Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками

одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками" width="363" height="52" />.

Пусть теперь имеет место случай 2), причем :

.

В этом случае уравнение (6) принимает вид:

, (32)

где .

Учитывая условие (7), из (32) получаем соотношение , . Подставляя это значение в (32), находим

. (33)

Подставляя (33) в (10), получаем нагруженное уравнение:

, (34)

где ,

,

,

с внутренне-краевыми условиями (12).

Рассмотрим частный случай, когда , т.е.

=; , т.е.

; , т.е.

.

Тогда общее решение однородного уравнения

 имеет вид [4]:

где .

Пусть . Методом вариации постоянных находим общее решение неоднородного уравнения (34) в виде:

, (35)

где ,

.

Удовлетворяя (35) условиям (12), получаем:

,

,

где

,

,

, причем выполняется условие

, т.е. .

Равенство (35) перепишем в виде:

, (36)

где , .

Из (36) при , имеем

,

если выполняется условие , т.е.

.

Пусть имеет место случай 3), причем , . Тогда уравнение (6) принимает вид [1]:

. (37)

Полагая в равенстве (37)  и, учитывая условия , получим:

.

Следовательно, для  имеем представление

, (38)

где .

Если выполняется условие 4) и функции , причем , то имеем равенство

. (39)

Полагая в равенстве (39)  и, учитывая условие , находим

.

Таким образом, имеем, что

. (40)

Полагая в равенствах (38), (40) , найдем , а затем, подставляя их в равенство (10), однозначно найдем неизвестную функцию .

Случай  исследуется аналогично.

После определения функций  решение задачи  в области  задается формулой (4), а в области  приходим к задаче (1), (2), .

Решение этой задачи дается формулой [5]:

 

, (41)

где

 .

Отсюда, полагая в равенстве (41) , получаем систему интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода:

 (42)

где ,

.

В силу свойств функции  и ядер системы (42), нетрудно убедиться, что система уравнений (42) допускает единственное решение в пространстве  [3].

Список литературы

Наджафов Х.М. Об одной общей краевой задаче со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Известия КБНЦ РАН. Нальчик, №1(8), 2002.

Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.1984.

Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Л.-М., Т.1, 1934.

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.

Джураев Т.Б. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979.