Алгебра и Начало анализа

height="13" align="BOTTOM" border="0" />, положим = x + y и = x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin + sin = sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.
   Решив теперь систему уравнений = x + y, = x - y относительно x и y, получим х = , y = .
Следовательно,
      sin + sin = 2 sin cos .
Аналогичным образом выводят формулы:
      sin -sin = 2 cos sin ;
      cos + cos = 2 cos cos ;
      cos + cos = -2 sin sin .

№ 20

Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0, где , достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства прибавить . Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение = - q .
Оно отличается от простейшего уравнения x² = m только внешним видом: стоит вместо x и - q - вместо m. Находим = . Отсюба х = - . Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если < q . Может также оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если = q . Возращаемся к обычному виду .
1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х₁ + х₂ = -р, а х₁х₂ = q .
2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х₁, х₂ таковы, что х₁ + х₂ = -р и х₁х₂ = q , то х_{1 и} х₂ - корни уравнения x² + px + q = 0.

№ 21

Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.
   Формулу (где b > 0, a > 0 и a 1) называют основным логарифмическим тождеством.
   Свойства логарифмов:

1. ;

2. ;

3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
   .
   Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
   x = , y = .
   Перемножим почленно эти равенства, получаем:
   xy = = .
   Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.

4. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:
   .
   Ход доказательства аналогичен доказательству п.3

5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:
   .
   При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.

№ 22

1. Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в точке х₀ к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: .

2. Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х₀ только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х₀, включая эту точку.

3. Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.

4. Существование производной функции f в точке х₀ эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х₀ ; f(х₀)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен . В этом состоит геометрический смысл производной.

5. Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.

№ 23

1. Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:
   .

2. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀ то их производные дифференцируемы в этой точке и
   .

3. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀, а С - постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и
   .

4. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀ и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х₀ и
   .