Старший и верхний центральный показатели линейной системы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ

БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»


Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений


Допущена к защите

Зав. кафедрой


СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ


Дипломная работа


Исполнитель:

студентка группы М-51 Абраменко Т. Ф.

Научный руководитель: 

доцент кафедры дифференциальных

уравнений, к. ф.-м. н. Зверева Т.Е.

Рецензент:

доцент кафедры ВМ и

программирования, к. ф.-м. н. Смородин В.С.


Гомель 2003

Содержание


ВВЕДЕНИЕ

1 НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

2 СООТНОШЕНИЕ

3 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

3.1 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с произвольными коэффициентами

3.2 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с постоянными коэффициентами

4 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ НЕКОТОРОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ

4.1 Старший показатель некоторой линейной однородной диагональной системы

4.2 Верхний центральный показатель некоторой линейной однородной диагональной системы

5 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ


В данной дипломной работе проводится изучение таких понятий, как верхний центральный показатель системы, характеристические показатели Ляпунова; рассматриваются различные соотношения между старшим и верхним центральным показателями линейных систем, то есть рассматриваются случаи, когда старший показатель Ляпунова строго меньше, равен верхнему центральному показателю.

В дипломной работе проводится исследование конкретной линейной однородной диагональной системы: вычисляются характеристические показатели системы, находятся спектр системы, старший показатель системы, а также верхний центральный показатель этой же системы, устанавливается соотношение На конкретном примере выясняется, что роль оценки сверху показателей решений возмущенных систем



играет число , а не .

1. НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ


Определение 1.1 [1,с.123]. Наибольший из частичных пределов a функции при называется ее верхним пределом:


.


Определение 1.2 [1,с.125]. Число (или символ или ), определяемое формулой


.


будем называть характеристическим показателем Ляпунова (или характерисическим показателем).

Для показательной функции , очевидно, имеем


.


Лемма 1.1 [1,с.132]. Характеристический показатель конечномерной матрицы совпадает с характеристическим показателем ее нормы, то есть


.


Для вектор-столбца



будем использовать одну из норм [1,с.20]:


= ; = ; = .


Свойства характеристического показателя функции [1,с.126,128]:


1) = , ;

2) .


Замечание 1.1 [1,с.130]. Если линейная комбинация функций


, ,


где постоянны, содержит лишь одну функцию с наибольшим характеристическим показателем, то


= .


Определение 1.3 [1,с.142]. Система ненулевых вектор-функций



обладает свойством несжимаемости, если характеристичесий показатель любой существенной их линейной комбинации


, ,


где постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых вектор-функций, то есть для всякой комбинации y имеем


= .


Определение 1.4 [1,с.137]. Множество всех собственных характеристических показателей (то есть отличных от и ) решений дифференциальной системы будем называть ее спектром.


Теорема1.1 [1,с.143]. Фундаментальная система линейной системы


,


где и ─ спектр системы , является нормальной тогда и только тогда, когда она обладает свойством несжимаемости.

Замечание 1.2 [1,с.142]. Совокупность вектор-функций с различными характеристическими показателями, очевидно, обладает свойством несжимаемости.

Следствие 1.1 [1,с.145]. Всякая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.

Определение1.5 [2,с.71]. Наибольший верхний показатель


системы



будем называть старшим показателем.

Определение 1.6 [2,с.7]. Пусть ─ функция. Тогда верхнее среднее значение функции есть:


= .


Рассмотрим какое-либо семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:


P = , ,


зависящие от параметра непрерывна в том смысле, что из следует равномерно, по крайней мере, на каждом конечном отрезке .

Определение 1.7 [ 2,с.103]. Ограниченная измеримая функция называется верхней или C-функцией для семейства P, если все функции этого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функции :

,


то есть, если


,


где ─ константа, общая для всех и , но, вообще говоря, зависящая от выбора и .

Определение 1.8 [2, с.103]. Совокупность всех верхних функций назовем верхним классом или C-классом семейства P, и обозначим через


(P).


Определение 1.9 [2,с.103]. Число



назовем верхним центральным или C-числом семейства P. Оно обозначается также через или .

Утверждение 1.1 [2, с. 104]. Если существует такая C-функция , что



для всех , то эта функция одна образует верхний класс и C-число совпадает с :


.


Замечание 1.3 [2,с.102]. Для упрощения записи введем обозначение



Определение 1.10 [2,с.115]. Центральное число семейства P будем называть центральным показателем системы


.


Определение 1.11 [2,с.106]. Разобьем полуось точками 0,T,2T,… на промежутки


.


Пусть


.


Найдем


.


Замечание 1.4 [2,с.106]. Число


совпадает с и знак можно заменить на , то есть


.


Определение 1.12 [2,с.107]. Пусть ─ любая ограниченная кусочно непрерывная функция, для которой


.


Замечание 1.5 [2,с.107]. Такие функции существуют: достаточно положить на равной одной из тех функций, для которых достигается максимальное значение


.


Утверждение 1.2 [2,с.537]. Верхнее среднее значение любой ограниченной кусочно непрерывной функции, а в частности функции , где произвольное, равно


.


Утверждение 1.3 [2,с.114]. Пусть


,


─ ее решение и


P =


семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций, где


.


Тогда старший показатель этой системы равен наибольшему из верхних средних значений функций семейства P, то есть


.

2. СООТНОШЕНИЕ .


Рассмотрим какое-либо семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:


P = , ,


зависящее от параметра непрерывно в том смысле, что из следует равномерно, по крайней мере, на каждом конечном отрезке .

Для доказательства соотношения нам