Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками
одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками" width="363" height="52" />.
Пусть теперь имеет место случай 2), причем :
.
В этом случае уравнение (6) принимает вид:
, (32)
где 
.
Учитывая условие (7), из (32) получаем
соотношение 
, 
. Подставляя
это значение в (32), находим
. (33)
Подставляя (33) в (10), получаем нагруженное
уравнение:
, (34)
где 
,
,
,
с внутренне-краевыми условиями (12).
Рассмотрим частный случай, когда 
, т.е.
=
; 
, т.е.
; 
, т.е.
.
Тогда общее решение однородного уравнения
имеет вид [4]:
где 
.
Пусть 
. Методом
вариации постоянных находим общее решение неоднородного уравнения (34) в виде:
, (35)
где 
,
.
Удовлетворяя (35) условиям (12), получаем:
,
,
где
,
,
, причем
выполняется условие
, т.е. 
.
Равенство (35) перепишем в виде:
, (36)
где 
, 
.
Из (36) при 
, имеем
,
если выполняется условие 
, т.е.
.
Пусть имеет место случай 3), причем 
, 
. Тогда
уравнение (6) принимает вид [1]:
. (37)
Полагая в равенстве (37) 
и, учитывая условия 
, получим:
.
Следовательно, для 
имеем представление
, (38)
где 
.
Если выполняется условие 4) и функции 
, причем , то имеем
равенство
. (39)
Полагая в равенстве (39) 
и, учитывая условие 
, находим
.
Таким образом, имеем, что
. (40)
Полагая в равенствах (38), (40) 
, найдем 
, а затем,
подставляя их в равенство (10), однозначно найдем неизвестную функцию 
.
Случай 
исследуется аналогично.
После определения функций 
решение задачи 
в области 
задается формулой (4), а в области 
приходим к задаче (1), (2), 
.
Решение этой задачи дается формулой [5]:
, (41)
где 
.
Отсюда, полагая в равенстве (41) 
, получаем
систему интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода:
(42)
где 
,
.
В силу свойств функции 
и ядер системы (42), нетрудно убедиться, что
система уравнений (42) допускает единственное решение в пространстве 
[3].
Список литературы
Наджафов Х.М. Об одной общей краевой задаче
со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Известия КБНЦ РАН. Нальчик,
№1(8), 2002.
Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.1984.
Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Л.-М., Т.1,
1934.
Камке Э. Справочник по обыкновенным
дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.
Джураев Т.Б. Краевые задачи для уравнений
смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979.