Теории управления

alt="" width="133" height="52" align="ABSMIDDLE" /> ; здесь : верхняя функция - нелиней-

ная регрессия, нижняя - уравнение наблюдений.

Функция генерирует на любом интервале неко-

торый случайный процесс . Это есть модель неко-

торого случайного процесса, более богатая, чем все преды-

дущие модели.

Уравнение наблюдений : наблюдается не сама , а не-

которая функция j();наблюдения ведутся на фоне шумов

- шум нелинейной динамической системы (шум модели)

1) Требуется найти оценку , такую, чтобы :

(2)

Формула (2) - критерий минимума среднеквадратической

ошибки.

2) Требуется получить реккурентную оценку, такую же как в

фильтре Калмана.

В чистом виде получить оптимальную оценку нельзя, есть

лишь приближенные решения, когда функции f(x) и j(x) -

- линеаризуются.

Тейлоровская линеаризация - используется ряд Тейлора,

линейная часть (1-я, 2-го

члена). ( j(x) и f(x) - имеют непрерывные первые про-

изводные).

Разложение в ряд Тейлора в точке

где - оценка, которую мы еще не знаем, но собираем-

ся находить.

Эти линеаризованные функции подставим в (1) и получим

линейную систему :

(2)

Коэффициенты a,b,c,d находятся после подстановки.

и имеют произвольное распределение.

Будем использовать метод наименьших квадратов для на-

хождения оценок .

; ;

Выпишем эмпирический риск :

r - функционал.

После линеаризации :

производная из r берется легко

Продифференцировав и воспользовавшись методом индукции

получаем :

(3)

; - задано

Выводы :

1. В связи с тем, что начальная точка разложения

в ряд Тейлора функции j(x) была выбрана в точ-

ке , то несмотря на линеаризацию, урав-

нение (3) получилось как нелинейное и оно по-

хоже на уравнение (1) модели.

2. В отличие от фильтра Калмана, в , при рек-

курентном его вычислении входит - оценка

‘x’ на первом шаге. Коэффициент усиления можно

вычислить заранее за ‘n’ шагов (в фильтре Кал-

мана). Но здесь этого сделать нельзя. Сущест-

вует так называемая обратная связь.

Пример нелинейной фильтрации :

;

T - период колебания

t - период дискретизации

t - текущее время

- фаза гармонического колебания с амплитудой равной 1

процесс наблюдается на фоне шума

- дискретная частота;

(4)

t

Т

Отношение сигнал/шум может быть меньше 1. Требуется получить оценку фазы, такую, чтобы разница в квадрате

была минимальной.

. Из (3) получаем :

(5)

Перемножим и пренебрежем 2й гармоникой :

(6) - ФАПЧ

(5) - ФНЧ, фильтрует 2-ю гармонику полностью(раз-

ностное уравнение)

Структурная схема ФАП

- на вход

вх

¬



a

синтезатор t

опоры

­

На вход поступает аддитивная смесь.

Принцип работы ФАП

Измеритель фазы является следящей системой с отрицатель-

ной обратной связью. Опорное колебание с фа-

зой - экстраполированная фаза. є. Чем точнее

экстраполяция, т.е. чем меньше , тем точ-

нее будет оценка.

Глава 5

Оптимальное управление дискретными динами-

ческими системами

Существует два типа детерминированных управляемых процес-

сов (детерминированных систем)

(1) - детерминированная система

- управление (некоторая функция от дискретного

времени, которая входит в разностное уравнение

динамической системы)

Стохастическая управляемая система

(2) , где - шум(может быть белым

),