Дослідження дзета-функції Римана
width="110" height="53" align="BOTTOM" border="0" />. Опираючись на теорему про збіжність нескінченного добутку, з попереднього робимо висновок, що ряд
розходиться.
Ця пропозиція
дає деяку
характеристику
росту простих
чисел. Підкреслимо,
що воно набагато
сильніше твердження
про гармонійний
ряд, тому що
тут мова йде
лише про частину
його членів,
тим більше що
в натуральному
ряді є як завгодно
довгі проміжки
без простих
чисел, наприклад:
,
,
… ,
...
Незважаючи
на свою простоту
наведені вище
пропозиції
важливі в
концептуальному
плані, тому що
вони починають
низку досліджень
усе більше й
більше глибоких
властивостей
ряду простих
чисел, що триває
донині. Спочатку,
основною метою
вивчення
дзета-функції
саме й було
дослідження
функції
,
тобто кількості
простих чисел
не переважаючих
x. Як приклад
формули, що
зв'язує
й
,
ми зараз одержимо
рівність
(2).
Спочатку
скористаємося
розкладанням
дзета-функції
в добуток:
.
З логарифмічного
ряду
,
з огляду на, що
,
приходимо до
ряду
.
Виходить,
.
Тепер обчислимо
інтеграл у
правій частині
(2). Тому що при
,
те
.
У внутрішньому
інтегралі
покладемо
,
тоді
й
,
звідси
.У
проміжку інтегрування
,
тому вірно
розкладання
й
.
Одержуємо
.
Тепер
.
Якщо зрівняти
отримане значення
інтеграла з
поруч для
,
то побачимо,
що вони тотожні
й рівність (2)
доведено.
Використовуємо
формулу (2) для
доказу однієї
дуже серйозної
й важливої
теореми, а саме
одержимо закон
розподілу
простих чисел,
тобто покажемо,
що
.
Як історична довідка відзначу, що великий німецький математик Карл Фрідріх Гаус емпірично встановив цю закономірність ще в п'ятнадцятирічному віці, коли йому подарували збірник математичних таблиць, що містить таблицю простих чисел і таблицю натуральних логарифмів.
Для доказу
візьмемо формулу
(2) і спробуємо
дозволити це
рівняння відносно
,
тобто звернути
інтеграл. Зробимо
це за допомогою
формули обігу
Мелина в такий
спосіб. Нехай
.
Тоді
(3). Цей інтеграл
має потрібну
форму, а
не вплине на
асимптотику
.
Дійсно, тому
що
,
інтеграл для
сходиться
рівномірно
в напівплощині
,
що легко виявляється
порівнянням
з інтегралом
.
Отже,
регулярна й
обмежена в
напівплощині
.
Те ж саме справедливо
й відносно
,
тому що
.
Ми могли б
уже застосувати
формулу Меллина,
але тоді було
б досить важко
виконати
інтегрування.
Тому колись
перетворимо
рівність (3) у
такий спосіб.
Диференціюючи
по s, одержуємо
.
Позначимо ліву
частину через
і покладемо
,
,
(
,
і
думаємо рівними
нулю при
).
Тоді, інтегруючи
вроздріб, знаходимо
при
,
або
.
Але
безперервна
й має обмежену
варіацію на
будь-якому
кінцевому
інтервалі, а
тому що
,
те
(
) і
(
). Отже,
абсолютно
інтегрувальна
на
при
.
Тому
при
,
або
при
.
Інтеграл у
правій частині
абсолютно
сходиться, тому
що
обмежено при
,
поза деякою
околицею крапки
.
В околиці
й можна покласти
,
де
обмежена при
,
і має логарифмічний
порядок при
.
Далі,
.
Перший член
дорівнює сумі
відрахувань
в особливих
крапках, розташованих
ліворуч від
прямої
,
тобто
.
У другому члені
можна покласти
,
тому що
має при
лише логарифмічну
особливість.
Отже,
.
Останній інтеграл
прагне до нуля
при
.
Виходить,
(4).
Щоб перейти
обернено до
,
використовуємо
наступну лему.
Нехай
позитивна й
не убуває й
нехай при
.
Тоді
.
Дійсно, якщо
- дане позитивне
число, те
(
). Звідси одержуємо
для кожного
.
Але тому що
не убуває, то
.
Отже,
.
Думаючи, наприклад,
,
одержуємо
.
Аналогічно,
розглядаючи
,
одержуємо
,
виходить
,
що й було потрібно
довести.
Застосовуючи
лему, з (4) маємо,
що
,
,
тому
й теорема доведена.
Таким чином, ми з'ясували основні характеристики функції-дзета-функції: властивості функції в речовинній області, розподілу простих чисел у натуральному ряді й дослідження функції-дзета-функції як функції мнимого аргументу.
Список літератури
1.Титчмарш Е.К. Теорія функції-дзета-функції Римана. К., 2000 р.
2.Фихтенгольц Г.М. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К, 2004
3.Привалов І.І. Введення в теорію функцій комплексного змінного. - К., 2003.
4.Айерленд К., Роузен М. Класичне введення в сучасну теорію чисел. – К., 1997.
5.Шафаревич З.О. Теорія чисел. – К., 2000