Дослідження дзета-функції Римана

Курсова робота:

Зміст

Введення

Розділ 1

Розділ 2

Розділ 3

Список літератури

Введення

Функція - одне з основних понять у всіх природниче наукових дисциплінах. Не випадково ще в середній школі діти одержують інтуїтивне уявлення про це поняття. Зі шкільної лави наш багаж знань поповнюється відомостями про такі функції як лінійна, квадратична, статечна, показова, тригонометричні й інших. У курсі вищої математики коло відомих функцій значно розширюється. Сюди додаються інтегральні й гіперболічні функції, Ейлерови інтеграли (гама- і бета-функції), тета-функції, функції Якоби й багато інших.

Що ж таке функція? Строгого визначення для неї не існує. Це поняття є в математиці первинним. Однак, під функцією розуміють закон, правило, по якому кожному елементу якоїсь множини X ставиться у відповідність один або кілька елементів множини Y. Елементи множини X називаються аргументами, а множини Y – значеннями функції. Якщо кожному аргументу відповідає одне значення, функція називається однозначної, якщо більше одного – то багатозначної. Синонімом функції є термін «відображення». У найпростішому випадку множина X може бути підмножиною поля дійсних R або комплексних C чисел. Тоді функція називається числовий. Нам будуть зустрічатися тільки такі відображення.

Функції можуть бути задані багатьма різними способами: словесним, графічним, за допомогою формули. Функція, що ми будемо розглядати в цій роботі, задається через нескінченний ряд. Але, незважаючи на таке нестандартне визначення, по своєму поданню у вигляді ряду вона може бути добре вивчена методами теорії рядів і плідно застосована до різних теоретичних і прикладних питань математики й суміжних з нею наук.

Звичайно ж, мова йде про знамениту дзета-функцію Римана, що має найширші застосування в теорії чисел. Уперше ввів неї в науку великий швейцарський математик і механік Леонард Ейлер і одержав багато хто її властивості. Далі активно займався вивченням дзета-функції німецький математик Бернгард Риман. На честь його вона одержала свою назву, тому що він опублікував декілька винятково видатних робіт, присвячених цієї функції. У них він поширив дзета-функцію на область комплексних чисел, знайшов її аналітичне продовження, досліджував кількість простих чисел, менших заданого числа, дав точну формулу для знаходження цього числа за участю функції й висловив свою гіпотезу про нулі дзета-функції, над доказом або спростуванням якої безрезультатно б'ються кращі розуми людства вже майже 150 років.

Наукова громадськість уважала й уважає рішення цієї проблеми однієї із пріоритетних задач. Так Давид Гильберт, що виступав на Міжнародній Паризькій математичній конференції 1900 року з підведенням підсумків розвитку науки й розглядом планів на майбутнє, включив гіпотезу Римана в список 23 проблем, що підлягають рішенню в новому сторіччі й здатних просунути науку далеко вперед. А на рубежі століть, в 2000 році американський The Clay Mathematics Institute назвав сім задач, за рішення кожної з яких буде виплачений 1 мільйон доларів. У їхнє число також потрапила гіпотеза Римана.

Розділ 1

Отже, приступимося до вивчення цієї важливої й цікавої дзета-функції Римана. У даній главі ми одержимо деякі властивості функції в речовинній області, виходячи з її визначення за допомогою ряду.

Визначення. Дзета-функцією Римана ζ(s) називають функцію, що будь-якому дійсному числу s ставить у відповідність суму ряду

(1)

якщо вона існує.

Основною характеристикою будь-якої функції є область визначення. Знайдемо неї для нашої функції.

Нехай спочатку s≤0, тоді s=−t, де t належить множині ненегативних дійсних чисел R+ {0}. У цьому випадку й ряд (1) звертається в ряд , що, мабуть, розходиться як при t>0, так і при t=0. Тобто значення s≤0 не входять в область визначення функції.

Тепер нехай s>0. Для дослідження збіжності ряду (1) скористаємося інтегральною ознакою Коші. При кожному s розглянемо функцію , де , що є на проміжку безперервної, позитивної й монотонно убутної. Виникає три різних можливості:

0<s<1. Тоді , тому ряд (1) розходиться й проміжок (0;1) не входить в область визначення дзета-функції;

s=1. Одержуємо, тобто при s=1 дзета-функція Римана також не визначений;

s>1. У цьому випадку

. Ряд (1) сходиться.

Узагальнивши результати, знаходимо, що область визначення дзета-функції є проміжок . На цьому проміжку функція виявляється безперервної нескінченне число раз.

Доведемо безперервність функції ζ(s) на області визначення. Візьмемо довільне число s0>1. Перепишемо ряд (1) у вигляді . Як було вище показане, ряд сходиться, а функції при s>s0 монотонно убувають і все разом обмежено одиницею. Виходить, по ознаці Абеля для s>s0 ряд (1) сходиться рівномірно. Використовуючи теорему про безперервність суми функціонального ряду, одержуємо, що в будь-якій крапці s>s0 дзета-функція безперервн. Через довільність s0 ζ(s) безперервна на всій області визначення.

Тепер по членним диференціюванням ряду (1), поки формально, знайдемо похідну дзета-функції Римана:

(2).

Щоб виправдати цей результат, досить упевнитися в тім, що ряд (2) рівномірно сходиться на проміжку й скористатися теоремою про диференціювання рядів. Використовуємо той же прийом. Зафіксуємо будь-яке s0>1 і представимо ряд (2) у вигляді для s>s0. Множники , починаючи з n=2, монотонно убувають, залишаючись обмеженими числом ln 2. Тому по ознаці Абеля ряд (2) сходиться рівномірно при s>s0, а значить і при будь-якому s>1. Яке би значення s>1 не взяти його можна укласти між і , де , а ; до проміжку застосовна вищевказана теорема.

Таким же шляхом можна переконатися в існуванні для дзета-функції похідних всіх порядків і одержати їхні вираження у вигляді рядів:

.

Спробуємо побудувати наочне зображення функції у вигляді графіка. Для цього вивчимо спочатку її поводження на нескінченності й в околиці крапки s=1.

У першому випадку, через рівномірну збіжність ряду (1), по теоремі про по членний перехід до межі, маємо . При n=1 межа дорівнює одиниці, інші межі дорівнюють нулю. Тому .

Щоб досліджувати випадок , доведемо деякі допоміжні оцінки.

По-перше, відомо, що якщо для ряду існує безперервна, позитивна, монотонно убутна функція , певна на множині , така, що , і має первісну , то остача ряду оцінюється так: , де . Застосовуючи вищесказане до ряду (1), знайдемо, що необхідна функція

, а й . Звідси, підставляючи в подвійну нерівність, маємо

(3). У лівій нерівності покладемо n=0, тоді , тобто . У правом же візьмемо n=1 і одержимо , далі , і, нарешті, . Переходячи в нерівностях до межі при , знаходимо .

Звідси, зокрема, треба, що . Дійсно, покладемо . Тоді , тобто . Тому . З того, що , а , випливає доказуване твердження.

Можна, однак, одержати ще більш точний результат для оцінки поводження дзета-функції в околиці одиниці, чим наведені вище, що належить Дирихле. Будемо відштовхуватися від очевидного при довільному n рівності . Додамо до всіх частин нерівностей (3) суму й віднімемо . Маємо . Нехай тут s прагне до одиниці. За правилом Лопиталя легко обчислити й . Ми поки не знаємо, чи існує межа вираження при , тому, скориставшись найбільшою й найменшою межами, напишемо нерівності так:

. Через довільність n візьмемо . Перше й останнє вираження прагнуть до Ейлерової постійного C (C 0,577). Виходить, а, отже, існує й звичайна межа й .

Знайдені вище межі дозволяють одержати лише приблизне подання про вид графіка дзета-функції. Зараз ми виведемо формулу, що дасть можливість нанести на координатну площину конкретні крапки, а саме, визначимо значення , де k – натуральне число.

Візьмемо відоме розкладання , де - знамениті числа Бернуллі (по суті, через нього ці числа й визначаються). Перенесемо доданок у ліву частину рівності. Ліворуч одержуємо cth , а в правій частині - , тобто cth . Заміняємо на , одержуємо cth .

З іншого боку, існує рівність cth , з якого cth . Підстановкою замість знаходимо cth . Якщо , то для будь-якого N і по теоремі про додавання нескінченної множини статечних рядів cth .

Дорівняємо отримані розкладання:

, отже . Звідси негайно треба формула

(4), де - k-е число Бернуллі. Вона зручна тим, що ці числа добре вивчені й для них складені великі таблиці.

Тепер, виходячи з отриманих результатів, можна побудувати ескіз графіка дзета-функції Римана, що досить добре відбиває її поводження на всій області визначення.

Леонард Ейлер, що вперше розглянув дзета-функцію, одержав чудове розкладання її в нескінченний добуток, що іноді теж приймають за визначення:

, де pi – i-е простої число (4).

Доведемо тотожність ряду (1) і добутку (4). Згадавши формулу суми геометричної прогресії, одержуємо рівність

Якщо перемножити кінцеве число таких рядів, що відповідають всім простим числам, що не перевершують заданого натурального числа N, то частковий добуток, що вийшов, виявиться рівним , де символ * означає, що підсумовування поширюється не на всі натуральні числа, а лише на ті з них (не вважаючи одиниці), які у своєму розкладанні містять тільки прості числа менші N. Тому що перші N натуральних чисел цією властивістю володіють, то

(5).

Сума містить не всі числа, більші N+1, тому, мабуть, . З (5) одержуємо

(6).

Через збіжність ряду (1), вираження праворуч, що представляє його остача після N-Го члена, прагне до нуля при N прагнучої до нескінченності, а є добуток (4). Значить із нерівності при , що й було потрібно довести.

Формула (4) важлива тому, що вона зв'язує натуральний ряд, представлений множиною значень аргументу дзета-функції, із множиною простих чисел. Ще один крок у цьому напрямку ми зробимо, оцінивши , а саме показавши, що , де залишається обмеженим при .

З (4) треба, що , де N, а при . Візьмемо логарифм від обох частин рівності, тоді . Натуральні логарифми під знаком суми розкладаються в ряд: . Підставивши отримані розкладання в рівність і спрямувавши N до нескінченності, маємо . Залишається довести обмеженість останнього доданка. Ясно, що . Остання рівність справедливо, тому що . Далі, мабуть, , що й завершує доказ.

На цьому закінчимо виклад властивостей дзета-функції Римана для дійсного аргументу, тому що найбільший теоретичний і прикладний інтерес представляє випадок викладений у другому розділі.

Розділ 2

Всі результати першого розділу, що стосуються дзета-функції Римана, були отримані в припущенні, що її аргумент s – дійсне число. Однак, найвидатніші дослідження й численні важливі додатки стали можливі лише після включення в область визначення функції комплексних чисел. Уперше розглянув дзета-функцію як функцію мнимого аргументу німецький математик Бернгард Риман, що глибоко вивчив її властивості й широко застосовував її