Теории управления

на использует наблюде-

ния и начальные усло-

вия. На выходе фильтра

x(t) получается исходный

процесс x(t).

Фильтрация медленных процессов

x(t)

При а=0.999,

,

есть медленный процесс, тогда

, это следует из формулы

(3).В этом случае -

t - экстраполяция (прогноз),т.е.

прошлая и текущая оценки поч-

ти одинаковы. В таком фильтре Калмана почти полностью иг-

норируются наблюдения. При оценке ситуации фильтр Калмана

не доверяет наблюдениям, а доверяет лишь прошлой оценке.

Это годится для процессов, которые можно легко предска-

зать.

Фильтрация быстрых процессов

- большая величина (>1); .

x(t)

динамическая ошибка

t

Тогда , в этом случае (оценка) равна самим наблю-

дениям. Это значит, что фильтр Калмана не доверяет прош-

лым оценкам.

Вывод : Фильтр Калмана минимизирует и флуктуационную и

динамическую ошибку.

Динамической ошибкой называется разница между оценкой и

истинным значением процесса.

-=динамическая ошибка.

Флуктуационная ошибка - тоже, но за счет шума.

При быстром процессе шумы фактически не фильтруются.

Невязка входит в фильтр Калмана и выполняет роль

корректирующего члена, который в формуле (3)

учитывает ситуацию, которую дают наблюдения.

Оценка на шаге ‘n’ равна экстраполированной оценке

плюс некоторый корректирующий член, который есть невязка,

которая взята с весом . (Корректирующий член учитывает

наблюдения на шаге ‘n’) Вес учитывает апприорную дина-

мику системы (модели).

Вывод (по одномерному фильтру Калмана):

1) Фильтр Калмана можно построить в виде реккурентного

алгоритма только в том случае, если имеется модель

случайного процесса, который он фильтрует.

2) Фильтр Калмана оптимален для реального процесса только

в том случае, если реальный процесс близок к модели,

которую мы используем.

Многомерный фильтр Калмана

(1) , где - текущее время, -

- вектор (столбики)

A - матрица kґk, H - матрица mґk.

- вектор, - шум наблюдения

; - шум динамической системы.

Запишем (1) в скалярной форме. covx=Q, covh=P.

Многомерный фильтр Калмана для модели (1) :

,

где - вес, - невязка.

; где - единичная матрица

=Г ; Начальные условия задаются из аппри-

Г ; орных условий . - транспони-

рованная матрица (сопряженная).

Траекторные изменения

Часто требуется получить оценку траектории летательного

аппарата. Летательный аппарат может быть зафиксирован с

помощью радиолокатора, либо некоторой навигационной сис-

темой.

Летательный аппарат рассматривается в некоторой сис-

теме координат :

Если известны точно все 9 коор-

Z динат (см.ниже), то можно точ-

л.а. но навести ракету. Для определе-

ния всех координат существуют

р X траекторные фильтры, которые

строятся на базе фильтра Калмана.

Y

Траекторный фильтр 2-го порядка

(1) ; a<1

Первые две строки (1) - это модель, последняя строка -

- наблюдение.

Составим многомерный фильтр Калмана , для этого по мо-

дели (1) составим многомерную модель.

;

(2) ;

; ; H=[1,0]

Из формулы (2) имеем :

; ;

; ;

Траекторный фильтр 3-го порядка

(4) , первые две строки - модель,

последняя строка - наблюдения

; ; ; ;

H = [1,0,0] ;

; ;

Теория нелинейной фильтрации

Здесь нелинейные модели записываются в виде :

(1)