на рис. 4. Видно, что при 0 <t < 1 разрыв решения по переменной x, обусловленный выбором ступенчатой функции в начальных данных u0(x), сдвигается к началу координат вдоль оси x с ростом t.

Пример 5.2.

Функция u0(x) задается уравнением (5.25), а f(t) – уравнением (5.24),где a=2,b=0,β=13,η=3,γ=12 Тогда

(5.2.1)

Результаты численного моделирования представлены на рис. 5. Сравнивая этот результат с предыдущим, мы видим, что выбор функции (5.24) (а именно квадратичной по времени функции F(t), по-видимому, приводит к более быстрому по времени приближению решения к постоянной функции

Пример 5.3.

Функция u0(x) задается уравнением (5.26), а f(t) – уравнением (5.23),

где a=1,c=1,k= Тогда

(5.3.1)

В этом случае полезно заметить, что из уравнения (5.2.1) с помощью уравнений (5.9) и (5.10) мы получаем

(5.3.2)

Результаты численного моделирования представлены на рис. 6.

Пример 5.4.

Функция u0(x) задается формулой (5.26), а f(t) – формулой (5.24), где

a=1,c=1,k= Тогда

(5.4.1)

Результаты численного моделирования представлены на рис. 7. Сравнивая этот результат с предыдущим, мы видим, что выбор функции (5.24) (а именно квадратичной по времени функции F(t)), по-видимому, приводит к более быстрому по времени приближению решения к постоянной функции

Заключение

нелинейный теплопроводность возмущение поглощение

В своей работе я рассмотрел теплопроводность, некоторые ее свойства. Рассмотрел несколько видов математических уравнений описывающий этот процесс при различных условиях. А так же решая нелинейной задачи теплопроводности на полупрямой показал что выбор функции F(t) квадратичной по времени приводит к более быстрому по времени приближению решения u(x, t) к постоянной функции

Список используемой литературы

Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. Издательство: МГТУ им. Н.Э. Баумана. Москва 2002 г. 368с.

С. Де Лилло, Д. Лупо, М. Соммакал, Решения нелинейной задачи теплопроводности на полупрямой, ТМФ,2007г.

Агошков И.Н. Методы решения задач математической физики. Учебное пособие для студентов, Специализирующихся в области вычислительной математики. 2002 г. 320 с.

cde.ncstu/lms-ds/login.ds

mathnet/php/getFT.phtml?jrnid=tmf&paperid=6070&what=fullt&option_lang=rus

bse.sci-lib/article109938.html

lib-ru/diss/cont/45405.html

Размещено на