Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции

суперпозиции" width="24" height="24" align="BOTTOM" border="0" /> – ее дисперсия.

1.5. Частица локализована на оси в области и ее состояние описывается функцией

Вычислить среднее значение ее координаты и дисперсию .

2. Операторы квантовой механики

2.1 Операторы динамических переменных

Функция есть рецепт, позволяющий по данному числу x найти другое число . Подобно этому оператор – рецепт, позволяющий по заданной функции найти другую функцию . Оператор определен на некотором множестве функций, если указано действие, с помощью которого каждой функции множества сопоставляется другая функция: . (Оператор будем обозначать буквой со “шляпкой”).

Примеры:

1. Если функция получается из с помощью операции дифференцирования, то это можно записать следующим образом:

,

где - оператор, действующий на функцию .

2. В физике часто используют оператор Лапласа:

.

3. Оператор умножения на независимую переменную x:

.

Физика имеет дело с наблюдаемыми процессами, явлениями, объектами. Наблюдения, измерения всегда связаны со взаимодействием изучаемого объекта с чем-то внешним (окружением, прибором, наблюдателем). Это взаимодействие всегда сопровождается возмущением изучаемого объекта. В классической физике предполагалось, что это возмущение можно сделать как угодно малым и им пренебречь. Однако существование кванта действия означает, что есть предел малости возмущения, которым для микрообъектов пренебречь нельзя. Измерение в квантовой механике – взаимодействие макроприбора с микроскопической системой – существенно меняет состояние последней. Физической процедуре измерения в математическом формализме теории соответствует оператор, действующий на -функцию, характеризующую состояние системы. Измерение меняет состояние системы, оператор изменяет -функцию, характеризующую состояние.

Следующее утверждение считается одним из постулатов квантовой механики:

каждой физической величине в квантовой механике соответствует оператор . Он определяется таким образом, чтобы среднее значение этой величины в состоянии выражалось соотношением

(2.1.1)

или в скобочной форме

(2.1.1а)

Здесь q – набор независимых переменных, от которых зависит -функция, – произведение дифференциалов этих переменных. Интегрирование проводится по всей области изменения независимых переменных. Операторы динамических переменных обозначают теми же буквами, что и соответствующие физические величины, но со “шляпкой” над ними. Например, оператор координаты , оператор импульса , оператор энергии и т.п.

Чтобы не нарушался принцип суперпозиции, операторы динамических переменных в квантовой механике должны быть обязательно линейными. Применение оператора к суперпозиции функций и должно равняться суперпозиции результатов действия этого оператора к каждой из функций и . Оператор называется линейным, если он удовлетворяет условиям:

,

где с – произвольная постоянная. Эти условия можно объединить

.

Типичные примеры линейных операторов: умножение на независимую переменную , дифференцирование по x .

Операторы динамических переменных должны быть обязательно самосопряженными (эрмитовыми). Это следует из требования, чтобы измеряемые в процессе опытов физические величины выражались действительными числами. Следовательно, среднее значение физической величины, представляемой оператором , также должно быть действительным числом, т.е.

.

Используя соотношение (2.1.1) запишем это равенство в интегральной форме

(2.1.2)

или с помощью скобок

(2.1.2а)

Операторы, для которых выполняется это соотношение, считаются самосопряженными (эрмитовыми). Дадим общее определение такого оператора.

Каждому оператору можно привести в соответствие другие: комплексно сопряженный с ним , транспонированный , сопряженный .

Оператор является комплексно сопряженным с оператором , если выполняется соотношение: .

Операторы и называют транспонированными друг с другом, если выполняется соотношение

(2.1.3)

или в скобочной форме

. (2.1.3а)

Оператор называют сопряженным оператору . Следовательно, для произвольной пары функций и и операторов и имеет место соотношение

(2.1.4)

или в интегральной форме

. (2.1.4а)

Самосопряженным называется оператор, если он равен своему сопряженному: =.

Из соотношения (2.1.4) следует, что для самосопряженного оператора и произвольной пары функций и должно выполняться равенство:

(2.1.5)

или

(2.1.5а)

Пример. Найти оператор, сопряженный с . Является ли этот оператор самосопряженным?

Подставим оператор в левую часть равенства (2.1.4а) и проинтегрируем полученный интеграл по частям:

.

Так как , имеем

.

Сравнивая это соотношение с (2.1.4а), получаем . В данном случае , поэтому оператор не является самосопряженным.

2.2 Алгебраические действия с операторами

Имея в распоряжении несколько простых операторов можно получить из них более сложные.

Суммой операторов и называют оператор , который определяется следующим образом:

.

Символически это записывается так:

.

Например,

Произведением операторов и будем называть оператор , который определяется следующим образом:

,

причем на функцию сначала действуем ближайшим к ней оператором, а потом на полученный результат – следующим,

.

Символически произведение операторов записывается в виде .

Например, . Подействуем произведением этих операторов на функцию :

.

Если действие одного и того же оператора повторяется n раз, это записывается в виде степени этого оператора:

.

Например,

.

Произведение операторов зависит от порядка множителей. Например, если , то Но . Очевидно, что в этом случае . Таким образом, операторы, вообще говоря, являются некоммутативными (неперестоновочными). Если , то операторы называют комутирующими. В этом случае . Выражение называют коммутатором.

2.3 Собственные функции и собственные значения оператора

В результате действия оператора на функцию иногда получается та же самая функция, умноженная на некоторое число а:

(2.3.1)

Например,

.

Если имеет место уравнение (2.3.1) и функции удовлетворяют стандартным условиям (конечность, непрерывность, однозначность), то называют собственной функцией оператора , а число – его собственным значением, соответствующим данной собственной функции . Соотношение (2.3.1) называют уравнением собственных значений оператора. Совокупность чисел , при которых это уравнение имеет решение, удовлетворяющее стандартным условиям, называют спектром собственных значений оператора. Спектр собственных значений может быть как дискретным, так и непрерывным множеством. Если спектр собственных значений дискретный, то собственные функции и собственные значения нумеруют:

, n = 1, 2, 3,…

Число n называют квантовым.

Иногда одному и тому же собственному значению соответствует несколько собственных функций. В таком случае говорят, что собственное значение является вырожденным. Число разных функций, принадлежащих одному и тому же собственному значению, называют кратностью вырождения.

Перейдем к физической интерпретации рассмотренных выше математических понятий. Отклонение физической величины A от ее среднего значения есть: . Введем оператор, соответствующий этой величине: . Тогда по формуле (2.1.1) можно найти среднее квадратичное отклонение физической величины от ее среднего значения в состоянии :

.

Пользуясь самосопряженностью операторов квантовой механики, преобразуем интеграл в правой части этого соотношения:

,

следовательно

(2.3.2)

Теперь мы имеем возможность найти состояния, в которых физическая величина А имеет точно определенное значение. В таких состояниях среднее квадратичное отклонение должно равняться нулю, т.е. . Следовательно,

=0.

Поскольку под интегралом находится положительная величина, последнее равенство возможно при условии

, т.е. или

(2.3.3)

Так как в состоянии , удовлетворяющем уравнению (2.3.3) физическая величина точно определена, она равна своему среднему значению. Обозначая это значение физической величины буквой а, можем записать = и . Т.е. является собственным значением оператора , соответствующим собственной функции