Функция распределения электронов

(11)


После такого формального введения уравнения Лиувилля мы должны дать физическую интерпретацию понятия ансамбля. Среди авторов, обсуждавших эту проблему в литературе, до сих пор имеются некоторые разногласия, в особенности эти разно­гласия касаются известной эргодической теоремы [2]. Мы не хотим здесь вдаваться в подробности этой весьма бесплодной дискуссии, тем более что недавно были высказаны некоторые сом­нения в применимости этой теоремы к реальным физическим системам [З]. Мы будем считать, что для макроскопического наблю­дателя невозможно по одному измерению получить сведения о системе, первоначальное состояние которой определено «макро­скопически» (мы ниже вернемся еще к понятию «макроскопическое определение»). Единственное, что можно предсказать, это средний результат на основе большого числа измерений, полученных для одной и той же макроскопической системы. Предположим, что это среднее значение имеет вес, равный функции распределения fN . Эта функция для момента времени t=0 должна быть построе­на так, чтобы она согласовывалась с имеющейся макроскопической информацией о системе. Однако вследствие большого числа частиц в системе результат любого измерения будет очень близок к сред­нему значению измеряемой величины для ансамбля (ошибка приблизительно порядка N-1). Последнее утверждение никогда не доказывается, но является вполне естественным.

Из этого обсуждения можно сделать следующий вывод: наблю­даемое значение любой макроскопической динамической вeличины есть среднее значение соответствующей микроскопической величины с весом fN:


(12)


Заметим теперь, что информация, заключенная в fN , в действительности оказы-вается излишней. Для всех величин, характери­зующих макроскопическое состояние системы, таких, как плот­ность, гидродинамическая скорость и т. д., величина А (х, v) является функцией положения и скорости очень небольшого числа частиц (скажем, одной, двух и т. д.) по сравнению с полным числом частиц системы. Поэтому весом для функции А в (12) в действи­тельности является интеграл от fN , по всем частицам, за исключе­нием тех, от которых зависит А. Такие интегралы называются приве-денными, s-частичными функциями распределения. Опреде­ляются они формулой:


(13)


Множитель N!/(N-s)! является удобным по следующим причи­нам. Если интерпретировать fN как вероятность, то функция fs определенная без такого множителя, соответствовала бы вероят­ности нахождения определенной частицы 1 в точке (x1,v1), части­цы 2 в точке (x2,v2) и т. д. Однако в больших физических систе­мах из одинаковых частиц все частицы равноправны; данные макроскопические свойства определяются набором частиц в целом независимо от их нумерации. Поэтому удобно умножать интеграл от функции fN на такой множитель, который представлял бы число способов выбора s частиц из полного числа частиц N.

Наиболее важные макроскопические величины выражаются через эти функции так [4, 5]:

Плотность в точке x


(14)


Локальная (гидродинамическая) скорость в точке х


(15)


Локальная плотность энергии в точке x



(16)


Корреляция плотности между точками x и x’


(17)


В дальнейшем будут определены другие средние величины:


В многокомпонентных системах необходимо дополнительно определить приведенные функции распределения. В системе, состоящей из s компонент, имеется s типов одночастичных распределений:



Это обозначение, очевидно, относится к частице 1 типа . Аналогично имеется всего 1/2s (s + 1) типов двухчастичных распределений:



Эта функция соответствует распределению частицы 1 типа и частицы 2 типа ’. Обобщение определений (14) — (16) в этом случае приводит к следую­щим соотношениям:



(14a)


Локальная скорость в точке х



(15a)


Локальная плотность энергии в точке х



(16a)


Рассмотрим еще три других типа приведенных функций рас­пределения: приведенную s-частичпую функцию распределения по скоростям,s ; приведенную s-частичную функцию распреде­ления по координатам, ns; приведенную г-частичиую по скоро­стям и s-частичную по координатам функцию распределения (sr).Эти функции определяются следующим образом:


(18)



(19)




(20)


Литература:


1.Р.Балеску “Статистическая механика заряженных частиц.”;

М.,”Мир” 1967г.