Аналогии в курсе физики средней школы

Используя аналогию механических и электрических величин, найдем что общая жесткость пружин искомой механической системы находится из соотношения

Это соответствует последовательному соединению двух пружин. Учитывая, что один конденсатор заряжен, искомую механическую систему можно представить в виде одной сжатой пружины жесткость и одной недеформированной пружины жесткостью (рис.2,а).

б) Аналогично рассмотрим вторую схему.

Общая емкость системы конденсаторов (рис.1,б) равна

Используя аналогию механических и электрических величин, найдем что общая жесткость пружин искомой механической системы находится из соотношения

Это соответствует параллельному соединению двух пружин(рис.2,б).

рис.2.

Задача2На рис.3,а,б изображены колебательные контуры. Придумайте механические аналоги им.

рис.3,а

О т в е т. Аналогичная механическая система соответствующая рис.3,а,б должна содержать два тела массами и , и пружину жесткостью k.

а) Общая индуктивность системы при последовательном соединении катушек равна

Используя аналогию механических и электрических величин найдем, что общая масса

А это соответствует рис.4,а

Рис. 4.а

б) Аналогично рассматриваем вторую схему.

Общая индуктивность параллельно соединенных катушек находится из соотношения

Используя аналогию механических и электрических величин, найдем что общая масса катушек равна

Это соответствует рис.4,б

m1

m2

Задача3. Придумайте механическую систему, которая была бы аналогична электрической цепи, состоящей из конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R (рис. 5). Первоначальный заряд конденсатора равен q_м. Ключ К замыкается в некоторый момент времени принимаемый за начальный.

Рис. 5.

О т в е т. Электрическую цепь, состоящую из емкости и сопротивления, можно представить как предельный случай электрического колебательного контура, в котором индуктивность настолько мала, что ею можно пренебречь.

Поэтому аналогичная механическая система будет представлять собой прикрепленное к пружине (жесткость К) тело с очень малой массой, но с значительным объемом, находящееся в поле действия силы вязкого трения с коэффициентом Я.

Задача4. Придумайте механическую динамическую аналогию электрической цепи, представленной на рис. 6. В начальный момент катушка индуктивностью L и резистор сопротивлением R отключены от источника постоянного тока с ЭДС.

Рис. 6.

О т в е т. Аналогичная механическая система состоит из тела, находящегося в поле тяжести Земли и расположенного внутри жидкости с коэффициентом вязкости Р. Если отпустить это тело, то оно падает в жидкости под действием силы тяжести F_T= mg.

Задача5. Рассчитайте максимальное значение силы тока в цепи, изображенной на рис.7. До замыкания ключа заряд на конденсаторе равен q, второй конденсатор не заряжен. Воспользуйтесь электромеханической аналогией.

рис. 7.

Решение.

Здесь происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую или в соответствии с аналогией энергия электрического поля конденсатора превращается в энергию магнитного поля катушки.

так как и

тогда

.

Отсюда значение максимальной силы тока равно

Задача 6. Найти максимальную скорость груза на пружине в вязкой среде при действии на него переменной силы F=10sin10t(H) (рис. 8). Масса - груза 0,1 кг, жесткость пружины 2 Н/м, вязкость среды 1 Н. м/с.

Рис.8

Р е ш е н и е. В связи с тем что такой более сложный процесс, какой представлен в условии этой задачи, в школьном курсе физики не изучается, снова обратимся к аналогии. Аналогичная электрическая система выглядит как колебательный контур, содержащий внешний источник переменного тока (рис. 9).

Рис.9

Из закона Ома для переменного то­ка (обозначения традиционные) максимальная сила тока

Установим соответствия характеристик механической и электрической систем: fU: ЯR :mL:K1/C.

Учитывая аналогичность систем, полу­чаем:

=

При подстановке следующих данных:

F=10Н, =10с^-1, Я=1 Н•м/с, w=0,1кг, K=2 Н/м окончательно получаем v_m 1,28 м/с.

Задача 7. Источник с ЭДС и нулевым внутренним сопротивлением соединен последовательно с катушкой индуктивности L и конденсатором С (рис. 10). В начальный момент времени конденсатор не заряжен. Найти зависимость от времени напряжения на конденсаторе после замыкания ключа.

рис.10.

Решение. Искать нужную зависимость, используя законы электромагнетизма, довольно сложно и не наглядно, поэтому целесообразно использовать механическую аналогию. На рис.11 приведена аналогичная механическая колебательная система. Аналогом источника с ЭДС может служить поле силы тяжести. При выдергивании подставки из-под прикрепленного к пружине груза начинаются его колебания. Он совершает гармоническое колебание около точки X_m, график которого дан на рис. 12. а. Уравнение координаты имеет вид:

x_m-x(t)=x_m cos _ot,

или

x(t)=x_m (1 - cos _ot).

Рис. 11

Рис. 12

Аналогичное электрическое колебание (график дан на рис. 12, б) описывается следующими уравнениями:

q (t)=q_м (1 – cos _ot);

q_м =С, q (t)=C (1 — cos _ot) ,

U(t)= , U(f)= (1 — cos _ot).

Здесь _o =.

В заключение отметим, что рассмотренные нами аналогии широко используются в научных исследованиях. Интересно, что принцип работы аналого-вычислительной машины основан на «поразительной анало­гичности» механического и электрического процессов.

§4.Изучение волновых процессов.

Рассматривая вопроссы излучения и распространения любых волн, следует сформулировать условия, необходимые для образования и излучения волн:

1. наличие источника колебаний в некоторой точке;

2. возможность передачи колебаний от данной точке к соседним (роль среды);

3. наличие достаточной связи источника колебаний с передающей средой.

Рассмотрим следующие волновые процессы: излучения и распространения электромагнитных волн, интерференция света, дифракция света и поляризация света.

1. Излучение и распространение электромагнитных волн.

При изучении вопросов излучения и распространения электромаг­нитных волн целесообразным аналогом будут акустические волны, факт распространения которых в окружающем пространстве легко устанавливается. Если взять простейший источник акустических волн (камертон без резонансного ящика), то связь его со средой малая и излучение звуковых волн незначительно. Поставив камертон на резонирующий ящик, замечают, что излучение звука значительно усилилось, так как связь со средой стала большей. Если рядом со звучащим камертоном поставить другой камертон, имеющий ту же частоту, то такой камертон возбуждается. Здесь наблюдают явление резонанса. Камертон, имеющий другую частоту собственных коле­баний, не возбудится. Излучение камертона возможно только в среде, обладающей определенными физическими свойствами.

Как известно, излучение энергии замкнутым колебательным кон­туром незначительно, так как электрическое поле в этом случае ло­кализовано между обкладками конденсатора, а магнитное поле — вокруг катушки. Чтобы подчеркнуть это свойство замкнутого коле­бательного контура, уместно воспользоваться аналогией с колеблю­щимся камертоном (без резонансного ящика), излучение которого незначительно. Открытый колебательный контур излучает энергию значительно лучше, так как в этом случае магнитное и электрическое поля совмещены и занимают окружающее контур пространство. Чтобы проиллюстрировать данный факт, уместна аналогия с камер­тоном на резонансном ящике, хорошо излучающем энергию благо­даря связи со средой.

Явление резонанса при звуковых процессах является хорошей аналогией для объяснения приема электромагнитных волн. В антенне приемного устройства возникают колебания всевозможных частот, но приемник «выбирает» из всех колебаний только те, на частоту ко­торых он настроен. Это аналогично возбуждению камертона, имею­щего ту же частоту, что и излучающий. При излучении электромагнитных волн возникают возмущения в электромагнитном поле, так же как возникают возмущения в упругой среде вокруг камертона. Природа же распространяющихся при этом волн различна.

2.Интерференция света.

Интерференция света представляет собой сложное явление, объяснение которого требует рассмотрения вопроса о наложении волн, об условиях усиления и ослабления колебаний и т. д. Здесь применяют аналогию с поверхностными волнами на воде.

Вначале, возбудив в волновой ванне две волны, наблюдают результат их наложения и объясняют полученную картину(рис.1).

Рис.1.

В любой точке М на поверхности воды будут складываться колебания, вызванные двумя волнами (от источников O₁ и О₂). Амплитуды колебаний вызванных в т.М будут отличаться друг от друга, так как волны проходят различные пути D₁ и D₂ .

Но если расстояние l между источниками много меньше этих путей (l <1и l<2), то обе амплитуды можно считать одинаковыми. Результат сложения волн в точке М зависит от разности фаз между ними. Пройдя различные расстояния, волны имеют разность хода ΔD=D₂-D₁

Если разность хода равна длине волны , то вторая волна запаздывает по сравнению с первой ровно на один период. Следовательно, в этом случае гребни (впадины) обеих волн совпадают.

Сложение волн в зависимости от разности их хода объясняют на специально вычерченных графиках, показывая, как складываются колебания при условии совпадения фаз и в случае когда колебания происходят в противофазе.

Зависимость от времени смещения х₁ и х₂ вызванных двумя волнами при D=. Разность фаз колебаний равна нулю, так как период синуса равен 2 (рис.2).

Рис. 2

В результате сложения этих колебаний возникает результирующее колебание с удвоенной амплитудой. Колебания результирующего смещения x показаны пунктиром. То же самое будет происходить, если на отрезке D укладывается не одна, а любое целое число длин волн:

D=k, k=0, 1, 2…. – условие максимума.

Пусть теперь на отрезке D укладывается половина длины волны (рис.3).

Рис.3.

Вторая половина отстает от первой на половину периода. Разность фаз оказывается равной , то есть колебания будут происходить в противофазе. В результате сложения этих колебаний амплитуда результирующего колебания равна нулю, то есть в рассматриваемой точке колебаний нет. Тоже самое происходит если на отрезке укладывается любое нечетное число полуволн.

D=( 2k+1 )/2, k=0,1,2... - условие минимума.

Аналогично интерференции поверхностных водяных волн происходит и интерференция световых волн, но осуществить это явление значительно сложнее. Необходимо учитывать, что условия излучения и природа этих волн различны, а общее между ними только в периодичности процессов. Перед демонстрацией опытов по интерференции света следует рассмотреть вопрос о когерентных источниках волн. Когерентность поверхностных волн на воде легко осуществляют в волновой ванне с помощью двух связанных между собой вибраторов.

Два обычных источника света не являются когерентными. Учащимся необходимо пояснить, что для получения устойчивой картины интерференции света надо использовать специальные установки, в которых заставляют интерферировать два пучка одной и той же волны, излучаемые одним источником, но идущие к точке наблюдения различными путями.

После этого демонстрируют интерференцию света и по аналогии объясняют интерференционную картину. Проводя аналогию между световыми и поверхностными водяными волнами, показывают сходство и различие явлений различной природы.

3.Дифракция света.

Явление дифракции света рассматривают по аналогии с дифракцией поверхностных волн на воде. Для этой цели в волновой ванне показывают явление дифракции волн (отклонение волн от прямолинейного распространения), ставя на пути волн препятствия, размеры которых соизмеримы с длиной волны. Получают дифракцию на препятствии и на щели.

Когда явление дифракции с помощью поверхностных водяных волн разъяснено, переходят к дифракции света. Но перед демонстрацией соответствующих опытов останавливаются на различии дифракции света и дифракции длинных поверхностных волн. Так как поверхностные водяные волны иллюстрируют огибание волнами препятствий, без последующего распределения максимумов и минимумов, то есть поверхностные волны подчиняются принципу Гюйгенса – Френеля. В случае световых волн имеет место не только огибание препятствий, но и сложение волн. Поэтому, наблюдая дифракцию света, видят проявление максимумов и минимумов освещенности, что является результатом интерференции (наложении) волн.

При рассмотрении дифракции света можно использовать таблицу 3, в которой сопоставляются дифракционные картины от освещенной щели и в волновой ванне при различной ширине щели.

Таблица 3.

Особенности дифракционной картины от освещенной щели	Дифракционная картина в волновой ванне	Объяснение дифракционной картины на основе принципа Гюйгенса—Френеля
Размеры дифракционной картины больше размеров изображения щели, которые получились бы при прямолинейном распространении света		Вторичные волны заходят за края щели
В центре картины — светлая полоса, по краям — светлые и темные полосы	В направлении, перпендикулярном щели, вторичные волны имеют одинаковую фазу, в результате интерференции происходит усиление колебаний. В других направлениях вторичные волны интерферируют, имея некоторую разность фаз, которая определяет результат интерференции
При очень узкой щели на экране возникает светлое размытое пятно	В щели образуется один источник вторичных волн

4.Поляризация света.

Как известно, электромагнитные волны поперечны. Так как свет имеет электромагнитную природу, то световые волны также поперечны. Чтобы разобраться в опытах по поляризации света необходимо уяснить понятие плоско поляризованного света и действие поляризатора, и анализатора.

Плоскополяризованными волнами называют поперечные волны, колебания в которых происходят в одной плоскости вдоль прямой, перпендикулярной направлению распространения.

Такими являются волны на шнуре, поэтому свойства плоскополяризованных волн можно наглядно объяснить.

Для этой цели берут щель между двумя досками. Если эту щель расположить вертикально, то волны бегущие по шнуру, раскачиваемому в вертикальной плоскости, свободно пройдут через щель (рисю.4,а). Если же щель повернуть на 90 , то волны через щель не пройдут и будут полностью погашены (рис.4,б).

Рис.4 а) б)

Естественный свет не поляризован, но его поляризацию можно осуществить с помощью приборов – поляризаторов, действие которых аналогично действию щели в опыте со шнуром. В поляризатор пропускают лишь лучи с определенной плоскостью колебаний светового вектора Е. Обнаруживают поляризацию света с помощью анализаторов, действие которых аналогично действию указанной щели, плоскость которых параллельна щели.

Применение этой аналогии делает явление поляризации света понятным и доступным.

ГЛАВА 2 Другие виды аналогий в школьном курсе физики.

§ 5 Использование аналогии при изучении транзистора.

В настоящее время транзистор как полупроводниковый прибор нашел широкое применение во всех сферах человеческой деятельности. Популярность прибора повышает интерес учащихся к нему и его техническому приложению. Модель транзистора, как и всякая аналогия, является приближением прибора и имеет свои границы применимости (например, с ее помощью невозможно показать собственную и примесную проводимость; перемещение дырок и электронов и т. д.). Однако в главном модель и оригинал схожи: это тождественность включения их схем и аналогичность работы основных частей и, кроме того, равенство нулю тока коллектора при отсутствии тока в базе.

рис.1

После ознакомления учащихся с основными элементами транзистора p-n-p-типа (эмиттером, базой и коллектором) и механизмами правого и левого p-n-переходов, учащимся предлагается пронаблюдать данные процессы на модели. Для этого собирается установка, показанная на рис. 1. (предложенная В.С. Данюшенковым и С.Е. Каменецким) Она состоит из аналога транзистора 1, двух центробежных водяных насосов с электродвигателями 2 и стеклянных переходников 3, соединенных между собой резиновыми трубками.

В качестве аналога берут модель водоструйного насоса, имеющаяся в арсенале кабинета физики.

Источником переменного «напряжения» для модели (см. рис- 1) служит вход 4, который подключают к водопроводному крану. Меняя с помощью крана скорость течения жидкости в установке, регулируют давление (напор) в ней. В этой установке давление жидкости служит аналогом напряжения в электрической цепи транзистора. Насосы выполняют роль источников постоянного тока, трубки с водой — соединительных проводов, а стеклянная трубка 5 - постоянного резистора R, включенного в цепь, показанную на рис. 3.

Рис. 3.

Работу основных элементов модели необходимо показать учащимся.

Сначала объясняют роль токов в пра­вом и левом p-n-переходах и их влияние на работу транзистора. Для этого открывают кран и создают постоянный напор воды в системе «эмиттер — база». Жидкость через «эмиттерный» вход поступает в полость аналога транзистора и сливается в отверстие «базы». Источник постоянного напряжения (насос) левого перехода включают в таком направлении, чтобы поток воды из «базового» отверстия всасывался в «эмиттерную» цепь и создавал прямой ток, который зависит только от источника напряжения. Показывают соответствующую демонстрацию, изменяя напор воды в системе с помощью крана и насоса (меняют число оборотов двигателя). При этом часть воды поступает в «коллектор». Это иллюстрирует диффундирование нерекомбинированных в базе дырок в коллектор.

Затем показывают значение базы в транзисторе. Включают правый и левый насосы аналога так, чтобы потоки жидкости в них циркулировали по часовой стрелке. Тогда по «базе» будут протекать два встречных потока жидкости. На языке аналогии это означает, что значения силы тока в цепях базы I_б, эмиттера I_э и коллектора I_к связаны соотношением: I_б=I_э-I_к. О соотношении значений силы тока в транзисторе учащиеся судят путем наблюдения за показаниями расходомеров жидкости, включенных в «эмиттерную» и «коллекторную» цепи модели. Расходомер представляет собой устройство для измерения скорости течения воды и аналогичен амперметру. Поскольку скорость движения жидкости в «эмиттере» приближенно равна скорости движения жидкости в «коллекторе», можно сделать вывод об отсутствии ее движения в «базе», т. е. о том, что I_б=0. Действительно, так как концентрация инжектируемых дырок с эмиттера много больше их концентрации на границе с базой (ширина базы очень мала), то дырки интенсивно диффундируют к коллектору. В то же время обратный ток коллекторного перехода много меньше тока, создаваемого дырками эмиттера. Поэтому силу тока в цепи коллектора можно считать равной силе тока в цепи эмиттера (I_кI_э). Это равенство лежит в основе усиливающего действия транзистора.

Затем рассматривается использование транзистора как усилителя мощности. При этом рассматривают два случая: включение транзистора по схеме с общей базой (рис. 3, а) и общим эмиттером (рис. 3, б). Схему с общим коллектором не рассматривают, поскольку она мало чем отличается по действию от схемы с общим эмиттером. Поясняют распределение си­лы тока между эмиттером, базой и коллектором.

Усиление мощности можно осуществлять двумя способами:

а) при постоянном напряжении увеличивать силу тока,

б) при постоянной силе тока увеличивать напряжение.

Сначала рассматривают усиление мощности транзистора по току в схеме с общей базой (рис.3,а). Механизм этого процесса обсуждался при изучении правого p-n-перехода и поэтому усилительное действие в данном случае основано на равенстве I_к=I_э. Затем переходят к изучению усиления по току в схеме с общим эмиттером, рис3,б (I_к=I_э+I_б). Сущность процесса состоит в усилении рекомбинации дырок в базе путем подачи напряжения на эмиттерный и базовый входы транзистора. Демонстрацию осуществляют следующим образом. Насос «эмиттерного перехода» переключают так, чтобы он перемещал жидкость против часовой стрелки. Тогда одна часть жидкости от крана поступит по каналу «эмиттера» в полость «транзистора», а другая часть начнет всасываться насосом и перемещаться к «базе». Далее включают насос «коллекторного перехода» (перемещают воду по часовой стрелке) так, чтобы токи в «базе» были направлены в сторону аналога транзистора. Таким образом, возникнет значительный поток воды на выходе из «базы», который будет воздействовать на струю жидкости, вытекающую из «эмиттера», направляя ее в «коллекторный переход».

Усиление мощности по напряжению основано на различии сопротивлений коллекторного и эмиттерного p-n-переходов, включенных в противоположных направлениях. Эмиттерный переход, на который подано прямое напряжение смещения, имеет малое сопротивление, и падение напряжения на нем Us мало. На коллекторный же переход подается обратное напряжение смещения, и сопротивление его значительно больше, поэтому в коллекторную цепь может быть включена высокоомная нагрузка, сопротивление которой R_н значительно больше сопротивления эмиттерного перехода. Поскольку I_к и I_э одинаковы, то падение напряжения на высокоомной коллекторной нагрузке U_н=I_кRI_эR_н окажется много больше падения напряжения на эмиттерном переходе.

Для демонстрации явления можно воспользоваться моделью, собранной так, чтобы насосы вращались в одну сторону. Поочередно беря трубки 5 разного диаметра, демонстрируют роль нагрузки в цепи коллектора для усиления мощности.

§ 6 Изучение электрических цепей с использованием аналогии.

1. Цепь постоянного тока.

При введении понятия об электрическом токе полезна аналогия с течением воды в турбине. Аналогия становится особенно образной, если к этому времени введено понятие об электроне, тогда электрический ток представляется как упорядоченное движение электронов в проводнике. Весьма полезна гидродинамическая аналогия и при знакомстве с источникоми тока. На полюсах источника тока создается напряжение. Заряды (электроны, ионы), которые перемещаются в проводниках (металлах, электролитах), имеются в самих проводниках. Они движутся хаотически, но если проводник присоединить к полюсам источника тока, то заряды придут в упорядоченное движение, то есть появится ток.

Поэтому здесь целесообразна аналогия источника тока с насосом. В гидродинамической системе (рис.1) насос не создает воду, а лишь вызывает ее перемещение.

рис.1

Аналогично насосу и действие источника тока в электрической цепи. Насос создает разность давлений (напор), что может быть аналогом напряжения. Турбина аналогична потребителю, насос - источнику тока, трубки с водой – соединительным проводам, а кран