Финансовая математика
Контрольная работа
Выполнил Спрыжков Игорь Максимович
Университет Российской академии образования
Факультет: Бизнес, Маркетинг, Коммерция
Задача 1.
Капитал величиной 4000 денежных единиц (д.е.) вложен в банк на 80 дней
под 5% годовых. Какова будет его конечная величина.
Решение.
Способ 1.
,
K’ = K + I = 4000+44=4044,
где K – капитал или заем, за использование
которого заемщик выплачивает определенный процент;
I – процентный платеж или доход,
получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой;
p – процентная ставка, показывающая
сколько д.е. должен заплатить заемщик за пользование 100 ед. капитала в
определенном периоде времени (за год);
d – время, выраженное в днях.
360 – число дней в году.
Способ 2.
Время t = 80/360 = 2/9.
K’ = K + K×i×t = 4000(1 + 0.05×2/9) =
4044,
где i – процентная ставка, выраженная в
долях единицы,
t – время, выраженное в годах.
Задача 2. На сколько лет нужно вложить
капитал под 9% годовых, чтобы процентный платеж был равен его двойной сумме.
Решение
2×K = I.
2×K = K×9×g/100,
g = 2×100/9 = 22.22
Задача 3. Величина предоставленного
потребительского кредита – 6000 д.е., процентная ставка – 10% годовых, срок
погашения – 6 месяцев. Найти величину ежемесячной выплаты (кредит выплачивается
равными долями).
Решение
Таблица 1
План погашения кредита (амортизационный
план)
| Месяц |
Долг |
Процентный
платеж
|
Выплата
долга
|
Месячный
взнос
|
|
|
6000 |
10% |
|
|
| 1 |
5000 |
50 |
1000 |
1050 |
| 2 |
4000 |
42 |
1042 |
| 3 |
3000 |
33 |
1033 |
| 4 |
2000 |
25 |
1025 |
| 5 |
1000 |
17 |
1017 |
| 6 |
¾ |
8 |
1008 |
|
|
|
175 |
6000 |
6175 |
Объяснение к таблице
Месячная выплата основного долга
составит:
K / m = 6000/6 = 1000.
Месячный взнос представляет собой сумму
выплаты основного долга и процентного платежа для данного месяца.
Процентные платежи вычисляются по
формуле:
,
где I1 – величина процентного платежа в
первом месяце;
p – годовая процентная ставка, %.
Общая величина выплат за пользование
предоставленным кредитом:
=175.
Общая величина ежемесячных взносов:
=1029.
Задача 4. Вексель номинальной стоимостью
20000 д.е. со сроком погашения 03.11.95. учтен 03.08.95 при 8% годовых. Найти
дисконт и дисконтировать величину векселя.
Решение
Так как нам известна номинальная величина
векселя, дисконт, находим по формуле:
=409,
где Kn – номинальная величина векселя;
d – число дней от момента дисконтирования
до даты погашения векселя;
D – процентный ключ или дивизор (D =
3600/p = 36000/8 = 4500).
Дисконтированная величина векселя равна
разности номинальной стоимости векселя и дисконта (процентного платежа):
20000 – 409 = 19591.
Задача 5. Пусть в банк вложено 20000 д.е.
под 10% (d) годовых. Найти конечную сумму капитала, если расчетный период
составляет:
а) 3 месяца;
б) 1 месяц.
Решение
При декурсивном (d)расчете сложных
процентов:
Kmn = K×Ip/mmn, Ip/m
= 1 + p/(100×m),
где Kmn – конечная стоимость капитала
через n лет при p% годовых и капитализации, проводимой m раз в год.
а) K = 20000×I2.54
= 20000×(1 + 10/(100×4))4 =
20000×1.104 = 22076 д.е.
б) K = 20000×I10/1212
= 20000×(1 + 10/(100×12))12
= 20000×1.105 = 22094 д.е.
При антисипативном (a) способе расчета
сложных процентов:
Kmn = K×Iq/mmn, Iq/m
= 100m/(100m - q),
где q – годовой прцент.
а) K = 20000×(100×4/(100×4 –
10))4 = 20000×1.107 = 22132 д.е.
б) K = 20000×(100×12/(100×12 –
10))12 = 20000×1.106 = 22132 д.е.
Задача 6. Номинальная годовая ставка –
30%. Найти уравнивающую процентную ставку при начислении сложных процентов
каждые 3 месяца.
Решение
= 6.779%.
Задача 7. По одному из вкладов в банке в
течение 20 лет накоплено 200000д.е. Найти сумму, положенную на счет
первоначально, если годовая процентная ставка (d) составляет 8%.
Решение
K0 = Kn×r-n = Kn×II8%20 = Kn×(1 + p/100)-n = 200000×(1 +
8/100)-20 =
= 200000×0.21454 = 42909 д.е.,
где r = (1 + p/100) – сложный декурсивный
коэффициент.
Задача 8. Каждые три месяца в банк
вкладывается по 500 д.е. Какова будет совокупная сумма этих вкладов в конце
10-го года при процентной ставке 8% и годовой капитализации.
Решение
Сначала для годовой процентной ставки 8%
определим процентную уравнивающую ставку:
=1.9427%
Затем полученную уравнивающую ставку
поместим в следующую формулу:
Svmn = u×
, где rk = 1 + pk/100,
где v
– число вкладов в расчетном периоде,
n
- число лет,
m
– число капитализаций в год.
тогда
rk = 1 + 1.9427/100 = 1.0194
S4×10 = 500× = 500×60.8157 = 30407.84 д.е.
Задача 9. Насколько увеличатся годовые
вклады по 2000д.е. в течение 4 лет при 8% годовых, если капитализация
производится раз в три месяца и первый вклад вносится в конце первого года.
Решение
,
u1 = u×I2%4 / III2% = 2000×1.0824
/ 4.204 = 514.93 д.е.
Snm = 514.93×III2%3×4 +
2000 = 514.93×13.6803 + 2000 =
= 9044.41 д.е.
Задача 10. Пусть первый вклад в банк
составляет 2000 д.е., а каждый последующий уменьшается на 100 д.е. по отношению
к предыдущему. Найти величину вкладов в конце 10-го года, если они производятся
ежегодно, постнумерандо, процентная ставка – 4% годовых, капитализация
ежегодная.
Решение
Задача 11. Найти текущую стоимость суммы
10 вкладов постнумерандо по 5000 д.е. при 8% годовых, если капитализация
осуществляется каждые полгода.
Решение
При ежегодной капитализации:
C0 = a×IVpn = 5000×IV8%10 = 5000×6.71=33550
Задача 12. Пусть величина займа равна
20000 д.е. Амортизация осуществляется одинаковыми аннуитетами в течение 10 лет
при 2% годовых. Найти величину выплаты задолженности за второй и третий годы,
если капитализация процентов производится ежегодно.
Решение
Таблица 2
План погашения займа (амортизационный
план)
| Год |
Долг |
Процентный
платеж
|
Выплата
долга
|
Аннуитет |
| 1 |
20000 |
400 |
1826.53 |
2226.53 |
| 2 |
18173.47 |
363.47 |
1863.06 |
| 3 |
16310.41 |
326.21 |
1900.32 |
Пояснения к таблице
Аннуитет вычисляем по формуле:
a = K×Vpn = 20000×V2%10 = 20000×0.1113
= 2226.53 д.е.
Чтобы определить выплату задолженности
b1, вычисляем величину процентного платежа I:
I1 = K1×p/100 = 20000×2/100
= 400 д.е.
Выплата задолженности представляет собой
разницу между аннуитетом и процентным платежом:
b1 = a – I1 = 2226.53 – 400 = 1826.53
д.е.
Таким образом, после первого года долг
сократится на 1826.53 д.е. Остаток долга равен:
K2 = 20000 - 1826.53 = 18173.47 д.е.
Вычислим процентный платеж на остаток
долга:
I2 = 18173.47×2/100
= 363.47 д.е.
Вторая выплата составит:
b2 = a – I2 = 2226.53 – 363.47 = 1863.06
д.е.
Долг уменьшится на величину 1863.06,
остаток долга составит:
K3 = 18173.47 – 1863.06 = 16310.41 д.е.
Далее
I3 = 16310.41×2/100
= 326.21 д.е.
Третья выплата задолженности составит:
b3 = a – I3 = 2226.53 – 326.21 = 1900.32
д.е.
Список литературы
Кочович
Е. Финансовая математика: Теория и практика финансово-банковских расчетов. –
М.: Финансы и статистика, 1994.