Дослідження властивостей технологічного агрегата як многомірної системи

Розрахунково-пояснювальна записка

До курсової роботи з основ теорії систем та системного аналізу:

Дослідження властивостей технологічного агрегата як многомірної системи


Одеса - 2010

1. Еквівалентні та апроксимаційні перетворення моделі


1.1 Нелінійна модель агрегату


На прикладі розглянемо конкретну технічну систему - змішувальний бак:


Рисунок 1. Модель бака.


F1,F2,F - витрати рідини на притоці і витоці системи, м3/с;

C1,C2,C - концентрація на витоці і притоці системи, кмоль/м3;

h - рівень рідини в бакові, м; S - площа бака, м2;

V - об'єм рідини в бакові, м3;

Запишемо рівняння системи в стаціонарному (встановленому) стані, коли притік дорівнює витоку (рівняння матеріального балансу):


F10+F20-F0=0; C1,


де індекс 0 означає встановлений стан.

Записавши умови балансу кінетичної і потенціальної енергії на виході із бака


,

де

p - густина рідини, кг/м3;

w - швидкість витоку, м/с;

q - прискорення вільного падіння,q=9.81 м/с2;

і припускаючи, що

d - діаметр вихідного трубопроводу, м.

Одержимо:


чи, відповідно,

, де


k - коефіцієнт.

При зміні витрат у системі відбувається накопичення речовини і перехід до нового встановленого стану. Цей перехідний процес описується диференціальними рівняннями



де dv/dt - приріст об'єму рідини, - приріст маси рідини.

Наведемо цю систему у стандартному вигляді:



Позначимо:


− зміна у часі відхилення витрати від номінального щодо першого каналу

− теж щодо другого каналу



− зміна у часі відхилення об'єму від номінального у бакові;

− відхилення концентрації від номінальної;



- зміна втрати на виході;

- зміна концентрації на виході.


1.2 Нелінійна модель в стандартній формі


Розглянемо поповнення бака від 0 до номінального значення витрати з урахуванням приросту поданого лінеаризованій моделі. Таким чином, розглянемо стрибок u1=0,03; u2=0.

Позначивши , рівняння бака запишемо у вигляді системи:


Перше рівняння є нелінійним зі змінними що розділяються



З урахуванням того, що запишемо:


,


чи підставляючи


Виразимо

Підставляємо та


Таблиця 1.

y1 0.141 0.142 0.143 0.144 0.145 0.146 0.147 0.148 0.149 0.150 0.151
t, с 0 1.5 3.188 5.116 7.357 10.026 13.315 17.585 23.643 34.072 68.958



1.3 Отримання квадратичної моделі


Рівняння квадратичної моделі має вигляд:



Матриці з підстановкою номінального режиму:


1.4 Запис білінійної моделі



1.5 Лінеаризована модель


Лінеаризуємо залежність , розклавши її на ряд Тейлора.



З урахуванням раніше викладеного запишемо:


; (т.к ), где ;


Припустивши у випадку остатку . Тоді підставивши похідну , отримаємо


;


В результаті маємо


Представивши цю систему в матричній формі:



Тоді матриці А і В запишуться в вигляді


,


Для визначення матриці С необхідно встановити зв'язок між векторами x и y. Оскільки , , то


; , то


Тоді



Система буде мати вигляд


Коефіцієнти моделі системи:



1.6 Модель в дискретному часі


система в дискретному часі має вид:


dt=14,89 c.


Таким чином



Задавшись , , тоді



Результати подальших ітерацій представлено в таблиці:


Таблиця 3.

Збурення Реакція виходу системи y (t)

u1=0

u2=0,01

y1

y2

0

0

0,003298

0,00452

0,005299

0,00469

0,00773

0,006183

0,006512

0,006795

0,00725

0,00702

0,00769

0,00713

час t, с 0 14,894 29,787 44,681 59,574 74,468 89,362

1.7 Перетворення моделі у форму Ассео



1.8 Обчислення МПФ системи


; ; ; n=2; i=1;


Таким чином


1.9 Структурні схеми системи в початковій формі, формі Ассео, ЗЗП



Рисунок 2. Структурна схема системи в початковій формі.


Рисунок 3. Структурна схема системи в формі Ассео.



Рисунок 4. Структурна схема системи у зовнішньозв'язанному поданні.

1.10 Лінеаризована модель в непереривному і дискретному часі з датчиками і ВМ


a) в непереривному часі



Рисунок 5. Структурна схема системи в неперервному часі з датчиками і ВМ.



б) в дискретному часі

Рисунок 6. Структурна схема системи в дискретному часі з датчиками і ВМ.



1.11 Умова правомірності децентралізації


Система в формі Ассео:


, ,,


Спектральна норма матриці , тобто