Старший и верхний центральный показатели линейной системы

СЛУЧАЙ .

4.1 Вычисление старшего показателя системы.

Рассмотрим систему

(1)

Решим ее.

,

,

получили уравнение с разделяющимися переменными.

,

,

,

.

Общее решение системы (1) имеет вид:

Возьмем 1)

2)

тогда получим два решения системы:

.

Составим матрицу решений системы (1).

.

Проверим ее на фундаментальность:

.

Следовательно [1,с.70], матрица фундаментальна.

Перейдем к вычислению показателей решений .

По определению [1,с.20] вычислим норму:

;

.

По определению 1.2 вычислим характеристические показатели, используя лемму 1.1:

, .

,

так как функции и ограниченные.

.

Проверим на несжимаемость систему вектор-функций , используя определение 1.3.

Составим линейную комбинацию

, где ,

и рассмотрим три случая: 1)

2)

3)

В первом случае

.

Во втором случае

.

В третьем случае

.

Найдем нормы :

;

;

.

Итак,

,

.

В силу определения 1.2:

.

Так как ─ ограниченная величина, то

А значит, .

;

;

По определению 1.3 следует, что характеристический показатель линейной комбинации совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений, то есть

А это означает, что система (1) обладает свойством несжимаемости. Тогда по теореме 1.1 наша фундаментальная система нормальная. По следствию 1.1 вытекает, что реализует весь спектр линейной системы. Значит, спектр системы состоит из одного числа: .

По определению 1.5 старший показатель системы (1) равен нулю, то есть

.

4.2 Вычисление верхнего центрального показателя системы

По-прежнему рассматриваем систему (1):

.

Применительно к нашей системе семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций P состоит из двух функций и, то есть

P,

где

Для вычисления верхнего центрального показателя нам понадобится функция

.

Докажем, что функция является верхней для семейства P.

Доказательство:

По определению 1.7 ─ верхняя функция для семейства P, если

.

Докажем, что .

.

Следовательно,

.

Докажем, что .

Следовательно,

,

то есть для любого

Тогда по определению верхней функции

(P) .

Вычислим .

По определению 1.6 верхнего среднего значения функции

Для всякого найдется такое , что

.

Тогда

.

Вычислим отдельно .

Итак,

.

Оценим сверху .

. (*)

Учитывая (*) и оценивая сверху, получаем

.

Тогда (при )

,

то есть .

Оценивая снизу, получаем

,

где .

Тогда

,

то есть .

Следовательно, .

Теперь изобразим функции , и на графике.

График функции :

График функции :

Очевидно, что на отрезках ,

а на отрезках для любого .

Теперь покажем, что верхний центральный показатель совпадает с , то есть

.

Докажем следующим образом:

1.Введем функцию .

Разобьем ось на промежутки точками

Используя определение 1.12, положим

если

Оценим .

Возможны три случая:

если , то