Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками
Кодзодков А.Х.
Кафедра математического
анализа.
Кабардино-Балкарский
государственный университет
Рассмотрим линейное нагруженное уравнение
третьего порядка:
(1)
в – области 
, ограниченной
отрезками 
прямых 
соответственно при 
и характеристиками 
, 
уравнения (1) при ; 
; 
– интервал 
, 
– интервал 
.
Здесь положено, что:
1) 
или 2) 
.
Пусть имеет место случай (1).
Задача 
. Найти
функцию 
со следующими свойствами: 1) 
;
2) 
– регулярное решение уравнения (1) при 
;
3) 
удовлетворяет краевым условиям
, 
; (2)
,
, (3)
где 
, 
– аффиксы точек пересечения характеристик уравнения
(1) при y < 0, выходящих из точки 
с характеристиками АС и ВС соответственно; 
, 
, 
.
Опираясь на однозначную разрешимость задачи
Коши для уравнения (1) при y < 0 с начальными данными 
, 
, легко
видеть, что если существует решение задачи , то оно представимо
в виде:
. (4)
Учитывая (4) в краевом условии (3), получаем:
, (5)
где 
.
Следуя [1], обозначим через 
первообразную функции 
. Тогда
уравнение (5) примет вид:
, (6)
, (7)
где 
.
Относительно коэффициентов уравнения (6)
будем рассматривать аналогичные ситуации, приведенные в работе [1]:
1) 
, т.е. 
;
2) 
, , т.е. 
;
3), т.е. 
;
4) 
, 
, т.е. 
.
Пусть имеет место случай (1) и функции 
. Решение
задачи (6), (7) в этом случае имеет вид:
, (8)
где 
.
Дифференцируя равенство (8) и делая несложные
преобразования, получаем:
(9)
где 
,
, 
,
,
, 
.
Переходя к пределу в уравнении (1) при 
, получаем
функциональное соотношение между 
и 
, принесенное
из области 
, на линию 
:
. (10)
В силу граничных условий (2) и равенства (9)
получим нелокальную задачу для нагруженного неоднородного интегро-дифференциального
уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами:
, (11)
, (12)
где 
.
В начале положим, что 
, т.е.
, 
, т.е.
.
В зависимости от значений корней
характеристического уравнения
, (13)
соответствующего однородному уравнению (11) (
), будем
исследовать разрешимость задачи (11), (12).
Введем обозначение 
. Логически
возможны три различных случая: 1) S>0, 2) S=0, 3) S<0.
Известно, что [2]: 1) если S>0, то
уравнение (13) имеет только один действительный корень, а два остальных корня
будут сопряженными чисто комплексными числами; 2) если S=0, то все три корня
уравнения (13) действительны, причем два из них равны; 3) если S<0, то все
три корня уравнения (13) действительны, причем все они различны.
Пусть S=0, т.е. 
.
Общее решение уравнения (11) в этом случае
имеет вид:
, (14)
где 
,
