Старший и верхний центральный показатели линейной системы

потребуется доказать несколько утверждений и следствий.

Утверждение 1.

Если семейство сужается, то его верхний класс может только расшириться, а верхнее число уменьшиться, то есть из


P’ P


следует


(P’)(P)

и

.


Доказательство.


Всякая верхняя функция для семейства P является верхней и для P’, так как P’ P. Значит,

(P)(P’).


По определению 1.9

.


Из того, что


(P)(P’)


следует


.


А значит,


.


Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2.

Если семейство P’ состоит из одной функции , то есть P’=, то верхнее среднее значение функции совпадает с верхним центральным числом семейства P’, то есть



Доказательство.


Для доказательства равенства



докажем два неравенства:

1) ;

2) .


Из определения 1.7 следует, что является верхней функцией, то есть


, = 0;


итак,


(P’).

Следовательно, .

Пусть ─ любая верхняя функция семейства P’:



для любой (P’).

Тогда по определению 1.6


.


Так как ─ любое, то



для любой функции (P).

Следовательно,


.


Тем самым утверждение 2 доказано.


Следствие 1.(из утверждений 1 и 2)


Пусть P =─ семейство кусочно непрерывных функций и равномерно ограниченных функций. Тогда если семейство P’ состоит из одной функции , то есть P’= , и P’ P , то верхнее среднее значение функции не превосходит верхнего центрального числа семейства P, то есть


.

Доказательство.

Так как P’ P, то из утверждения 1 следует, что


(P’)(P)

и

.


Так как P’ состоит из одной функции, то есть P’= , то из утверждения 2 следует, что


.


Следовательно,


,


то есть


.


Следствие 1 доказано.


Следствие 2.(из следствия 1)

Пусть P = ─ семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций. Тогда


.


Доказательство.


Из следствия 1 вытекает, что для любого выполняется


.


Следовательно,


.


Следствие 2 доказано.

Воспользуемся доказательством следствия 2 для доказательства следующего утверждения.

Утверждение 3.

Пусть

некоторая линейная система дифференциальных уравнений и


P =


семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций, где


.

Тогда старший показатель Ляпунова не превосходит верхнего центрального числа семейства P, то есть


.


Доказательство.


Так как ,

то


.


Выразим из последнего равенства :


, .


Тогда из определения 1.2 следует, что



[определение 1.6],


то есть


.


Из этого следует, что


.


Так как по определению 1.5


,

то

.


Тогда из следствия 2 получаем, что


.


Так как по определению 1.9

,


то .


(утверждение 3 доказано)

3 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ


3.1 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с произвольными коэффициентами


Исследуем случай, когда матрица системы с произвольными коэффициентами является диагональной. Найдем для нее и .


Рассмотрим диагональную систему


,


где ─ вектор-функция размерности . Она имеет матрицу Коши


,


то есть


,


с нормой


, где .


По определению 1.2 найдем для каждой функции ее характеристический показатель Ляпунова, используя определение 1.6:

.


Получаем, что


.


Из утверждения 1.3 и определения 1.5 вытекает, что


,


так как матрица конечномерная.


По определению 1.9


P,

где (P).


3.2 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с постоянными коэффициентами. Случай .


Исследуем случай, когда матрица системы с постоянными коэффициентами является диагональной. Найдем для нее и .

Рассмотрим диагональную систему


,


где ─ вектор-функция размерности , ─ некоторые числа, .

Она имеет матрицу Коши


,


то есть


,


с нормой


.


Рассмотрим следующую лемму.

Лемма*.

Пусть ─ некоторое число. Тогда


.


Доказательство.

По определению 1.6


.


Имеем, . Что и требовалось доказать.

На основании предыдущего пункта заметим, что


.


Тогда .

Теперь покажем, что .

Пусть .

Так как для любого


,


то по определению 1.7


(P).


Тогда по определению 1.9 и лемме*


.


Так как выполняется всегда, то


.


Следовательно, для диагональной системы с постоянными коэффициентами всегда


.


4 ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАРШЕГО И ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДЛЯ ЗАДАННОЙ СИСТЕМЫ.