Расчёт частотных и временных характеристик линейных цепей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ


Харьковский государственный технический университет радиоэлектроники


Расчетно пояснительная записка

к курсовой работе

по курсу «Основы радиоэлектроники»


Тема: Расчёт частотных и временных характеристик линейных цепей


Вариант №34

Выполнил:

студент группы БЭА 98 1

Дмитренко С.Н.

Консультант:

доц. Олейников А.Н.

2000

СОДЕРЖАНИЕ


ВВЕДЕНИЕ 3
ЗАДАНИЕ 4
1 РАСЧЁТ КОМПЛЕКСНОГО ВХОДНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ЦЕПИ 5
1.1 Определение комплексного входного сопротивления цепи 5
1.2 Определение активной составляющей комплексного входного сопротивления цепи

6
1.3 Определение реактивной составляющей комплексного входного сопротивления цепи

7
1.4 Определение модуля комплексного входного сопротивления цепи

9
1.5 Определение аргумента комплексного входного сопротивления цепи

10
2 РАСЧЁТ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЦЕПИ 12
2.1 Определение комплексного коэффициента передачи цепи 12
2.2 Определение амплитудно-частотной характеристики цепи 12
2.3 Определение фазочастотной характеристики цепи 14
3 РАСЧЕТ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЦЕПИ 16
3.1 Определение переходной характеристики цепи 16
3.2 Определение импульсной характеристики цепи 19
3.3 Расчет отклика цепи на заданное воздействие методом интеграла Дюамеля

22
ВЫВОДЫ 27
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНЫХ ИСТОЧНИКОВ 28

ВВЕДЕНИЕ


Знание фундаментальных базовых дисциплин в подготовке и формировании будущего инженера-конструктора весьма велико.

Дисциплина «Основы радиоэлектроники» (ОРЭ) относится к числу базовых дисциплин. При изучении данного курса приобретаются теоретические знания и практические навыки по использованию этих знаний для расчета конкретных электрических цепей.

Основная цель курсовой работы – закрепление и углубление знаний по следующим разделам курса ОРЭ:

расчет линейных электрических цепей при гармоническом воздействием методом комплексных амплитуд;

частотные характеристики линейных электрических цепей;

временные характеристики цепей;

методы анализа переходных процессов в линейных цепях (классический, интегралы наложения).

Курсовая работа закрепляет знания в соответствующей области, а тем у кого никаких знаний нет предлагается их получить практическим методом – решением поставленных задач.

ЗАДАНИЕ




Вариант № 34

R1, Ом 4,5 t1, мкс 30
R2, Ом 1590 I1, А 7
R3, Ом 1100

L, мкГн 43

C, пФ 18,8

Реакция




Задание:

  1. Определить комплексное входное сопротивление цепи.

  2. Найти модуль, аргумент, активную и реактивную составляющие комплексного сопротивления цепи.

  3. Расчет и построение частотных зависимостей модуля, аргумента, активной и реактивной составляющих комплексного входного сопротивления.

  4. Определить комплексный коэффициент передачи цепи, построить графики амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик.

  5. Определить классическим методом переходную характеристику цепи и построить ее график.

  6. Найти импульсную характеристику цепи и построить ее график.

  7. Рассчитать отклик цепи на заданное воздействие и построить график отклика.


1 РАСЧЁТ КОМПЛЕКСНОГО ВХОДНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ЦЕПИ


1.1 Определение комплексного входного сопротивления цепи


(1)

После подстановки числовых значений получим:


(2)

1.2 Определение активной составляющей комплексного входного сопротивления цепи


Из (2) видно, что активная составляющая комплексного входного сопротивления цепи равна:

(3)

Результаты расчётов приведены в таблице 1.1, а кривая, построенная на основании результатов, имеет вид графика изображённого на рисунке 1.1


Таблица 1.1 Зависимость активной составляющей от частоты

w, рад/c

R(w), Ом

0

654.6858736

1*10^7

644.7488512

2*10^7

628.547516

3*10^7

640.8052093

4*10^7

711.6552945

5*10^7

835.0124845

6*10^7

975.66653

7*10^7

1103.2978887

8*10^7

1206.27837

9*10^7

1285.1867918

1*10^8

1344.7103773

1.1*10^8

1389.7224921

1.2*10^8

1424.132605

1.3*10^8

1450.8140349

1.4*10^8

1471.8158424

1.5*10^8

1488.5909995

1.6*10^8

1502.175626

1.7*10^8

1513.316686

1.8*10^8

1522.5598201

1.9*10^8

1530.3091743

2*10^8

1536.8682451

2.1*10^8

1542.4679891

2.2*10^8

1547.2863847

2.3*10^8

1551.4622108

2.4*10^8

1555.104878

2.5*10^8

1558.3015308

2.6*10^8

1561.1222429

2.7*10^8

1563.623861

2.8*10^8

1565.8528828

2.9*10^8

1567.8476326

3*10^8

1569.6399241

3.1*10^8

1571.2563425

3.2*10^8

1572.7192423

3.3*10^8

1574.04753

3.4*10^8

1575.2572835

3.5*10^8

1576.3622454

3.6*10^8

1577.3742185

3.7*10^8

1578.3033862

3.8*10^8

1579.1585717

3.9*10^8

1579.9474512

4*10^8

1580.676728

4.1*10^8

1581.3522774

4.2*10^8

1581.9792664

4.3*10^8

1582.5622541

4.4*10^8

1583.1052755

4.5*10^8

1583.6119126

4.6*10^8

1584.0853538

4.7*10^8

1584.5284451

4.8*10^8

1584.9437332

4.9*10^8

1585.3335025

5*10^8

1585.699807

1594.5





Рисунок 1.1   Зависимость активной составляющей от частоты; размерность R(w) – Ом, w – рад/с


1.3 Определение реактивной составляющей комплексного входного сопротивления цепи


Из (2) видно, что реактивная составляющая комплексного входного сопротивления цепи равна:

(4)

Результаты расчётов приведены в таблице 1.2, а кривая, построенная на основании результатов, имеет вид графика изображённого на рисунке 1.2


Таблица 1.2 Зависимость реактивной составляющей от частоты

w, рад/с

X(w), Ом

0

0

2.5*10^7

246.0721781

7.5*10^7

621.5367231

1*10^8

537.3271164

1.5*10^8

383.2305778

1.75*10^8

331.4740341

2.25*10^8

259.7380449

2.5*10^8

234.1512213

3*10^8

195.4771722

3.25*10^8

180.5329631

3.5*10^8

167.7003466

3.75*10^8

156.564089

4*10^8

146.8103054

4.5*10^8

130.5374047

4.75*10^8

123.6804004

5*10^8

117.5068169

5.25*10^8

111.9195119

5.75*10^8

102.199084

6*10^8

97.9451927

6.5*10^8

90.4174982

6.75*10^8

87.071266

7.25*10^8

81.070308

7.5*10^8

78.3695601

8*10^8

73.4739969

8.25*10^8

71.2485584

8.75*10^8

67.1789125

9*10^8

65.313547

9.5*10^8

61.8771764

1*10^9

58.7842651

0



Рисунок 1.2  Зависимость реактивной составляющей от частоты; размерность X(w) – Ом, w – рад/с

1.4 Определение модуля комплексного входного сопротивления цепи


Модуль комплексного входного сопротивления цепи:

(5)

Подставляя выражения (3) и (4) получим:

(6)

Результаты расчётов приведены в таблице 1.3, а кривая, построенная на основании результатов, имеет вид графика изображённого на рисунке 1.3


Таблица 1.3 Зависимость модуля от частоты

w, рад/с

ModZ(w), Ом

0

654.6858736

1*10^7

649.2212009

1.42*10^7

647.35766 min

3*10^7

715.7636509

4*10^7

849.7354647

6*10^7

1158.5565761

7*10^7

1270.5610656

9*10^7

1407.7765634

1*10^8

1448.0906149

1.2*10^8

1498.7078464

1.3*10^8

1514.9060929

1.5*10^8

1537.1300659

1.6*10^8

1544.9118415

2*10^8

1564.25307

2.1*10^8

1567.2999067

2.3*10^8

1572.1477461

2.4*10^8

1574.0946495

2.6*10^8

1577.2894385

2.7*10^8

1578.6096652

2.9*10^8

1580.827954

3*10^8

1581.7650952

3.2*10^8

1583.3693222

3.3*10^8

1584.059005

3.5*10^8

1585.257498

3.6*10^8

1585.7801122

3.8*10^8

1586.699579

3.9*10^8

1587.1052533

4.1*10^8

1587.8264025

4.2*10^8

1588.1477312

4.4*10^8

1588.7239824

4.5*10^8

1588.9829149

4.6*10^8

1589.2246865

4.7*10^8

1589.4507882

4.8*10^8

1589.6625517

4.9*10^8

1589.8611698

5*10^8

1590.0477131

1594.5




Рисунок 1.3   Зависимость модуля от частоты; размерность ModZ(w) – Ом,

w – рад/с


1.5 Определение аргумента комплексного входного сопротивления цепи


Аргумент комплексного входного сопротивления цепи:

(7)

Подставляя выражения (3) и (4) получим:

(8)

Результаты расчётов приведены в таблице 1.4, а кривая, построенная на основании результатов, имеет вид графика изображённого на рисунке 1.4


Таблица 1.4 Зависимость аргумента от частоты

w, рад/c

ArgZ(w),рад

0

0

1*10^7

0.1174454

2*10^7

0.2790074

3*10^7

0.4617485

4*10^7

0.5781004

5*10^7

0.6013055

6*10^7

0.5695574

7*10^7

0.5189209

8*10^7

0.4671155

9*10^7

0.4204151

1*10^8

0.3801492

1.3*10^8

0.2919224

1.4*10^8

0.2705269

1.6*10^8

0.2357585

1.8*10^8

0.2088236

1.9*10^8

0.1975292

2*10^8

0.1873925

2.2*10^8

0.1699518

2.3*10^8

0.1623974

2.4*10^8

0.1554881

2.6*10^8

0.1433007

2.7*10^8

0.1378992

2.8*10^8

0.1328918

3*10^8

0.1238984

3.2*10^8

0.1160497

3.3*10^8

0.1124883

3.4*10^8

0.1091398

0



Рисунок 1.3   Зависимость аргумента от частоты; размерность ArgZ(w) – рад,

w – рад/с

2 РАСЧЁТ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЦЕПИ


2.1 Определение комплексного коэффициента передачи цепи


Комплексный коэффициент передачи цепи:

(9)

Предположим, входной ток есть, тогда:


(10)


Подставляя выражение (10) в (9) получим:

(11)

2.2 Определение амплитудно-частотной характеристики цепи


Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ):


,

(12)

где:

(13), а (14)

Подставляя числовые значения в выражения (13) и (14), а затем в (12) получим:


(15)


Результаты расчётов приведены в таблице 2.1, а кривая, построенная на основании результатов, имеет вид графика изображённого на рисунке 2.1


Таблица 2.1 Зависимость ModK(jw) от частоты

w, рад/с

ModK(jw)

0

0.5910781

1*10^7

0.5992408

2*10^7

0.6179827

3*10^7

0.6324491

4*10^7

0.6273599

5*10^7

0.5983093

7*10^7

0.5024911

8*10^7

0.4538942

9*10^7

0.4104007

1*10^8

0.3726731

1.1*10^8

0.3403078

1.3*10^8

0.2887096

1.4*10^8

0.2680577

1.5*10^8

0.2500606

1.6*10^8

0.2342674

1.7*10^8

0.2203143

1.9*10^8

0.1968111

2*10^8

0.186831

2.1*10^8

0.1778097

2.2*10^8

0.169617

2.3*10^8

0.1621448

2.4*10^8

0.1553027

2.5*10^8

0.1490146

2.7*10^8

0.1378528

2.8*10^8

0.132877

3*10^8

0.1239321

3.1*10^8

0.1198974

3.2*10^8

0.1161177

3.3*10^8

0.1125694

3.4*10^8

0.109232

3.5*10^8

0.1060873

3.6*10^8

0.1031189

3.8*10^8

0.097655

3.9*10^8

0.0951351

4*10^8

0.0927421

4.1*10^8

0.0904669

4.2*10^8

0.0883008

4.3*10^8

0.0862362

4.4*10^8

0.0842662

4.6*10^8

0.0805848

4.7*10^8

0.0788623

4.8*10^8

0.0772121

4.9*10^8

0.0756296

5*10^8

0.0741108

5.1*10^8

0.0726519

5.2*10^8

0.0712494

5.4*10^8

0.0686011

5.5*10^8

0.0673495

5.6*10^8

0.0661428

5.7*10^8

0.0649787

5.8*10^8

0.0638548

5.9*10^8

0.0627693

6*10^8

0.0617201

0



Рисунок 2.1   АЧХ цепи; размерность w – рад/с, ModK(w) – безразмерная величина


2.3 Определение фазочастотной характеристики цепи


Фазочастотная характеристика цепи (ФЧХ):

(16)

Подставляя числовые значения в (16) получим:

(17)

Результаты расчётов приведены в таблице 2.2, а кривая, построенная на основании результатов, имеет вид графика изображённого на рисунке 2.2



Таблица 2.2 Зависимость ArgK(jw) от частоты

w, рад/с

ArgK(jw), рад

0

0

1*10^7

-0.0799271

3*10^7

-0.3226808

5*10^7

-0.6462386

7*10^7

-0.9086729

9*10^7

-1.0769648

1.1*10^8

-1.1826898

1.3*10^8

-1.2524606

1.5*10^8

-1.3011954

1.7*10^8

-1.3369474

1.9*10^8

-1.3642366

2.1*10^8

-1.3857381

2.3*10^8

-1.4031184

2.5*10^8

-1.4174637

2.7*10^8

-1.42951

2.9*10^8

-1.4397731

3.1*10^8

-1.4486249

3.3*10^8

-1.4563401

3.5*10^8

-1.4631264

3.7*10^8

-1.4691435

3.9*10^8

-1.4745161

4.1*10^8

-1.4793434

4.3*10^8

-1.483705

4.6*10^8

-1.4895127

4.8*10^8

-1.492969

5*10^8

-1.4961411

5.2*10^8

-1.4990628

5.4*10^8

-1.5017629

5.6*10^8

-1.5042658

5.8*10^8

-1.5065924

6*10^8

-1.5087609

-1,5707963




Рисунок 2.2   ФЧХ цепи; размерность ArgK(w) – рад, w – рад/с


3 РАСЧЕТ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЦЕПИ


3.1 Определение переходной характеристики цепи


Переходная характеристика цепи:


h(t)=hпр(t)+hсв(t) (18)

Т.к. воздействие – ток, а реакция – ток на индуктивности, следует (см. рисунок 3.1):


,

(19)

г
де Io – единичный скачок тока.


Для определения режима переходного процесса запишем входное сопротивление в операторной форме:

Рисунок 3.1 Эквивалентная схема при t стремящемся к бесконечности

(20)

Приравнивая знаменатель к нулю, после несложных преобразований получим:


или ,

где:


,

 (21)

(рад/с)

 (22)

Т.к. , следует режим колебательный, а значит:


,

(23)

где:

(рад/с)

(24)

– угловая частота затухающих свободных колебаний в контуре, А и   постоянные интегрирования.


Для определения постоянных интегрирования составим два уравнения для начальных значений (+0) и (+0):


(25), (26) (см.


рисунок 3.2),


(27),

т.к. в момент комутации напряжение на сопротивлении R2 равно напряжению на индуктивности (см. рисунок 3.2).


 (28)

(29)

Рисунок 3.2 – Эквивалентная схема в момент коммутации


Подставляя выражения (19), (21), (23), (24), (26), (27), (28), (29) в (25) получим:

(30)



(31)



(32)


(33)


Результаты расчётов приведены в таблице 3.1, а кривая, построенная на основании результатов, имеет вид графика изображённого на рисунке 3.3


Таблица 3.1 Расчёт переходной характеристики

t, с

h(t)

0

0

1.00e-8

0.303504193

2.00e-8

0.489869715

4.00e-8

0.632067650

5.00e-8

0.642131278

7.00e-8

0.624823543

8.00e-8

0.613243233

1.00e-7

0.597388596

1.10e-7

0.593357643

1.30e-7

0.590241988

1.40e-7

0.590004903

1.70e-7

0.590600383

1.90e-7

0.590939689

2.00e-7

0.591026845

2.20e-7

0.591095065

2.30e-7

0.591100606

2.50e-7

0.591093538

2.60e-7

0.591088357

2.80e-7

0.591081098

3.00e-7

0.591078184

0.591078066



Рисунок 3.3 – Переходная характеристика цепи; размерность t – сек,

h(t) – безразмерная величина


Как видно из рисунка 3.3, свободные колебания затухают достаточно быстро; при таком масштабе рисунка видны колебания в течение, примерно, одного периода свободных колебаний (), однако переходной процесс длится немного дольше, а спустя 0,3 мкс колебаниями можно пренебречь т.к. они достаточно малы (см. таблицу 3.1) и считать переходной процесс завершенным.


3.2 Определение импульсной характеристики цепи


Импульсная характеристики цепи:

(34),


(35),

где 1(t) – единичная функция.


Подставляя (33) в (35) находим:

(36)

Результаты расчётов приведены в таблице 3.2, а кривая, построенная на основании результатов, имеет вид графика изображённого на рисунке 3.4 и 3.5




Рисунок 3.4 – Импульсная характеристика цепи в крупном масштабе; размерность t – сек, g(t) – безразмерная величина


Оба графика имеют одну и ту же шкалу времени, поэтому можно оценить, насколько быстро затухают колебания, и во сколько раз уменьшается их амплитуда за ничтожный промежуток времени.


Таблица 3.2 Расчёт импульсной характеристики

t, c

g(t)

0

3.697e7

4.0e-8

2.299e6

6.0e-8

-9.911e5

8.0e-8

-1.066e6

1.0e-7

-5.184e5

1.2e-7

-1.460e5

1.4e-7

-1.503e3

1.8e-7

1.697e4

2.0e-7

6.486e3

2.2e-7

1.167e3

2.4e-7

-412.634

2.6e-7

-482.050

2.8e-7

-240.781

3.0e-7

-70.193

3.2e-7

-2.270

3.6e-7

7.780

3.8e-7

3.053

4.0e-7

0.587

4.2e-7

-0.169

4.4e-7

-0.218

4.6e-7

-0.112

4.8e-7

-0.034

5.0e-7

-1.775e-3

5.4e-7

3.561e-3

5.6e-7

1.434e-3

5.8e-7

2.930e-4

6.0e-7

-6.843e-5

6.2e-7

-9.799e-5

6.4e-7

-5.175e-5

6.6e-7

-1.610e-5

7.0e-7

2.166e-6

7.4e-7

6.730e-7

7.6e-7

1.453e-7

7.8e-7

-2.702e-8

8.0e-7

-4.405e-8

0




Рисунок 3.5 – Импульсная характеристика в более мелком масштабе

; размерность t – сек, g(t) – безразмерная величина

3.3 Расчет отклика цепи на заданное воздействие методом интеграла Дюамеля


При кусочно-непрерывной форме воздействия отклик необходимо искать для каждого из интервалов времени отдельно.

При применении интеграла Дюамеля с использованием переходной характеристики h(t) отклик:


при


,

(37)

где:

y(x) – аналитическое выражение описывающее воздействие (см. рисунок 3.6)


составим аналитическое выражение y(x):

x y
0 0
3*10^-5 7


(38)

Рисунок 3.6 – График воздействия


(39)

Подставляя выражения (33), (39) в(37) и учитывая, что y(0)=0 получим:


Результаты расчётов приведены в таблице 3.3, а кривая, построенная на основании результатов, имеет вид графика изображённого на рисунке 3.7 и 3.8


Таблица 3.3

Расчёт отклика при


t, c

i(t), А

0

0

1.0e-6

0.136879881

2.0e-6

0.274798097

3.0e-6

0.412716312

5.0e-6

0.688552743

6.0e-6

0.826470958

7.0e-6

0.964389174

9.0e-6

1.240225604

1.0e-5

1.378143820

1.1e-5

1.516062035

1.3e-5

1.791898466

1.4e-5

1.929816681

1.5e-5

2.067734897

1.7e-5

2.343571328

1.8e-5

2.481489543

1.9e-5

2.619407758

2.1e-5

2.895244189

2.2e-5

3.033162405

2.3e-5

3.171080620

2.5e-5

3.446917051

2.6e-5

3.584835266

2.7e-5

3.722753482

2.8e-5

3.860671697

2.9e-5

3.998589912

3.0e-5

4.136508126

Р
исунок 3.7 – Отклик цепи при в крупном масштабе; размерность

t
– сек, i(t) – Ампер

Рисунок 3.8   Отклик цепи при в более мелком масштабе; размерность

t – сек, i(t) – Ампер

Поскольку данный график содержит ось времени от 0 до t1, да плюс, как мы увидели по переходной характеристике, затухание происходит очень быстро, увидеть в таком масштабе колебания нельзя. На рисунке 3.8 ось времени содержит значения от 0 и до 2*10^-7 секунд, на этом графике хоть и слабо, но все же видно, что нарастание вначале нелинейное.


при


Результаты расчётов приведены в таблице 3.4, а кривая, построенная на основании результатов, имеет вид графика изображённого на рисунке 3.9


Таблица 3.4

Расчёт отклика при


t, c

i(t), А

3.e-5

4.136508126

3.001e-5

2.012978646

3.002e-5

0.708853559

3.004e-5

-0.286479932

3.006e-5

-0.316233940

3.007e-5

-0.236089753

3.009e-5

-0.089807225

3.010e-5

-0.044172156

3.011e-5

-0.015965080

3.012e-5

-7.804401718e-4

3.015e-5

6.723438063e-3

3.016e-5

5.056128946e-3

3.017e-5

3.342384970e-3

3.019e-5

9.685895329e-4

3.020e-5

3.587128387e-4

3.022e-5

-1.187888560e-4

3.024e-5

-1.428833579e-4

3.025e-5

-1.082465352e-4

3.026e-5

-7.200797423e-5

3.028e-5

-2.122389760e-5

3.029e-5

-8.042151551e-6

3.030e-5

-8.306802357e-7

0

Р
исунок 3.9 – Отклик цепи при ; размерность t – сек, i(t) – Ампер


Т
аким образом, отклик на заданное воздействие имеет вид графика изображенного на рисунке 3.10

Рисунок 3.10 – Отклик цепи; размерность t – сек, i(t)   Ампер

ВЫВОДЫ


В процессе выполнения курсовой работы вопросов появляется больше, чем пунктов в задании. Одними из них является семейство вопросов о размерности коэффициентов и промежуточных величин при расчете переходной характеристики, а также размерность ее производной и т.д.

В план закрепления материала, на мой взгляд, идут только первые четыре задания, поскольку с такого рода задачами мы встречались, а последние три задания представляют особую важность, их приходится не закреплять – в них приходится разбираться.

Достоинством данной курсовой работы является подбор в ней заданий, они не являются нудными и однообразными как, например, курсовые по механике, в которых все одно и тоже и в пять раз больше.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНЫХ ИСТОЧНИКОВ


  1. В. П. Шинкаренко, П. Ф. Лебедев. Методические указания к курсовой работе по курсу « Теория электрических и магнитных цепей».   Харьков: «ХГТУРЭ», 1993.

  2. Т. А. Глазенко, В. А. Прянишников. Электротехника и основы электроники. – М.: «Высшая школа», 1985.

  3. Г. И. Атабеков. Теоретические основы электротехники. – М.: «Энергия», 1978.

  4. Н. В. Зернов, В. Г. Карпов. Теория радиотехнических цепей. – Л.: «Энергия», 1972.