Метризуемость топологических пространств

Для положим и для .

Для каждой точки . Рассмотрим полученные суммы. Так как , где , то . Так как для любых , то . Тогда , т.е. . Таким образом . Следовательно, множество открыто в тихоновской топологии произведения.

2) Пусть множество открыто в топологии произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной метрикой .

Требуется доказать, что для любой точки найдется такое , что .

Так как множество открыто в топологии произведении, то для некоторого множества , где - открыто в и для любого и для всех индексов кроме конечного их числа. Поскольку и открыто в , то для конечного числа индексов, для которых . Пусть - наименьший из этих значений . Докажем, что . Возьмем произвольное . Тогда . Отсюда для любого . Это означает, что для любого . Получили . Следовательно, множество открыто в топологии, индуцируемой метрикой . Теорема доказана.

Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств

1. Дискретное топологическое пространство.

- произвольное непустое множество. Открытым назовем любое подмножество в . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Рассмотрим Для любого множество открыто, так как . Следовательно, открыто и любое подмножество в как объединение одноэлементных множеств. Вывод: дискретное топологическое пространство – метризуемо.

2. Двоеточия.

. Рассмотрим топологии на .

1) - простое двоеточие.

2) - связное двоеточие.

3) - слипшееся двоеточие.

- метризуемо, так как топология - дискретная.

, - неметризуемы, так как не являются хаусдорфовыми.

3. Стрелка ().

В открытыми назовем и множества вида , где . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Топологическое пространство не является хаусдорфовым, а значит неметризуемо.

4. Окружности Александрова (пространство ).

Открытые множества в :

первого рода: интервал на малой окружности плюс его проекция на большую окружность , из которой выброшено конечное число точек.

второго рода: каждая точка на большой окружности открыта.

1. Множество замкнуто в тогда и только тогда, когда - конечно.

Доказательство. Очевидно, что любое конечное множество замкнуто как дополнение открытого. Пусть и - бесконечно. Докажем, что - незамкнуто.

Так как - бесконечно, то оно содержит счетное подмножество, которое можно рассмотреть как последовательность точек, принадлежащих . Эта последовательность ограничена в , по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Так как замкнуто в , то предел этой последовательности . Пусть - точка, для которой является проекцией на . Возьмем произвольное открытое в множество , содержащее точку . Тогда исходя из структуры открытых множеств первого рода получаем, что содержит бесконечно много точек множества , т.е. является предельной точкой множества . При этом . Следовательно, - незамкнуто.

2. Множество не совершенно нормально.

Доказательство. Пусть дуга . Множество открыто, как объединение открытых одноэлементных множеств. Замкнутыми в являются по доказанному лишь конечные множества. Но счетное объединение конечных множеств счетно. Следовательно открыто и не является множеством типа . Таким образом множество неметризуемо.

Библиографический список

1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. – М.: Наука, 1973.

2. Энгелькинг Р. Общая топология – М.: Мир, 1986.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М. Наука, 1989.