Метризуемость топологических пространств

alt="Метризуемость топологических пространств" width="249" height="26" align="BOTTOM" border="0" /> (поскольку ) и выражение есть величина неотрицательная, то неравенство является верным.

2. 1)

2) так как и , то вторая аксиома очевидна: .

3) рассмотрим точки ,, и докажем следующее неравенство: .

Тогда и .

3. 1)

2) так как и , то вторая аксиома очевидна:

.

3) рассмотрим точки ,,.

Неравенство: - очевидно.

Введенные метрики и эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.

Пусть метрика порождает топологию , - топологию и - топологию . Достаточно показать два равенства.

Покажем, что .

Рассмотрим множество, открытое в и покажем, что открыто в . Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда открыто и в .

Аналогично доказывается, что . А тогда и .

Глава II. Свойства метризуемых пространств

Свойство 1. Метризуемое пространство хаусдорфово.

Доказательство. Пусть . Возьмем . Докажем, что .

Предположим, что , тогда существует , т.е. и . Тогда, . Получили противоречие. Следовательно, .

Следствие. Метризуемое пространство является - пространством.

Определение. Расстоянием от точки до множества в метрическом пространстве называется .

Утверждение 2. Пусть множество фиксировано; тогда функция , сопоставляющая каждой точке расстояние , непрерывна на пространстве .

Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности: функция называется непрерывной в точке , если .

Из неравенства , где , получаем . Аналогично . Из полученных неравенств следует .

Для произвольного возьмем . Тогда из неравенства следует . Непрерывность доказана.

Лемма. – замкнутое множество в метрическом пространстве . Для любого расстояние от до множества положительно.

Доказательство.

Множество замкнуто, отсюда следует, что множество - открыто. Так как точка принадлежит открытому множеству , то существует такое, что . Так как , то для некоторого . Поэтому для любого . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Свойство 2. Метризуемое пространство нормально.

Доказательство. По доказанному метризуемое пространство является

-пространством. Остается доказать, что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества и имеют непересекающиеся окрестности.

Так как и множество замкнуто по условию, то для любого по лемме .

Обозначим и для произвольных и .

Множества и открыты как объединения открытых шаров в и содержат соответственно множества и .

Следовательно, - окрестность множества , - окрестность множества .

Докажем, что .

Предположим, что , то есть . Тогда из условия следует, что для некоторого . Отсюда .

Аналогично получаем для некоторого . Для определенности пусть . Тогда .

Получаем , для некоторой точки , что невозможно в силу определения расстояния от точки до множества.

Следовательно . Таким образом, является -пространством, а, значит, нормальным пространством. Теорема доказана.

Свойство 3. В метризуемом пространстве выполняется первая аксиома счетности.

Доказательство. Пусть - произвольное открытое множество, содержащее точку . Так как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то содержится в вместе с некоторым открытым шаром, то есть для некоторых и . По утверждению 1 найдется такое , что .

Возьмем , для которого . Тогда . Таким образом открытые шары , образуют определяющую систему окрестностей точки . Очевидно, что множество этих окрестностей счетно. Что и требовалось доказать.

Определение. Множеством типа или просто - множеством пространства называется всякое множество , являющееся объединением счетного числа замкнутых (в ) множеств.

Определение. Множеством типа или просто - множеством пространства называется всякое множество , являющееся пересечением счетного числа открытых (в ) множеств.

Очевидно, что множества типа и являются взаимно дополнительными друг для друга.

Определение. Нормальное пространство, в котором всякое замкнутое множество является множеством типа , называется совершенно нормальным.

Утверждение 3. Нормальное пространство является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда всякое открытое множество, принадлежащее этому пространству, является множеством типа .

Свойство 4. Метризуемое пространство совершенно нормально.

Доказательство. Пусть - непустое замкнутое множество в . Тогда для непрерывной функции (непрерывность ее установлена в утверждении 2). Обозначим , множества открыты в как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении. Докажем, что .

Пусть , тогда . Так как для любого , то для любого . Отсюда .

Обратно. Пусть , тогда для любого . Отсюда для любого , поэтому для любого , тогда , значит . Таким образом множество является множеством типа