Понятие

же опе­рации в первом случае, вероятно, лучше всего выразить словосочетанием «студент  спортсмен», во втором  кон­струкцией «спортсмен, не являющийся студентом». Пораз­мыслив, можно прийти к выводу, что существуют и другие способы преобразования тех же исходных понятий, приво­дящие к различным результатам.

В различных эпизодах интеллектуальноречевой практи­ки (в различных текстах) встречаются понятия, словесная форма выражения которых позволяет рассматривать их как сложные, возникшие в результате преобразования других понятий. В таких случаях может возникнуть вопрос об исход­ных (иногда очевидных, иногда лишь предполагаемых) поня­тиях и характере произведенной с ними операции. Раскры­вая логические механизмы образования таких понятий, мы получаем возможность составить достаточно ясное представление об их содержании и объеме или, если необходимо, уточнить это представление. Рассмотренное выше понятие, выраженное словосочетанием «студент  спортсмен», недву­смысленно фиксирует область пересечения исходных клас­сов. Таковы же, например, понятия «солдат  герой России» или «журналист  международник». Первое выражает об­ласть пересечения класса солдат и множества героев России, второе  область пересечения понятий «журналист» и «спе­циалист по международным вопросам». Однако идеальная по ясности картина встречается далеко не всегда. Не столь просто охарактеризовать со стороны содержания и объема такие понятия, как, скажем, «научно-практическая конфе­ренция», «научно-техническая информация», «логико-психологический анализ», хотя они вроде бы построены по той же словообразовательной модели. Соединение некоторых исходных понятий в более сложную конструкцию не всегда осуществляется с должной степенью определённости, а иногда ведет к образованию достаточно серьёзных ошибок. Изучение логических операций с поня­тиями позволяет обнаружить внутренние, иногда скрытые механизмы подобных ошибок, способствует выработке дей­ственных навыков контроля над смысловыми свойствами текста. Объектами логических операций могут быть одно, два или неопределённо большое число понятий. Примерами ло­гических операций с одним понятием служат рассмотренные ранее операции обобщения и ограничения. Нужно отметить, однако, что есть ситуации, допускающие различные вариан­ты анализа. В понятии «симфония Д. Д. Шостаковича» оди­наково правомерно усматривать результат любой из следую­щих операций: 1) ограничение понятия «симфония», 2) ог­раничение понятия «музыкальное произведение Д. Д. Шос­таковича», 3) объединение указанных в пунктах 1 и 2 понятий способом, который позволяет зафиксировать в новом поня­тии область их пересечения.

Отрицание понятия.

Из операций с одним исходным понятием по степени значимости наибольшего внимания заслуживает операция, именуемая отрицанием. В результате отрицания произвольного понятия P образуется новое понятие не-P. Объем этого нового понятия включает в себя лишь те объек­ты х, о каждом из которых можно высказать истинное суж­дение х есть не-Р. Скажем, в результате отрицания понятия «журналист» получаем множество «не-журналистов», путем отрицания понятия «учебник» переходим к понятию «не-­учебник» и т. п. Чтобы отличить собственно логическое отрицание от не­которых грамматических форм, частица «не» отделяется от исходного понятия дефисом. Этим подчерки­вается, что в результате логического отрицания образуется понятие, связанное с исходным отношением контрадикторности, а не контрарности.

С

не-P

Рис.11.

Отрицание понятия

мысл отрицания произвольного понятия Р хорошо передается графической схемой (рис.11), где прямоугольни­ком обозначен универсальный класс, а результат операции пока­зан штриховкой. Эта же схема де­лает наглядной закономерную за­висимость, выражаемую форму­лой не не-P=P. Формула показы­вает объемное равенство некото­рого понятия с результатом его двойного отрицания (так назы­ваемый закон двойного отрица­ния для классов). И действительно, исходному пункту;

поэтому двойное отрицание иног­да называется мнимым (дважды отрицая данное понятие, мы, по существу, его не отрицаем).

Сложение и умножение понятий.

Из операций с двумя исходными понятиями (или боль­шим их числом) следует выделить логическое сложение и логическое умножение. Результат сложения понятий Р и Q будем называть их логической суммой и обозначать P+Q, а результат умножения тех же понятий назовем их логическим произведением и обозначим Р•Q.В объём понятия Р+Q входят те объекты, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из исходных классов. Иными словами, х принадлежит классу Р+Q, если истинно суждение х есть Р или Q (где союз «или» употребляется в неисключающем его значении). В объём понятия P•Q входят те объекты, каждый из которых принадлежит обоим исходным классам. Иначе говоря, х при­надлежит классу Р•Q если истинно суждение х есть P и Q, где союз «и» фиксирует одновременное вхождение х в дан­ные классы.

Различие между этими операциями иллюстрируют гра­фические схемы. На рисунках 12  15 показана логическая сумма, а на рисунках 16  19  логическое произведение понятий Р и Q с учетом четырех известных нам видов отношений. Лишь для равнообъемных понятий итоги сложения и умножения со­впадают, в трех других случаях классы Р+Q и Р•Q принци­пиально различны.

Рис.12.

Сложение равнообъёмных понятий

Рис.13.

Сложение подчинённых понятий

Рис.14.

Сложение перекрещивающихся понятий

Рис.15

.Сложение внеположенных понятий

Это и понятно, поскольку операция сло­жения, в сущности, объединяет исходные множества, тогда как операция умножения образует класс, соответствующий области их пересечения. Уместно подчеркнуть, что результат умножения родового и видового понятий объёмно равен видовому, а результат сложения тех же понятий  родовому (см. рис.17 и 13). Если исходные понятия внеположенные, то их сложение образует класс, полностью включающий оба множества (см. рис.15); логическое произведение тех же понятий ведет к образованию нулевого класса (см. рис.19).

Рис.16.

Умножение равнообъёмных понятий

Рис.17.

Умножение подчинённых понятий

Рис.18

.Умножение перекрещивающихся понятий

Рис.19.

Умножение внеположенных понятий

С теоретической точки зрения сопоставление классов P+Q и Р•Q представляет интерес для изучения двух суще­ственно разнящихся способов соединения некоторых произ­вольных множеств в новое (сложное) множество. Практи­ческий аспект проблемы имеет непосредственное отноше­ние к выбору союзов и других средств организации текста, при помощи которых несколько исходных смысловых еди­ниц объединяются друг с другом, образуя новое понятие. Пользуясь символическим языком, то есть, применяя ло­гические постоянные « + » и « • », мы легко улавливаем и точно фиксируем различие между сложением и умножением понятий. В естественном речевом общении (в нефор­мализованных текстах) объединение понятий не всегда дает достаточно ясную картину. Объясняется это следующими обстоятельствами. Во-первых, рассмотренные операции не исчерпывают всех возможных способов связи исходных по­нятий. Во-вторых, и это

главное, любые операции, включая сложение и умножение, могут выражаться различными средствами естественной речевой коммуникации. В логике договариваются читать выражение P+Q как Р или Q, а выражение Р•Q как Р и Q, рассматривая союзы «или», «и» в качестве наиболее удачных словесных эквивалентов соответствующих операций. Однако в действительности не­редко используются и другие средства выражения этих опе­раций, в чем мы имели возможность убедиться на примере словосочетаний типа «студент-спортсмен», «журналист-международник» и т. п., где логическое умножение пред­ставлено дефисом. Что касается союзов «или» и «и», то нужно отметить их многозначность, способную в известных ситуациях созда­вать достаточно неопределенное представление о характере связи между некоторыми исходными понятиями. Удачна ли, например, следующая формулировка одного из правил поль­зования городским транспортом: «Безбилетный проезд и бес­платный провоз багажа наказываются штрафом»? Предста­вим себе два подмножества, которые могут быть выделены во множестве пассажиров-нарушителей. В одно из них вой­дут пассажиры, не взявшие билета, в другое  не оплатив­шие провоз багажа. Если союз «и» рассматривать, как пока­затель логического умножения, то придется признать, что штраф должен быть наложен только на тех пассажиров, ко­торые совершили сразу два проступка (но не какой-то один из них). Разумеется, житейский смысл ситуации, предусмот­ренной данным правилом, настолько ясен, что всякие раз­ночтения этой формулировки, вероятно, были бы признаны казуистикой, но все же использование союза «или» здесь следует признать предпочтительным. Аналогичный харак­тер носит следующая фраза: «Атеросклероз чаще всего по­ражает жителей больших городов и людей умственного труда». Исходные понятия «житель большого города» и «че­ловек умственного труда» находятся в отношении перекре­щивания. Вследствие недостаточной определенности их объединения в сложное понятие (оно выделено курсивом) воз­можны два варианта прочтения (истолкования, понимания) фразы: 1) атеросклероз чаще всего поражает жителей больших городов, занимающихся умственным трудом (логическое ум­ножение: см. рис.18); 2) атеросклероз чаще всего поражает вообще жителей больших городов или вообще людей умственного труда (ло­гическое сложение; см. рис.14). Поскольку второй вариант представляется более удач­ным для выражения данной мысли, и здесь также, вероятно, следовало бы отдать предпочтение союзу «или».

Умение находить правильные внешние формы для выра­жения логической суммы и логического произведения неко­торых исходных понятий определенным образом связано с продуктивностью смысловой и стилистической обработки текста. Обычно это умение проявляется в

виде автоматизи­рованных навыков, позволяющих найти и применить опти­мальную текстовую структуру в каждом конкретном случае. Но иногда интуиция нас подводит. Тогда полезно воспроиз­вести механизмы соответствующих операций (и даже прове­рить их графическими схемами). Об этом свидетельствует анализ некоторых типичных ошибок. Рассмотрим следую­щий фрагмент текста: «Милиционер, сержант милиции Б. оправился от ран и приступил к службе». Выделенная курси­вом часть фразы образована из двух исходных понятий, при­чем одно из них («сержант милиции») является видовым по отношению ко второму («милиционер»). Напрашивается вывод о словесной избыточности выражения и целесообраз­ности его упрощения за счет одного из исходных понятий. Но, какой элемент конструкции может быть устранен без ущерба для информативности текста? Обратим внимание на тот факт, что Б. одновременно включается в класс сержантов милиции и в класс милиционеров. Таким образом, здесь перед нами, безусловно, логическое умножение. Но, как уста­новлено ранее, логическое произведение видового и родово­го понятий объемно равно видовому (см. рис.17). Следова­тельно, родовое понятие является избыточным и может быть устранено из текста, который должен выглядеть так: «Сер­жант милиции Б. оправился от ран и приступил к службе». И в самом деле, если Б. является сержантом милиции, то нет никакой нужды называть его еще и милиционером. Читате­лю предлагается подумать, почему иной вариант правки текста (устранение понятия «сержант милиции» при сохра­нении понятия «милиционер») связан с информационными потерями.

Неопределённые (размытые) понятия.

В интеллектуально-речевой практике функционирует множество понятий, обладающих достаточно ясным содер­жанием и резким объемом. Содержание понятия может счи­таться ясным, если известен входящий в него набор сущест­венных признаков. Объем понятия считается резким, если применительно к любому объекту однозначно решается во­прос, относится он к данному множеству или нет. Понятия с ясным содержанием и резким объемом принято называть определенными, а соответствующие множества  четкими или резкими. Но далеко не для каждого понятия его логичес­кие характеристики  содержание и объем  могут быть указаны с достаточной степенью точности. Понятия, не об­ладающие ясным содержанием и резким объемом, носят на­звание неопределенных или размытых (соответствующие множества часто именуются нерезкими или расплывчаты­ми). Различие между определенными и неопределенными понятиями легче всего показать путем соотнесения этих по­нятий с результатами их отрицания в пределах некоего уни­версального класса.

Рассмотрим с этой точки зрения понятие «гроссмейстер». На рисунке 20 универсальный класс представля­ет множество шахматистов и делится на два подмножества, соответствующих понятиям «гроссмейстер» (Р) и «не-гроссмейстер» (не-Р). Второе из этих понятий образовано посред­ством отрицания первого. Подмножество гроссмейстеров характеризуется просто: в него входит тот и только тот, кто официально обладает этим шахматным званием.

не-P

? ?

? ? не-Q

? ?

? ?

? ?