Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

width="53" height="29" align="BOTTOM" border="0" />).
При этом

(2.1)

Формулу выведем в 3 этапа.

Пусть (р-1 штук), (их количество по формуле (1.5)), (по р штук) (2.2).

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)3р5(р+1) (2.3)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , .

При условии (2.2) не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:

а) (р-1 штук), и . Из (2.1) получаем равенство .

а1) Пусть =0. Тогда и . Значит элементов всего р-1 штук, количество невырожденных матриц - (р-1)2р(р+1). Т.к то из выражения получаем равенство , т.е. хотя бы один из этих элементов не равен нулю. Пусть . Из того, что получаем . Элементом , принимающим любое значение, можем однозначно задать элемент . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)4Чр2Ч(р+1) штук.

а2) Если №0, .Тогда и . Значит элементов всего р-1 штук, количество невырожденных матриц - (р-1)2р(р+1). Т.к , то, из выражения получаем . Пусть . Домножим равенство () на . Заменим на (из того, что ). Получим равенство . Вынесем за скобки и т.к. делаем вывод, что . Значит и (). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)5ЧрЧ(р+1) штук.

а3) Если №0, и получаем (р-1)4Чр2Ч(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а1)

а4) Если №0, , и получаем
(р-1)5ЧрЧ(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а2)

а5) Если №0, , и . Из того, что получаем . Пусть . Равенство () умножим на и заменим на (). Получим равенство . Вынося за скобки (), замечаем, что элемент однозначно выражается через ( - р-1 штук). Но тогда тоже выражается через эти элементы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)6ЧрЧ(р+1)штук.

Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта а) подсчитывается по формуле
(р-1)4ЧрЧ(р+1)Ч(р2+2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах а1-а5).

б) (р-1 штук), ((р-1)2ЧрЧ(р+1)) штук). Т.к. , значит (2.4)

б1) Пусть =0. Тогда из (2.4) выводится равенство

(2.5)

а из (2.5) получим . Распишем (2.5): . Т.е. однозначно выражается через элемент , которых может быть р штук, и через элементы , , , , . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)4Чр2Ч(р+1).

б2) Если №0, .Тогда получим опять равенство (2.5) и из него . Элементов всего р-1 штук. Т.к , то получаем что . Пусть . Умножив равенство (2.5) на , выражая и произведя замену на получим равенство . А т.к. и делаем вывод, что и выражаются через все остальные элементы матрицы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям
(р-1)5ЧрЧ(р+1) штук.

б3) Если №0, и получаем (р-1)4Чр2Ч(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в
пункте б1)

б4) Если №0, , и получаем
(р-1)5ЧрЧ(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в пункте б2)

б5) Пусть №0, , и . Из того, что , получаем . Пусть . Тогда преобразовывая (2.4) получаем, что однозначно выражается через и все остальные элементы.

Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)6ЧрЧ(р+1) штук.

Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта б) подсчитывается по формуле
(р-1)4ЧрЧ(р+1)Ч(р2+2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах б1-б5).

Значит формула (р-1)3р5(р+1) для случая 1) при условии (2.2) верна.

2) Пусть , (количество их р-1), (количество высчитывается по формуле (1.5)) и (по р штук). Тогда из (2.1) получаем

.

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)3р4(р+1) (2.6)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , и .

Но при этих условиях не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:

а) , и . Из (2.1) получаем равенство , , а из того что получаем что, например, элемент