Теории управления

ный.

2) - биномиальное распределение.

Оказывается, если число уровней квантования і 8,то

их можно отождествить с непрерывными системами.

Представление дифференциальных уравнений, описывающих

системы автоматического управления конечных разностей

(1)

- первая разность, аналог пер-

вой производной

n - непрерывное время, непрерывное множество состо-

яний.

- аналог 2й

производной

.......................................

- аналог К-той производной

Если это подставить в непрерывное дифференциальное урав-

нение то получим следующее :

(2)

Если подставить в (2) разности, то получим :

(3) -

- разностное уравнение с дискрентным временем.

Z -преобразования

Аналогичны преобразованию Лапласа. Это очень удобный аппарат для исследования систем с дискретным временем в

частотной области. Для этого вместо экспоненты (для упро-

щения) вводится - это есть Z-преобразование. Для

того, чтобы ввести Z-преобразование используется сле-

дующий прием связи непрерывного процесса X(t)и дискретно-

го (1)

X(1),X(2) - выборка с дискрет-

ным временем ¬

Рассмотрим преобразование Лапласа :

(2)

Формально введем новую переменную :

(3)

Используя (2) и (3) получим

(4)

(4) - называется Z-преобразования, показывает как перейти

от функции с дискретным временем (X(n)) к спектру

на Z-плоскости.(Оно проще преобразования Лапласа,

но имеет те же свойства и для разных дискретных

функций имеются специальные таблицы.

Устойчивость систем с дискретным временем

Системы с непрерывным временем характеризуются передаточ-

ной функцией (отношения 2х полиномов), тоже самое в Z-пре

образовании, только переменная не p = s ± jw, a ,

либо (на линейной оси)

P-плоскость Z-плоскость

(Система

устойчива)

- окружность, следовательно левая комплексная полу-

плоскость легче преобразуется во внутренность круга

Если полюсы передаточной функции находятся во внутреннос-

ти круга, то система устойчива, если полюсы находятся на

самом круге, то будет колебательный процесс, если вне

круга - система неустойчивая.

- устойчивая система - колебательная

система

n

- неустойчивая система

n

Глава 3

Нелинейные динамические системы

Нелинейные динамические системы описываются дифференци-

альными уравнениями :

(1) , где - вектор, ,

Если линейные дифференциальные уравнения имеют решения

(экспоненциальные), то для нелинейных дифференциальных

уравнений нет общих решений (за редким исключением), но

все реальные динамические системы нелинейны, некоторые

из них нельзя линеаризировать, как быть ?

Выход : 1) Там,где возможно, делается линеаризация правой

части уравнения (1).

Линеаризация - замена нелинейной функции на линейную.

(2) f(x,t)=A(t)x + B(t) + S(x,t)

S(x,t) - мало, им можно принебречь.

Если правая часть (1) не зависит от времени, то система

называется автономной

Линеаризация используется,как правило, для проверки

устойчивости системы. Для исследования свойств нелиней-

ных динамических систем, обычно используются качественные

и численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений. Теория нелинейных уравнений часто называется

теорией нелинейных колебаний.

Пример : Нелинейной динамической системы уравнений Вандер

Поля.

- нелинейность.

= const

Дифференциальное уравнение называется нелинейным, если

оно нелинейно относительно разыскиваемой переменной (са-

мой переменной или ее производной) (нелинейность из-за

квадрата)

Требуется найти решение x(t) .

Существуют численные методы решения таких дифференциаль-

ных уравнений ( численные методы рассматриваются на сет-

ке с шагом ) . Решение получается не непрерывное , а

дискретное.

Численные методы описыва-

t ются в книге: Эльсгольц