Задачи линейной алгебры
Реферат подготовил учащийся
1КД гр. Сергей Шрам
Министерство науки и образования Украины
ДГМА
Краматорск
2003
При решении
различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел,
называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных
уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи
компьютерной графики и другие инженерные задачи.
Матрицей
называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов.
Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица
называется квадратной, а число m = n —
ее порядком.
В дальнейшем
для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые
скобки:
или 
Для краткого обозначения матрицы часто будет
использоваться либо одна большая латинская буква (например, A),
либо символ || a ij || ,
а иногда с разъяснением: А = || a ij || =
( a ij ),
где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n).
Числа a ij , входящие в состав данной матрицы,
называются ее элементами. В записи a ij первый индекс і означает номер строки, а
второй индекс j —
номер столбца. В случае квадрат-ной
матрицы
(1.1)
вводятся
понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1)
называется диагональ а11 а12
… ann идущая
из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной
диагональю той же матрицы называется диагональ аn1 а(n-1)2 … a1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
Основные
операции над матрицами и их свойства.
Прежде всего,
договоримся считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые
порядки и все их соответствующие элементы совпадают.
Перейдем к
определению основных операции над матрицами.
Сложение
матриц. Суммой двух матриц A = || a ij || ,
где (i =
1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) и
В = || b ij || , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) одних и тех же порядков т
и п называется матрица С = || c ij || (і =1,2, ..., т; j = 1, 2, ...., п) тех же порядков т и п, элементы сij которой определяются по формуле
, где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) (1.2)
Для обозначения
суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы
матриц называется их сложением. Итак, по определению:
+ 
= 
Из определения
суммы матриц, а точнее из формул (1.2) непосредственно вытекает, что операция
сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения
веществен-ных чисел, а именно:
1)
переместительным свойством: А + В = В +
А,
2)
сочетательным свойством: (A + B) +
С = А + (В + С).
Эти свойства
позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух
или большего числа матриц.
Умножение
матрицы на число. Произведением матрицы A = || a ij || ,
где (i =
1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) на вещественное число l, называется
матрица С = || c ij ||
(і =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), элементы которой определяются по формуле:
, где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) (1.3)
Для обозначения
произведения матрицыі на число используется запись С = l A или С = А l. Операция составления произведения матрицы на число
называется умножением матрицы на это число.
Непосредственно
из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими
свойствами:
1)
сочетательным свойством относительно числового множителя: ( l m ) A = l ( m A );
2)
распределительным свойством относительно суммы матриц: l (A + B) = l A + l B;
3) распределительным
свойством относительно суммы чисел: (l + m) A = l A + m A
Замечание.
Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и п естественно назвать такую
матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей B
дает матрицу A.
Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = A — В.
Очень легко
убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по
правилу С = A + (–1) В.
Произведение
матриц или перемножение матриц.
Произведением
матрицы A = || a ij || ,
где (i =
1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) имеющей порядки, соответственно равные т и n, на матрицу В = || b ij || , где (i = 1, 2, ..., n , j=1, 2, ..., р), имеющую порядки,
соответственно равные n и р, называется матрица С = || c ij ||
(і =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., р), имеющая порядки,
соответственно равные т и р элементы
которой определя-ются по формуле:
где (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p) (1.4)
Для обозначения
произведения матрицыі А на матрицу В используют запись С = А × В. Операция составления произведения
матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц.
Из
сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на
всякую матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу
строк матрицы В.
Формула (1.4)
представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся
произведением матрицы А на матрицу В.
Это правило можно сформулировать и словесно: элемент ci j стоящий на пвресечении і-й строки и j-го столбца матрицьі С = А В, равен сумме
попарных произведений соответствующих элементов і-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.
В качестве
примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных
матриц второго порядка.
×
= 
Из формулы
(1.4) вытекают следующие свойства
произведения матрицы А на матри-цу В:
1)
сочетательное свойство: ( А В ) С = А ( В С );
2)
распределительное относительно суммы матриц свойство:
( A + B ) С = А С + В С или A ( В + С ) = A В + А С.
Вопрос о
перестановочном (переместительном) свойстве произведения матрицы A на матрицу В
имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц A и В одинакового порядка.
Приведем важные
частные случаи матриц, для которых
справедливо и переста-новочное свойство. Две матрицы для произведения которых
справедливо перестановочное свойство, принято називать коммутирующими.
Среди
квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из
которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая
диа-гональная матрица порядка п имеет
вид
D = 
(1.5)
где d1 , d2 , …, dn—какие угодно числа. Легко видеть, что
если все эти числа равны между собой, т. е. d1 = d2 = … = dn то
для любой квадратной матрицы А порядка п справедливо равенство А D = D А.
Среди всех
диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами d1 = d2 = … = dn = = d особо важную роль играют две матрицы.
Первая из этих матриц получается при d = 1, называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается символом Е. Вторая матрица получается при d = 0, называется нулевой матрицей n-го порядка и обозначается символом O. Таким образом,
E = 
O = 
В силу
доказанного выше А Е = Е А и А О = О А.
Более того, легко показать, что
А Е = Е А =
А, А О = О А = 0. (1.6)
Первая из
формул (1.6) характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную той
роли, которую играет число 1 при перемножений вещественных чисел. Что же
касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из
формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство
А + 0 = 0 + А =
А.
В заключение
заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадрат-ных матриц
(нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равныї нулю).
Блочные
матрицы
Предположим,
что некоторая матрица A = || a ij ||
при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные
прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших
размеров и называется блоком исходной матрицы. В таком случае возникает
возможность рассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой
б л о ч н о й) матрицыі А = || A ab ||, элементами которой служат указанные блоки.
Указанные элементы мы обозначаем большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть,
что они являются, вообще говоря, матрицами, а не числами и (как обычные
числовые элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер
«блочной» строки, а второй — номер «блочного» столбца.
Например,
матрицу
можно
рассматривать как блочную матрицу
элементами
которой служат следующие блоки:
Замечательным
является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по
тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами,
только в роли элементов выступают блоки.
Понятие
определителя.
Рассмотрим
произвольную квадратную матрицу любого порядка п:
A = (1.7)
С каждой такой
матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую
определителем, соответствующим этой матрице.
Если порядок n
матрицы (1.7) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемен-та аi j определителем первого порядка соответствующим такой
матрице, мы назовем величину этого элемента.
Если далее
порядок п матрицы (1.7) равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид
A = (1.8)
то
определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число,
равное а11 а22 — а12 а21 и обозначаемое одним из символов:
Итак, по
определению
(1.9)
Формула (1.9)
представляет собой правило составления определителя второго порядка по
элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила
такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.8), равен
разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы,
и произведения элементов, стоящих на
побочной ее диагонали. Определители второго и более высоких порядков находят
широкое применение при решении систем линейных уравнений.
Рассмотрим, как
выполняются операции с матрицами в системе
MathCad. Простейшие
операции матричной алгебры реализованы в MathCad в виде операторов. Написание
операторов по смыслу максимально приближено к их математическому действию.
Каждый оператор выражается соответствующим символом. Рассмотрим матричные и
векторные операции MathCad 2001. Векторы
являются частным случаем матриц размерности n x 1, поэтому для них справедливы все те операции,
что и для матриц, если ограничения особо не оговорены (например, некоторые
операции применимы только к квадратным матрицам n x n). Какие-то действия
допустимы только для векторов (например, скалярное произведение), а какие-то,
несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.
При работе с матрицами используется
панель инструментов “Матрицы”
Рис.1 Панель
инструментов Матрицы
Для ввода
матрицы:
введите имя
матрицы и знак присваивания (двоеточие)
щелкните по
значку “создать матрицу” в панели “Матрицы”.
В появившемся диалоге задайте число
строк и столбцов матрицы.
После нажатия кнопки
OK открывается поле для ввода элементов матрицы. Для того, чтобы ввести элемент
матрицы, установите курсор в отмеченной позиции и введите с клавиатуры число
или выражение.
Для того, чтобы
выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно:
выделить
матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции,
или щелкнуть по
кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.
Меню “Символы”
содержит три операции - транспонирование, инвертирование, определитель.
Это означает,
например, что вычислить определитель матрицы можно, выполнив команду
Символы/Матрицы/Определитель.
Номер первой
строки (и первого столбца) матрицы MathCAD хранит в переменной ORIGIN. По
умолчанию отсчет ведется от нуля. В математической записи чаще принято вести
отсчет от 1. Для того, чтобы MathCAD вел отсчет номеров строк и столбцов от 1,
нужно задать значение переменной ORIGIN:=1.
Функции,
предназначенные для работы с задачами линейной алгебры, собраны в разделе
“Векторы и матрицы” диалога “вставить функцию” (напоминаем, что он вызывается
кнопкой на панели “Стандартные”).
Основные из этих функций будут описаны позже.
Транспонирование
|
Рис.2
Транспонирование матриц
|
Транспортированием называют операцию,
переводящую матрицу размерности mxn в матрицу размерности n x m, делая столбцы исходной матрицы строками, а строки —
столбцами. Пример приведен в листинге на рис.2. Ввод символа транспонирования (transpose) осуществляется с помощью панели
инструментов Matrix
(Матрица) или нажатием клавиш +. He забывайте, что для вставки символа транспонирования
матрица должна находиться между линиями ввода. Напоминание о линиях ввода по
отношению к матрицам приведено ранее.
Сложение
В MathCAD можно как складывать матрицы, так и
вычитать их друг из друга. Для этих операторов применяются символы
или соответственно. Матрицы должны иметь