Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции

на

При наличии нескольких степеней свободы следует выяснить, любое ли сочетание физических величин может являться набором независимых переменных. Операторы независимых переменных являются умножением на эти переменные. Поэтому они должны коммутировать (быть коммутативными). Следовательно, в качестве независимых переменных можно брать только такие величины, операторы которых между собой коммутируют.

б) Найдем оператор импульса при условии, что координата является независимой переменной. Как известно, (согласно идеям де Бройля, подтвержденным экспериментально), волновая функция свободной частицы есть монохроматическая волна

(Момент времени фиксирован).

Для одномерного случая, когда частица движется вдоль оси ,

Поскольку частица свободна, т.е. нет никакого взаимодействия, ее импульс сохраняется и равен . Таким образом, собственная функция оператора есть и ей соответствует собственное значение . Поэтому можно записать уравнение собственных значений:

Это соотношение будет справедливым если . Действительно,

Рассуждая аналогично, получаем

, и .

2.8 Соотношение неопределенностей

Физическая величина с вероятностью равной единице точно определена в собственном состоянии оператора . Если -функция не является собственной для данного оператора, результатом измерения будет какое то значение из его спектра. Неопределенность ее значения, т.е. разброс результатов измерения физической величины, будем характеризовать средним квадратичным отклонением результатов отдельных измерений от среднего значения: . Величине соответствует оператор , величине – оператор .

Установим связь между неопределенностями двух физических величин, если квантовомеханическая система находится в состоянии , т.е. связь между и . Рассмотрим вспомогательный интеграл , где - произвольный вещественный параметр. Очевидно, что . После несложных преобразований (упражнение 7) этот интеграл принимает вид трехчлена

где . Этот трехчлен не может быть отрицательным. Выясним при каком условии это возможно. Прибавим к трехчлену и вычтем из него величину :

Значение трехчлена будет минимальным, при таком значении , чтобы выражение, стоящее в скобке, равнялось нулю. Поскольку трехчлен неотрицателен, получаем

или

. (2.8.1)

Это выражение называется соотношением неопределенностей. Оператор (см. упражнение 6). Поэтому из соотношения (2.8.1) следует вывод: если операторы коммутируют , то соответствующие физические величины одновременно могут иметь точно определенные значения.

Вопросы для самопроверки

1.Определить понятие оператора.

2.Какова математическая природа динамических переменных в квантовой механике? Сформулируйте соответствующий (2-й) постулат квантовой механики.

3.Как, зная состояние системы (-функцию) и оператор физической величины, найти среднее значение этой величины в данном состоянии?

4.Какие операторы называют линейными? Почему в квантовой механике могут использоваться только линейные операторы?

5.Определить понятие комплексно-сопряженного, сопряженного и самосопряженного операторов.

6.Какие функции называют собственными функциями оператора? Свойства собственных функций самосопряженного оператора.

7.Что называют спектром собственных значений оператора? Свойства собственных значений самосопряженных операторов.

8.Почему операторы физических величин должны быть самосопряженными?

9.Какая связь между оператором физической величины и результатом ее измерения?

10.Что понимают под кратностью вырождения собственного значения оператора.

11.Представить произвольную волновую функцию в виде ряда по собственным функциям оператора физической величины. Как определяются коэффициенты разложения ? Каков их физический смысл?

12.Какова связь между условием полноты собственных функций самосопряженных операторов и принципом суперпозиции?

13.Что называют дельта–функцией Дирака? Ее основные свойства.

14.В каком случае собственные функции оператора физической величины нормируют на -функцию?

15.Что собой представляет оператор координаты и оператор импульса в координатном представлении?

16.Сформулировать и записать соотношение неопределенностей.

17.Как, зная операторы физических величин, определить, могут ли они одновременно иметь определенные значения?

Упражнения.

2.1. Являются ли следующие операторы линейными:

а) ;

б) оператор инверсии : ;

в) оператор сдвига вдоль оси : ;

г) оператор комплексного сопряжения: ?

2.2. Найти оператор транспонированный к оператору , комплексно-сопряженный и сопряженный с ним? Является ли этот оператор самосопряженным?

2.3. Является ли оператор комплексного сопряжения эрмитовым?

Решение. Для самосопряженного оператора должно выполняться условие (2.1.5)

Для оператора комплексного сопряжения имеем:

Таким образом, соотношение (2.1.5) для оператора комплексного сопряжения не выполняется, поэтому он не является эрмитовым.

2.4. Показать, что среднее значение квадрата самосопряженного оператора положительно.

Решение. Согласно соотношению (2.1.1)

(Функцию считаем нормированной на единицу). Пользуясь тем, что оператор самосопряженный, получаем

Этот интеграл всегда положителен. Следовательно, .

2.5. Показать, что если операторы и эрмитовы, то оператор тоже эрмитов.

Решение. Для самосопряженного оператора должно выполняться условие

. (2.5а)

Если , то .

Подставим оператор в левый интеграл соотношения (2.5а) и преобразуем его, пользуясь эрмитовостью операторов и :

(2.5б)

Аналогично преобразуем интеграл, стоящий в правой части соотношения (2.5.а):

(2.5в)

В процессе преобразования мы сначала воспользовались свойством эрмитовости операторов и , а затем поменяли местами функции стоящие под знаком интеграла.

Сравнивая соотношения (2.5б) и (2.5в) приходим к выводу, что для оператора условие (2.5а) выполняется. Следовательно, если и эрмитовы операторы, то оператор также эрмитов.

2.6. Доказать, что .

Решение. . Подействуем оператором на функцию :

Следовательно, и .

2.7. Доказать, что если операторы и коммутируют, т.е. , то и операторы и также коммутируют.

Решение.

После умножения и сокращения одинаковых величин получаем

Таким образом, если , то и .

2.8. Доказать, что интеграл можно преобразовать в трехчлен , где - произвольный вещественный параметр, и, следовательно (см.упр.2.7), .

Решение.

(2.8)

Пользуясь эрмитовостью оператора преобразуем первый интеграл в правой части равенства:

Аналогичным образом преобразуем четвертый интеграл:

Второй и третий интегралы преобразуем, пользуясь самосопряженностью операторов и .

Объединим второе и третье слагаемое в правой части соотношения в (2.8) в один интеграл. Получаем . Умножив и разделив это выражение на имеем

Таким образом

что и требовалось доказать.

2.9. В состоянии квантовомеханической системы, описываемом заданной волновой функцией , физическая величина имеет определенное значение. Имеет ли в этом состоянии определенное значении также и величина в случае, если операторы и : 1) не коммутируют, 2) коммутируют.

2.10. Найти собственные значения и нормированные собственные функции следующих операторов:

а) ,

б) ,

в) .

2.11. Найти собственные функции оператора координаты (в координатном представлении).

Решение. Уравнение собственных значений для оператора имеет вид

где, - собственная функция, соответствующая собственному значению . Очевидно, что , если . Воспользуемся свойством -функции (2.6.5): . Напишем это соотношение для аргумента :

Раскрывая скобки, получаем или . Следовательно, собственная функция оператора , соответствующая собственному значению есть .

Литература

Дирак П.