Сортировка данных в массиве
В этом разделе будет рассмотрен
знаменитый алгоритм ''быстрой'' сортировки, по праву считающийся самым быстрым
среди неспециализированных алгоритмов сортировки. Для сравнения мы также
рассмотрим один из алгоритмов сортировки, имеющих более низкую эффективность,
но и более простых алгоритмов – сортировку вставками.
Сортировка вставками
Сортировка вставками похожа на процесс тасования
карточек с именами. Регистратор заносит каждое имя на карточку, а затем
упорядочивает карточки по алфавиту, вставляя карточку в верхнюю часть стопки в
подходящее место. Опишем этот процесс на примере нашего пятиэлементного списка
A = 50, 20, 40, 75, 35 (рисунок 1).
В функцию InsertionSort передается массив A и длина
списка n. Рассмотрим i-ый проход (1<i<n-1). Подсписок от A[0] до A[i-1]
уже отсортирован по возрастанию. В качестве вставляемого (TARGET) выберем
элемент A[i] и будем продвигать его к началу списка, сравнивая с элементами
A[i-1], A[i-2] и т.д. Просмотр заканчивается на элементе A[j], который меньше
или равен TARGET, или находится в начале списка (j = 0). По мере продвижения к
началу списка каждый элемент сдвигается вправо (A[j] = A[j-1]). Когда
подходящее место для A[i] будет найдено, этот элемент вставляется в точку j.
Рис. 1
|
// Сортировка вставками
упорядочивает подсписки A[0]...A[i], 1 <= i <= n-1. Для
// каждого i A[i]
вставляется в подходящую позицию A[j]
template <class T>
void InsertionSort(T A[], int n)
{
int i, j;
T temp;
// i определяет подсписок A[0]...A[i]
for (i=1; i<n; i++)
{
// индекс j пробегает вниз по списку от
A[i] в процессе
//
поиска правильной позиции вставляемого значения
j = i;
temp = A[i];
// обнаружить подходящую позицию для
вставки, сканируя подсписок,
// пока temp < A[j-1] или пока не
встретится начало списка
while (j > 0 && temp < A[j-1])
{
// сдвинуть элементы вправо, чтобы
освободить место для вставки
A[j] = A[j-1];
j--;
}
// точка вставки найдена; вставить temp
A[j] = temp;
}
}
|
Вычислительная эффективность сортировки вставками
Сортировка вставками требует фиксированного числа
проходов. На n-1 проходах вставляются элементы от A[1] до A[n-1]. На i-ом
проходе вставки производятся в подсписок A[0]–A[i] и требуют в среднем i/2
сравнений. Общее число сравнений равно
| 1/2 + 2/2 + 3/2 + ... + (n-2)/2 +
(n-1)/2 = n(n-1)/4 |
В отличие от других методов, сортировка вставками не
использует обмены. Сложность алгоритма измеряется числом сравнений и равна
O(n2). Наилучший случай – когда исходный список уже отсортирован. Тогда на i-ом
проходе вставка производится в точке A[i], а общее число сравнений равно n-1,
т.е. сложность составляет O(n). Наихудший случай возникает, когда список
отсортирован по убыванию. Тогда каждая вставка происходит в точке A[0] и
требует i сравнений. Общее число сравнений равно n(n-1)/2, т.е. сложность
составляет O(n2).
В принципе, алгоритм сортировки вставками можно
значительно ускорить. Для этого следует не сдвигать элементы по одному, как это
продемонстрировано в приведенном выше примере, а находить нужный элемент с
помощью бинарного поиска, описанного в предыдущем номере (то есть, в цикле
разбивая список на две равные части, пока в списке не останется один-два
элемента), а для сдвижки использовать функции копирования памяти. Такой подход
дает довольно высокую производительность на небольших массивах. Основным узким
местом в данном случае является само копирование памяти. Пока объем копируемых
данных (около половины размера массива) соизмерим с размером кэша процессора 1
уровня, производительность этого метода довольно высока. Но из-за множественных
непроизводительных повторов копирования, этот способ менее предпочтителен, чем
метод «быстрой» сортировки, описанный в следующем разделе. Этот же метод можно
рекомендовать в случае относительно статичного массива, в который изредка
производится вставка одного-двух элементов.
«Быстрая» сортировка
Итак, мы рассмотрели алгоритм сортировки массива,
имеющий сложность порядка O(n2). Алгоритмы, использующие деревья (турнирная
сортировка, сортировка посредством поискового дерева), обеспечивают значительно
лучшую производительность O(n log2n). Несмотря на то, что они требуют
копирования массива в дерево и обратно, эти затраты покрываются за счет большей
эффективности самой сортировки.
Широко используемый метод пирамидальной сортировки
также обрабатывает массив «на месте» и имеет эффективность O(n log2n). Однако
«быстрая» сортировка, которую изобрел К.Хоар, для большинства приложений
превосходит пирамидальную сортировку и является самой быстрой из известных до
сих пор.
Описание «быстрой» сортировки
Как и для большинства алгоритмов сортировки, методика
«быстрой» сортировки взята из повседневного опыта. Чтобы отсортировать большую
стопку алфавитных карточек по именам, можно разбить ее на две меньшие стопки
относительно какой-нибудь буквы, например K. Все имена, меньшие или равные K,
идут в одну стопку, а остальные – в другую.
Рис.2
Затем каждая стопка снова делится на две. Например, на
рисунке 2 точками разбиения являются буквы F и R. Процесс разбиения на все
меньшие и меньшие стопки продолжается.
В алгоритме «быстрой» сортировки применяется метод
разбиения с определением центрального элемента. Так как мы не можем позволить
себе удовольствие разбрасывать стопки по всему столу, как при сортировке
алфавитных карточек, элементы разбиваются на группы внутри массива. Рассмотрим
алгоритм «быстрой» сортировки на примере, а затем обсудим технические детали.
Пусть дан массив, состоящий из 10 целых чисел:
| A = 800, 150, 300, 600, 550, 650, 400,
350, 450, 700 |
Фаза сканирования
Массив имеет нижнюю границу, равную 0 (low), и верхнюю
границу, равную 9 (high). Его середина приходится на 4 элемент (mid). Первым
центральным элементом является A[mid] = 550. Таким образом, все элементы
массива A разбиваются на два подсписка: Sl и Sh. Меньший из них (Sl) будет
содержать элементы, меньшие или равные центральному. Подсписок Sh будет
содержать элементы большие, чем центральный. Поскольку заранее известно, что центральный
элемент в конечном итоге будет последним в подсписке Sl, мы временно
передвигаем его в начало массива, меняя местами с A[0] (A[low]). Это позволяет
сканировать подсписок A[1]--A[9] с помощью двух индексов: scanUp и scanDown.
Начальное значение scanUp соответствует индексу 1 (low+1). Эта переменная
адресует элементы подсписка Sl. Переменная scanDown адресует элементы подсписка
Sh и имеет начальное значение 9 (high). Целью прохода является определение
элементов для каждого подсписка.
Рис.3
Оригинальность «быстрой» сортировки заключается во
взаимодействии двух индексов в процессе сканирования списка. Индекс scanUp
перемещается вверх по списку, а scanDown – вниз. Мы продвигаем scanUp вперед и
ищем элемент A[scanUp] больший, чем центральный. В этом месте сканирование
останавливается, и мы готовимся переместить найденный элемент в верхний
подсписок. Перед тем, как это перемещение произойдет, мы продвигаем индекс
scanDown вниз по списку и находим элемент, меньший или равный центральному.
Таким образом, у нас есть два элемента, которые находятся не в тех подсписках,
и их можно менять местами.
| Swap (A[scanUp], A[scanDown]); //
менять местами партнеров |
Этот процесс продолжается до тех пор, пока scanUp и
scanDown не зайдут друг за друга (scanUp = 6, scanDown = 5). В этот момент
scanDown оказывается в подсписке, элементы которого меньше или равны
центральному. Мы попали в точку разбиения двух списков и указали окончательную
позицию для центрального элемента. В нашем примере поменялись местами числа 600
и 450, 800 и 350, 650 и 400 (см. рисунок 4).
Рис.4
Затем происходит обмен значениями центрального
элемента A[0] с A[scanDown]:
В результате у нас появляются два подсписка A[0] –
A[5] и A[6] – A[9], причем все элементы первого подсписка меньше элементов
второго, и последний элемент первого подсписка является его наибольшим
элементом. Таким образом, можно считать, что после проделанных операций
подсписки разделены элементом А[5] = 550 (рисунок 5). Если теперь отсортировать
каждый подсписок по отдельности, то у нас получится полностью отсортированный
массив. Заметьте, что по сути оба этих подсписка являются такими же массивами,
как и исходный, поэтому к ним можно применить тот же самый алгоритм. Применение
того же алгоритма к частям массива называется рекурсивной фазой.
Рекурсивная фаза
Одним и тем же методом обрабатываются два подсписка:
Sl(A[0] – A[4]) и Sh(A[6] – A[9]). Элемент А[5] обрабатывать не надо, так как
он уже находится на своем месте.
Тот же алгоритм применяется для каждого подсписка,
разбивая эти подсписки на меньшие части, пока в подсписке не останется одного
элемента или пока подсписок не опустеет.
Рис.5
Алгоритм QuickSort
Этот рекурсивный алгоритм разделяет список
A[low]--A[high] по центральному элементу, который выбирается из середины списка
|
mid
= (high + low) / 2;
pivot
= A[mid];
|
После обмена местами центрального элемента с A[low],
задаются начальные значения индексам scanUp = low + 1 и scanDown = high,
указывающим на начало и конец списка, соответственно. Алгоритм управляет этими
двумя индексами. Сначала scanUp продвигается вверх по списку, пока не превысит
значение scanDown или пока не встретится элемент больший, чем центральный.
|
while
(scanUp <= scanDown && A[scanUp] <= pivot)
scanUp++;
|
После позиционирования scanUp индекс scanDown
продвигается вниз по списку, пока не встретится элемент, меньший или равный
центральному.
|
while
(pivot < A[scanDown])
scanDown--;
|
По окончании этого цикла (и при условии что scanUp
< scanDown) оба индекса адресуют два элемента, находящихся не в тех
подсписках. Эти элементы меняются местами.
| Swap(A[scanUp],
A[scanDown]); |
Обмен элементов прекращается, когда scanDown
становится меньше, чем scanUp. В этот момент scanDown указывает начало левого
подсписка, который содержит меньшие или равные центральному элементы. Индекс
scanDown становится центральным. Взять центральный элемент из A[low]:
| Swap(A[low],
A[scanDown]); |
Для обработки подсписков используется рекурсия. После
обнаружения точки разбиения мы рекурсивно вызываем QuickSort с параметрами low,
mid-1 и mid+1, high. Условие останова возникает, когда в подсписке остается
менее двух элементов, так как одноэлементный или пустой массив упорядочивать не
нужно.
|
// Swap меняет местами
элементы массива. Соответствующий тип данных
// должен поддерживать
операцию «=».
template <class T>
void Swap(T & el1, T & el2)
{
T tmp = el1;
el1 = el2;
el2 = tmp;
}
// QuickSort принимает в
качестве параметров массив
// и предельные значения
его индексов
template <class T>
void QuickSort(T A[], int low, int high)
{
// локальные переменные, содержащие индекс
середины - mid,
// центральный элемент и индексы
сканирования
T pivot;
int scanUp, scanDown;
int mid;
// если диапазон индексов не включает в себя
// как минимум два элемента, завершить
работу
if(high - low <= 0)
return;
else if(high - low == 1)
{
// если в подсписке два элемента,
сравнить их между собой
// и поменять местами при необходимости
if(A[high] < A[low])
Swap(A[low], A[high]);
return;
}
// Рассчитать индекс середины и поместить
значение соответствующего
// элемента массива в переменную pivot.
mid = (low + high)/2;
pivot = A[mid];
// Поменять местами центральный и начальный элементы списка.
Swap(A[mid], A[low]);
// Инициализировать индексы scanUp и scanDown.
scanUp = low + 1;
scanDown = high;
// Искать элементы, расположенные не в тех
подсписках.
// Остановиться при scanDown < scanUp.
do
{
// Продвигаться вверх по первому
подсписку. Остановиться,
// когда scanUp укажет на второй
подсписок или если
// указываемый этим индексом элемент >
центрального.
while(scanUp <= scanDown &&
A[scanUp] <= pivot)
scanUp++;
// Продвигаться вниз по второму
подсписку. Остановиться,
// когда scanDown указжет на элемент
>= центральному.
while(A[scanDown] > pivot)
scanDown--;
// Если индексы все еще в своих подсписках, то они
указывают
// на два элемента, находящихся не в тех
подсписках.
if(scanUp < scanDown)
{
// Поменять их местами
Swap(A[scanUp],
A[scanDown]);
}
}
while(scanUp < scanDown);
// Скопировать элемент на который указывает
точка разбиения
// в первый элемент первого подсписка, ...
A[low] = A[scanDown];
// а центральный элемент в точку разбиения
A[scanDown] = pivot;
// если первый подсписок (low...scanDown-1)
имеет 2 или более
// элемента, выполнить для него рекурсивный
вызов QuickSort
if(low < scanDown-1)
QuickSort(A, low,
scanDown-1);
// если второй подсписок (scanDown+1...high) имеет 2 или более
// элемента, выполнить
|