Елементи дисперсійного аналізу і теорії кореляції

і теорії кореляції" width="19" height="26" align="BOTTOM" border="0" />,

– ордината точки, що лежить на прямій (17) і має абсцису ,

.

Підставивши значення з рівняння (17) у формулу (18), одержимо

(19)

Дорівнявши нулю частинні похідні і функції (19) одержимо систему двох лінійних алгебраїчних рівнянь щодо параметрів і для знаходження точки її мінімуму

(20)

де

, , ,

звідкіля остаточно знаходимо

Аналогічно визначається вибіркове рівняння прямої лінії регресії на .

2.5 Знаходження параметрів вибіркового рівняння прямої лінії середньоквадратичної регресії за згрупованими даними

При великій кількості спостережень одне й те ж саме значення може зустрітися раз, значення – раз, одна й та ж пара чисел може спостерігатися раз. Тому дані спостережень групують, тобто підраховують відповідні частоти , , . Усі згруповані дані записують у вигляді таблиці, що називають кореляційною.

Приклад такої таблиці приведено нижче (табл. 3).

Таблиця 3

	10	20	30	40
0,4	5	–	7	14	26
0,6	–	2	6	4	12
0,8	3	19	–	–	22
	8	21	13	18

У першому рядку цієї таблиці дано перелік значень (10; 20; 30; 40) ознаки , що спостерігаються, а в першому стовпці – спостерігаємі значення (0,4; 0,6; 0,8) ознаки . На перетинанні рядків і стовпчиків знаходяться частоти пар значень ознак. Наприклад, частота 5 вказує, що пара чисел (10; 0,4) спостерігається 5 разів. Риска означає, що відповідна пара чисел, наприклад (20; 0,4), не спостерігається.

В останньому стовпчикові записані суми частот рядків. В останньому рядку записані суми частот стовпчиків. У нижньому правому куті таблиці, поміщена сума всіх частот (загальна кількість всіх спостережень ).

У випадку згрупованих даних з урахуванням очевидних співвідношень

, , ,

систему рівнянь (20) можна переписати у виправленому вигляді

З рішення цієї системи ( , ) знаходимо рівняння прямої регресії

Шляхом нескладних перетворень його можна переписати у вигляді

де , – вибіркові середні квадратичні відхилення величин і

(21)

– вибірковий коефіцієнт кореляції.

Вибірковий коефіцієнт кореляції. Як відомо з теорії ймовірностей, якщо величини і незалежні, коефіцієнт їхньої кореляції , якщо – величини і пов'язані лінійною функціональною залежністю. Тобто коефіцієнт кореляції характеризує ступінь лінійного зв'язку між і .

Вибірковий коефіцієнт кореляції є оцінкою коефіцієнта кореляції генеральної сукупності, тому він також характеризує міру лінійного зв'язку між величинами і .

3 Поняття про криволінійну кореляцію

Раніше ми обмежилися лінійним наближенням функцій регресії, рівнянь регресії, відповідно і кореляційного зв'язку. Однак теорію можна узагальнити і на наступні наближення.

Нехай дані спостережень над кількісними ознаками і зведено до кореляційної таблиці. Тим самим значення , що спостерігаються, розбито на групи; кожна група містить ті значення , що відповідають визначеному значенню . Для приклада розглянемо кореляційну таблицю 4.

Таблиця 4

	10	20	30
15	4	28	6	38
25	6	–	6	12
	10	28	12
	21	15	20

До першої групи відносяться ті 10 значень (4 рази спостерігалося значення і 6 разів ), що відповідають . До другої групи – ті 28 значень (28 разів спостерігалося і 0 разів ), що відповідають . До третьої групи відносяться 12 значень (6 разів спостерігалося і 6 разів ).

Умовні середні тепер можна назвати груповими середніми: групова середня першої групи

групова середня другої групи

для третьої групи

Оскільки всі значення ознаки розбито на групи, можна уявити загальну дисперсію ознаки у вигляді суми внутрішньо групової і міжгрупової дисперсій

Можна показати, що, якщо між величинами і є функціональна залежність, то

якщо ж вони пов'язані кореляційною залежністю, то

Вибіркове кореляційне відношення. Для оцінки ступені тісноти лінійного кореляційного зв'язку між ознаками у вибірці застосовується вибірковий коефіцієнт кореляції (21). У разі нелінійного кореляційного зв'язку з тою ж метою вводяться нові узагальнені характеристики:

– вибіркове кореляційне відношення до ;

– вибіркове кореляційне відношення к.

Вони визначаються за формулами:

,

Размещено на