Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Карпова Наталия Анатольевна

Санкт-Петербургский государственный университет

Санкт Петербург 2003

Введение.

Математическая статистика является наукой, которая изучает соотношения, столь глубоко проникающие в суть вещей, что их можно встретить при самых различных обстоятельствах. Результаты исследований, полученные с помощью аппарата математической статистики, используются в самых различных областях науки и техники, таких как биология, медицина, анатомия, геология, экология, экономика, и т.д.

Данная дипломная работа посвящена рассмотрению двух основных задач математической статистики:

получению кривой распределения вероятностей по имеющейся выборке;

нахождению зависимости между двумя случайными величинами, заданными своими выборками.

Для решения первой задачи используются различные методы. В данной работе рассмотрен метод Карла Пирсона, представителя английской школы статистики. Им было получено дифференциальное уравнение

а так же введен критерий æ (каппа Пирсона), с помощью которого Пирсон классифицировал решения этого дифференциального уравнения и представил их в виде двенадцати типов.

Позже в своих теоретических исследованиях Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения данной задачи используется метод Пирсона нахождения кривой распределения.

Для решения второй задачи используется метод П.Л. Чебышева, создателя Санкт – Петербургской математической школы. В статистике имя знаменитого русского математика П. Л. Чебышева (1821-1894) известно главным образом по так называемому неравенству Чебышева, которое он предложил для распределения вероятностей, и которое имеет силу для любого статистического распределения численностей.

Однако за последнее время в статистике всё большее значение приобретают ортогональные полиномы Чебышева, которые имеют особое значение при определении множественной и криволинейной регрессии и при вычислении коэффициентов обобщённой функции нормального распределения вероятностей.

Чебышев предложил общую интерполяционную формулу, при которой возможно интерполирование в самых разнообразных случаях. Эта интерполяционная формула удовлетворяет условиям метода наименьших квадратов и выражена при помощи его ортогональных полиномов. Общая интерполяционная формула, или, иначе ряд Чебышева, предложен Чебышевым в 1855 году. Она имеет вид

Таким образом в дипломной работе рассматриваются два метода:

метод Пирсона нахождения кривых распределения вероятностей,

метод Чебышева получения ортогональных полиномов,

которые были положены в основу обобщенного метода Грамма – Шарлье нахождения кривой распределения вероятностей.

Глава 1. Система кривых Пирсона.

В данной главе ставится задача нахождения закона распределения случайной величины в удобном для практического использования виде. Для ее решения рассматривается подход К. Пирсона, который является выдающимся представителем английской статистической школы.

§ 1. Дифференциальное уравнение Пирсона.

Рассмотрим случайную величину, заданную своей выборкой , таким образом, можем записать - статистической распределение. Ставится задача нахождения закона распределения случайной величины в удобном для практического использования виде.

Метод Пирсона заключается в том, что мы рассматриваем дифференциальное уравнение Пирсона:

(1)

и исследуем, какие решения можно получить при различных значениях параметров уравнения (1).

Общий интеграл этого уравнения представим в виде:

где

Значение этого неопределенного интеграла зависит от корней уравнения

(2),

следовательно, от его дискриминанта

который можно написать в виде

вводя параметр

æ.

Или иначе, величину æ можно представить в виде:

æ,

где величины представимы через центральные моменты статистических распределений к-го порядка, которые определяются по формуле

где есть

Тогда

, .

Через величины можно представить и величины следующим образом [5]:

Величина æ называется критерием Пирсона (каппа Пирсона) и различные значения ее дают нам следующие выводы о корнях уравнения:

А. Если æ, то и уравнение (1) имеет вещественные корни различных знаков.

В. Если 0< æ<1, то и уравнение (1) имеет комплексные корни.

С. Если æ>1, то и уравнение (1) имеет вещественные корни одного знака.

Соответственно этим случаям Пирсон различает три главных типа своих кривых, которые он назвал соответственно типами I, IV и VI. Затем æ может равняться , что дает переходные типы кривых. Наконец, присоединяя некоторые дополнительные условия, мы можем увеличить число переходных типов. Всего система кривых Пирсона заключает 12 типов и нормальную кривую.

В своих разработках Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения задачи идентификации используется метод Пирсона.

§ 2. Основные типы кривых Пирсона.

В этом параграфе будут рассмотрены основные типы кривых распределения вероятностей, предложенные и классифицированные Пирсоном.

Тип I.

Пусть æ<0. Тогда

и уравнение (2) имеет вещественные корни различных знаков: , так что можем записать

Тогда правая часть уравнения (1) может быть представлена в виде:

где

Пусть еще

Тогда уравнение (1) перепишется в виде

и общий интеграл его можно представим в виде

где и значения и должны удовлетворять условиям

Тип I получается, если заключается в интервале . Тогда

или, как обычно пишут

Так как выражаются определенным образом через моменты , то, очевидно, и также выражаются через те же моменты. Для этого введем число

Тогда простое преобразование дает следующие формулы:

Эти формулы используются вообще при вычислении параметров и других кривых Пирсона.

Далее, пользуясь этими же формулами,

следовательно,

Затем

или, после простых подсчетов,

где

Таким образом, и представляют корни уравнения

Когда найдены и , и находятся по формулам

в которых

, .

Здесь использовано равенство

которое получается, так мы имеем

следовательно,

откуда

(так как ), нужно брать .

Таким образам, и есть корни уравнения

и и по формулам

в которых

где находится из равенства

Остается найти . Оно находится по равенству

При помощи подстановки

мы находим:

Следовательно,

Тип IV.

Второй главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям

0< æ<1, когда уравнение (1) имеет комплексные корни.

Пусть эти корни равны

где

Тогда уравнение (1) будет

откуда

или

,(3)

причем

Параметры кривой (3), выражаются следующим образом через моменты и константы :

(здесь , и ),

где - функция Пирсона, определяемая равенством

Интеграл в правой части можно привести к другому виду:

подстановка

приводит его к виду

Обычно, полагая

пишут в виде

где

Тип VI.

Третий главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям критерия æ>1 . В этом случае уравнение (2) имеет вещественные корни одного знака. Не приводя вывода уравнения кривой типа VI, аналогичного выводу уравнения кривой типа I [5], прямо приведем уравнение, отнесенное к средней выравниваемого распределения, как началу координат: