Группы преобразований

n = 2 , , n = 3 , , .

Доказательство.

Как уже отмечалось, можно выбрать такой ортонормированный базис, что перемещение f имеет вид R = АR + v , где v - некоторый вектор. Если изменить начало координат : R = r + u , R = r + u , получаем: r = Ar + v , где v = Au -u +v = (A - E)u + v .Мы видим, что если число 1 не является собственным значением матрицы А (или, если угодно, оператора f*) , то можно выбрать u так, что в новой системе координат v = 0 . (Поскольку матрица A - E невырождена). Тем самым утверждение теоремы доказано при n=1 и при n=2 в случае det(A) = 1 (так как собственные значения суть exp(ij )¹ 1 при j ¹ 2 p n ).

В случае матрицы можно добиться, чтобы v = , что приводит к скользящему отражению . Для матрицы при j ¹ 2 p n получаем v = , и мы приходим к винтовому перемещению . (При j =2 p n мы приходим к переносу). Наконец, для при j ¹ 2 p n можно считать v = 0 , что приводит к зеркальному повороту , а при j =2 p n - v = и получается скользящее отражение .

Замечание. ( о параметрах перемещений)

Параметр для поворота плоскости будем считать изменяющимся mod 2 p т. е. = . Такое же соглашение будем использовать и для винтового перемещения при h > 0. Если же h = 0 , и речь идет о повороте в пространстве, надо учитывать, что = . В частности, = (отражение относительно прямой параллельной v и проходящей через О). Аналогично, = . Если при этом j = p это преобразование не зависит от вектора n и является отражением относительно точки О.

4* Композиции 1.

Теорема 4

Если f и g два перемещения X, а f*, g* - соответствующие операторы в V, то (f· g)* = f*g*(Символом · обозначена композиция перемещений).

Доказательство.

Используем координатную форму записи: f( R) = AR + v, g( R) = BR + w. Тогда: (f· g)( R) = f( (g( R)) = f( BR + w) = A( BR +w) +v = ( AB)R + ( Aw + v). Следовательно, (f· g)* = AB = f*g*.

Следствие.

Композиция двух перемещений с определителями одного знака имеет определитель (+1); если знаки определителей противоположны, композиция имеет определитель (-1).

Вычисление композиции перемещений пространства не вызывает затруднений. Отметим только, что · = ,где v =2AB.

Для случая пространства удобно использовать комплексные числа. Отождествляя их с точками плоскости, получаем удобный способ записи перемещений. Например, поворот можно записать в виде: z ® z + c. Точка О является неподвижной и соответствующее комплексное число находится из уравнения = + с, откуда = с/(1-). Таким образом, Отметим, что = при j + y ¹ 0 (mod 2 p ) . В то же время при j + y = 0 указанная композиция будет переносом на вектор AD, где D = .

Преобразование z® +c является скользящим отражением относительно прямой Im(= 0 на вектор 0,5 (с + ). Если прямая l проходит через точку и ее направляющий вектор (рассматриваемый как комплексное число) имеет аргумент , то перемещение можно записать в виде

Композиция двух скользящих отражений относительно пересекающихся прямых будет поворотом. В то же время, если прямые параллельны, композиция - перенос.